胡昊宇 張志平

[摘? 要] 反證法是數(shù)學(xué)證明的方法之一，解題過程遵循否定之否定規(guī)律和事物之間的矛盾規(guī)律. 文章以核心素養(yǎng)為切入點(diǎn)，通過對一些技巧性較強(qiáng)的奧賽題進(jìn)行解題分析，培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，提高其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 反證法;核心素養(yǎng);解題研究

■核心素養(yǎng)視角下的反證法相關(guān)理論探究

對于一些難以使用分析法直接去證明的思考題（若p成立，證明q），可以考慮不用直接去證明它，而是將命題q進(jìn)行否定并把q作為前提，并加入原命題中，通過推理得出與所給條件或相關(guān)定理、定義相互矛盾的單個(gè)或者若干個(gè)結(jié)論，從而證明出原命題成立的一種解題思路，這就是反證法.這種方法對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力有很大幫助，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的意義.邏輯推理能力強(qiáng)的學(xué)生在相關(guān)證明題中表現(xiàn)更游刃有余，掌握相關(guān)數(shù)學(xué)問題的解題方法將會(huì)更迅速.邏輯推理素養(yǎng)的提高還有助于培養(yǎng)學(xué)生的生活應(yīng)變能力，學(xué)生在將來的工作、生活中會(huì)遇到更多復(fù)雜多變的難題，良好的邏輯推理能力將會(huì)幫助他們靈活處理這些問題，有助于難題的解決.

證明逆否命題，就是在使用反證法，這是反證法的第一種形式，就是假設(shè)命題q，通過一系列的推理推出了與命題p矛盾，即q→p，但是用反證法并不一定就是在證明逆否命題，這是因?yàn)榉醋C法的解題方式并不固定，反證法有多種解題形式，第二種形式是把q作為前提，與已知前提p相結(jié)合推出p（與p相矛盾）.第三種形式應(yīng)用難度較大，是把q作為前提，與已知前提p相結(jié)合推出兩個(gè)自相矛盾的結(jié)論. 第四種形式是以q為前提與p相結(jié)合推出一個(gè)與公理、定理以及已知真命題相矛盾的結(jié)論. 第五種形式是把q與原命題前提中的p相結(jié)合推出與原命題p中的p′相矛盾的命題■.

五種形式的解題思路：

1.？搖假設(shè)q不成立，直接推理之后得到的結(jié)論與p相矛盾.

2.？搖假設(shè)q不成立，結(jié)合p之后推出的結(jié)論與p矛盾.

3.？搖假設(shè)q不成立，結(jié)合命題p之后推出了兩個(gè)自相矛盾的結(jié)論.

4.？搖假設(shè)q不成立，結(jié)合命題p推出的結(jié)論與已有的正確結(jié)論矛盾.

5.？搖假設(shè)q不成立，結(jié)合命題p推出的結(jié)論與命題p的一部分p′矛盾.

■核心素養(yǎng)視角下的反證法數(shù)學(xué)解題研究

例1：△ABC和△A′BC有公共邊BC，且A′C+A′B>AB+AC，

求證：A′一定在△ABC的外部.

證明：假設(shè)A′不在△ABC的外部，這時(shí)A′會(huì)在△ABC上或者在其內(nèi)部，當(dāng)A′在△ABC上時(shí)，假設(shè)A′是AC邊上的任意一點(diǎn)，畫出相應(yīng)的幾何圖形（如圖1）.

如圖1所示，若A′在AC邊上，則AB+AA′>A′B，所以有：AB+AA′+A′C>A′B+A′C，即A′B+A′C

同理可證出A′也不可能在AB，BC邊上.

當(dāng)A′在三角形內(nèi)部時(shí)，設(shè)A′在三角形內(nèi)部的任意一點(diǎn)，畫出相應(yīng)的幾何圖形（如圖2所示）.

延長BA′交AC于D，則AB+AD+DC>A′B+A′D+DC>A′B+A′C，所以有：AB+AC>A′C+A′B（與已知條件矛盾），因此A′也不在三角形內(nèi)部.

思路分析：本題采用了第二種形式的反證法，與窮舉法相結(jié)合，分兩種否定的情況，結(jié)合“△ABC和△ABC′有公共邊BC”這個(gè)條件將假設(shè)一一推翻. 本題由于沒給出相應(yīng)的幾何圖，學(xué)生只能通過繪圖并進(jìn)行觀察，將反證法和“三角形的兩邊之和大于第三邊”概念相結(jié)合.本題的技巧性和綜合性較強(qiáng)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象素養(yǎng).

例2：△ABC的三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：B<90°.

證明：假設(shè)B≥90°，則a，b，c中b最大，則■，■，■中■最小，所以有：■-■>0，■-■<0，顯然■-■≠■-■，三角形三邊的倒數(shù)不成等差數(shù)列，與題干矛盾，命題得證.

思路分析：本題采用了第一種形式的反證法，直接通過證明逆否命題從而證明原命題成立，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

例3：已知a，b，c為實(shí)數(shù)，滿足a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0.

證明：本題的解法與例1類似，需要使用窮舉法將所有假設(shè)條件一一推翻.

（1）假設(shè)a=0，則b+c>0且bc>0，但abc=0，與題干中的abc>0相矛盾，所以a≠0.

（2）假設(shè)a<0，根據(jù)已知條件，bc<0，b+c>-a？圯b+c>0，

由題a（b+c）+bc>0，得到：b+c<-■<0（推出了兩個(gè)自相矛盾的條件），所以a>0.

思路分析：本題使用了反證法解題思路的第三種，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

例4：設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+px+q，求證：f（1），f（2），f（3）中至少有一個(gè)不小于■.

證明：假設(shè)f（1），f（2），f（3）均小于■，則有

f（1）+2f（2）+f（3）<2（1），

f（1）+2f（2）+f（3）≥f（1）-2f（2）+f（3）=（1+p+q）-2（4+2p+q）+（9+3p+q）=2（2），

顯然（2）式與（1）式相矛盾，推出（2）式與假設(shè)矛盾，所以原命題成立.

思路分析：本題難度不大，運(yùn)用了反證法的第三種形式. 但學(xué)生在假設(shè)之后需要反復(fù)地對假設(shè)和題干進(jìn)行觀察和計(jì)算，與絕對值不等式相結(jié)合，建立的不等式需要大于某個(gè)定值.因此學(xué)生需要對恒等式進(jìn)行變換和計(jì)算之后得出某個(gè)定值，最終實(shí)現(xiàn)解題的目的. 需要學(xué)生有較為靈活的數(shù)學(xué)思維和敏銳的觀察力，對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是一個(gè)很大的考驗(yàn).

例5：設(shè)f（x）和g（x）是定義在[0，1]上的函數(shù)，求證：？堝x■，y■滿足0≤x■≤1，0≤y■≤1，有x■y■-f（x■）-g（y■）≥■.

證明：假設(shè)對？坌x■，y■∈[0，1]，都有

x■y■-f（x■）-g（y■）<■，

取x■=0，y■=0，有0-f（0）-g（0）<■;

取x■=0，y■=1，有0-f（0）-g（1）<■;

取x■=1，y■=0，有0-f（1）-g（0）<■;

取x■=1，y■=1，有1-f（1）-g（1）<■，

并且由絕對值不等式：

1=[1-f（1）-g（1）]-[0-f（1）-g（0）]-[0-f（0）-g（1）]+[0-f（0）-g（0）]

≤1-f（1）-g（1）+0-f（1）-g（0）+0-f（0）-g（1）+0-f（0）-g（0）<4×■=1（推出了自相矛盾的命題），因此原命題得證.

思路分析：本題采用了第三種形式的反證法，具有一定的技巧性，考查了學(xué)生對絕對值不等式的靈活運(yùn)用程度.學(xué)生在本題中除了需要將第三種反證法和絕對值不等式相關(guān)知識結(jié)合運(yùn)用以外，還需要采用特值法、構(gòu)造法. 本題培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

■小結(jié)

使用反證法的習(xí)題難度較大，學(xué)生需要綜合性地運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識，熟練掌握反證法的五種形式. 反證法的解題往往要求學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯推理能力，將所學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識抽象出來并加以靈活運(yùn)用，并結(jié)合反證法的解題思路從而達(dá)到解決一些技巧性較強(qiáng)的問題的目的. 學(xué)生在參加奧數(shù)競賽時(shí)若碰到一些無法直接證明的考題時(shí)，可以考慮使用反證法，通過對題干的不斷觀察和反復(fù)思考，找出考題和知識之間的聯(lián)系，最終達(dá)到解決問題的目的. 反證法一般適用于：直接證明無從著手的問題;由部分推整體的問題;所證結(jié)論范圍較大的問題.