葉育新

【編者按】小學階段，運算始終是數(shù)學學習的主旋律，相關數(shù)學知識的展開都圍繞著它進行。運算不等同于計算，讓學生學會計算僅是淺層次的要求，我們更應該讓學生理解計算背后的算理，能根據(jù)題目條件尋求合理、簡潔的運算途徑來解決問題。那么，如何在教學中有意識地培養(yǎng)學生的運算能力呢？本期話題讓我們一起來探討。

要從立德樹人的角度重新認識數(shù)學運算能力在學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)中的地位和價值，就不能把運算能力簡單等同于計算技能。應充分重視運算過程的育人功能，從教材編排體系入手，系統(tǒng)研究，整體把握不同階段的能力訓練點，逐步推進，培養(yǎng)學生的運算能力。

一、起始階段：應避免算理和算法的脫節(jié)

1. 案例描述。

“兩位數(shù)除以一位數(shù)”筆算除法是人教版三下的內容，也是小學生在二下學習有余數(shù)除法后再次學習用豎式計算。某教師在上這節(jié)課時，先讓學生觀察主題圖，并出示例題1，學生都能列出算式42÷2，且大都能匯報口算思路。教師便讓學生擺小棒，然后嘗試寫出豎式。課堂上出現(xiàn)了兩種不同的豎式（右圖）。當教師讓學生選擇自己喜歡的豎式時，有部分學生選擇了右邊的豎式，認為其書寫比較簡潔。

2. 原因分析。

筆者認為，豎式是操作的反映。豎式分層計算應讓學生體會的算理是：兩次分小棒的操作對應不同計數(shù)單位的等分（先幾個十等分，再幾個一等分）。第二種豎式之所以出現(xiàn)，是因為在操作前，學生根據(jù)口算思路已經(jīng)知道計算的結果了，在列豎式時便按照結果來列式，看似掌握了算法，卻與操作小棒的具體過程脫節(jié)，不能反映真正的算理，也不利于后續(xù)例題52÷2的豎式書寫學習，應及時予以糾正。

3. 改進建議。

在列出算式后可以先讓學生猜結果，然后用擺小棒的方式驗證結果，接下來就可以讓學生用算式表達擺小棒的過程，并解釋這個算式的合理性?？梢栽O置三個結構化的問題：（1）怎樣擺小棒求出算式的結果？（2）你會用豎式表示擺小棒的過程嗎？（3）哪個算式能更好地解釋擺小棒的過程？

教師的提問不應拘泥于讓學生選擇喜歡的豎式，而應強調豎式與小棒操作過程相對應。從具體操作到豎式表達，這是一個數(shù)學化的過程，也是一個思考外化的過程。

三下第二單元“除數(shù)是一位數(shù)的除法”和第四單元“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，分別安排了筆算除法和筆算乘法的豎式計算，在例題中分別配套了擺小棒和點陣圖的操作與觀察活動。在此之前，二下第六單元“有余數(shù)的除法”、三上第六單元“多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算乘法”也都配套了擺小棒的操作來凸顯算理。教師應予以充分重視，豎式與操作過程要對應起來，有效溝通算法和算理的關系。只有學生在理解算理的基礎上掌握算法，才能為培養(yǎng)學生運算能力奠定基礎。

二、發(fā)展階段：可根據(jù)教材結構合理補充

1. 四下“運算定律”補充建議。

在四下“運算定律”的學習中，學生結合實際問題情境依次學習了加法交換律、結合律，以及乘法交換律、結合律、分配律。學生對運算律雖有了直觀感性的了解，但對運算律的抽象認識不足，不能很好地從內涵方面理解運算律，把握其本質特征與區(qū)別，這是造成小學生運算能力低下的重要原因之一。因此，有必要在第四單元結束前安排一節(jié)練習課，對運算律進行對比。

（1）第一層次，相同點比較。加法中有交換律，乘法中也有交換律。加法中有結合律，乘法中也有結合律。

（2）第二層次，不同點對比。交換律和結合律：交換律是交換位置，而結合律是不改變位置，改變的是運算順序。結合律和分配律：無論加法結合律還是乘法結合律都是同級運算，括號外的數(shù)和括號內一個符合運算特征的數(shù)先相加或相乘，而乘法分配律包含兩種運算，強調括號外的數(shù)和括號內的每一個數(shù)分別相乘，缺一不可。

（3）第三層次，正確加括號和脫括號。在運算過程中，有時候需要加括號或脫括號，要先看括號前面的運算符號，如果括號前是加號或乘號，則加括號或脫括號后，原來的運算符號不變。如果括號前是減號或除號，則加括號或脫括號后，原來的運算符號要變號。

2. 五上“簡易方程”補充建議。

在五上“簡易方程”這一單元中，學生既要學會用抽象的符號表示運算律和運算性質，又要在解稍復雜方程的過程中采用多種策略，如把兩步運算的結果看成一個整體，乘法分配律的分合使用等。由于這階段學生的思維正處于具體形象思維向抽象思維發(fā)展的過程中，很多學生不習慣用抽象的符號進行數(shù)學思考，也是第一次在計算中面對數(shù)字和未知數(shù)x混合運算的情況，容易使一些學生感到難度較大。因此，有必要在本單元的例題教學中強化不同算法的對比，以便學生對稍復雜的方程運算技巧加以掌握。

（1）在解決P69例5：2（x-16）=8的運算中，要求學生既要掌握把2（x-16）看成一個整體進行同除的策略，又要學會把2和（x-16）里的數(shù)分別相乘的策略。

（2）在解決P77例3：2x+2？郾8×2=10？郾4的運算中，要求學生既要學會先算2.8×2的方法，又要學會觀察數(shù)字特征，應用乘法分配律把原方程提煉轉化為（x+2.8）×2=10.4，再應用等式性質進行同除運算。

（3）在解決P78例4：x+2？郾4x=5？郾1，P79例5：0？郾25x+0.2x=4？郾5的運算中，要讓學生觀察并思考，可以運用什么運算定律對方程進行變形，它們有什么共同點。

乘法分配律一直是學生學習的難點，上述三個方面圍繞著加括號和脫括號，其實本質上都是乘法分配律的應用和變式。教師可以在本單元結束前安排這些運算類型的專項訓練和對比練習課，讓學生有更充分的感知。

三、應用階段：注意提升運算的思維層次

1. 優(yōu)化算法：烙餅問題中的深度學習。

烙餅問題是人教版四上“數(shù)學廣角——優(yōu)化”例2的內容。根據(jù)“每次最多只能烙2張餅，兩面都要烙，每面3分鐘”的規(guī)則，教材通過模擬操作，讓學生體會烙餅過程中兩種不同烙法（同時烙和交替烙）的時間計數(shù)方法，重點讓學生理解交替烙如何節(jié)約時間的原理，進而得出根據(jù)餅的總數(shù)合理選擇不同的烙法或進行組合，實現(xiàn)時間的優(yōu)化。烙餅問題蘊含的優(yōu)化思想首先體現(xiàn)為3張餅交替烙，可以節(jié)約3分鐘，這是第一層次的優(yōu)化。如果從問題解決的角度分析，不難發(fā)現(xiàn)，無論烙幾張餅，其實都是2張餅（烙2次6分鐘）和3張餅（烙3次9分鐘）的方法組合，在此基礎上可以實現(xiàn)第二層次的優(yōu)化。

如果從運算的角度來看烙餅問題中的時間計數(shù)，我們可以在具體操作的基礎上進行抽象，并推理思考。如：既然每面要烙3分鐘，這個3分鐘不受正反面區(qū)別的影響，我們只要想1張餅有2個面，也就意味著1張餅可以先切成正反面，放滿鍋底，1次就可以烙好，同理7張餅有7個正面7個反面，一共14個面，每次烙2個面，共需烙7次，12張餅需要烙12次，33張需要烙33次……這樣，無論烙幾張餅，烙餅的次數(shù)都等于餅的數(shù)量，只要把餅的數(shù)量乘以3分鐘（3n，n≥2）就可以實現(xiàn)算法的簡化和優(yōu)化。這是第三層次的優(yōu)化。上述三個層次可以看成深度學習的過程，其中第三層次的優(yōu)化屬于算法的優(yōu)化，這里的運算思維體現(xiàn)為抽象、推理和建模。

2. 把握本質：雞兔同籠中的算法共性。

雞兔同籠問題是人教版四下“數(shù)學廣角”的學習內容。教材中介紹了表格法、假設法以及抬腿法三種比較有代表性的解法。其算法的共性本質都是推理。

表格法分別有逐一列表法、取中列表法、跳躍列表法三種不同能力要求。列表的過程實際上就是一個發(fā)現(xiàn)、總結規(guī)律的過程。假設法無論是設雞求兔（雞8只兔0只），還是設兔求雞（雞0只兔8只），其實都是對應著表格法中的極端情況。根據(jù)假設，按照1只兔比1只雞多2只腳的法則進行調整，其實就是一個推理過程。當然，在高年級還可以用方程法來解決雞兔同籠問題，但從思維的本質來看，還是屬于一種在假設基礎上的推理。課后閱讀資料中介紹的抬腿法，其實也是基于雞和兔腳數(shù)各變成一半的前提下進行的演繹推理。

從這個例子不難看出，運算過程的核心思維就是推理，而推理就是三大基本數(shù)學思想之一，也是學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要培養(yǎng)目標。

3. 建構模型：連點成線中的數(shù)學模型。

連點成線問題出現(xiàn)在人教版六下總復習單元的“數(shù)學思考”例1中，教材讓學生通過有序操作和觀察，發(fā)現(xiàn)增加的點數(shù)和增加的線段數(shù)之間的規(guī)律，從2個點開始，到3個點、4個點、5個點、6個點、8個點，依次用1+2+3+4（5個點）等自然數(shù)連加的算式表示線段數(shù)，在此基礎上引導學生根據(jù)規(guī)律拓展到12個點、20個點及n個點所連的線段數(shù)。

筆者認為，就計算方法而言，讓學生計算形如1+2+3+…+11，1+2+3+…+19或1+2+3+…+（n-1）等算式，比較煩瑣，似乎超越了大部分學生的能力要求。因此，有必要對這些算式進行優(yōu)化，提煉出數(shù)學模型。這個過程需要改變學生的思考策略。在經(jīng)歷了操作畫圖的基礎上，教師可以引導學生進行這樣的推理思考：6個點，每個點都可以和自身以外的5個點相連，組成30條線段，扣除重復的一半，剩下15條線段;同理，8個點，每個點都可以和自身以外的7個點相連，組成56條線段，扣除重復的一半，剩下28條線段，以此類推，若有n個點，每個點都可以與除自身以外的n-1個點相連，組成n（n-1）條線段，扣除重復的一半，剩下的線段數(shù)為n（n-1）÷2，這就是連點成線問題的數(shù)學模型，是對1+2+3+…+（n-1）這個算式的在更高思維層次的概括。

實際上，人教版六下教材安排了多處滲透規(guī)律運算的建模能力培養(yǎng)內容，如P100的“做一做”，讓學生觀察有規(guī)律的圖形求棋子總數(shù)，最后提出第n幅圖有多少個棋子，就是在滲透平方數(shù)的模型。而P103第2題讓學生通過擺三角形，找規(guī)律，求共用多少根小棒，最后求擺第n個圖形需要用多少根小棒，其實就是讓學生體會3+（n-1）×2和1+2n兩個數(shù)學模型，經(jīng)過計算簡化，不難發(fā)現(xiàn)，這兩個模型本質上是相同的，后者是前者的優(yōu)化。同理，P103第4題在讓學生觀察多邊形邊數(shù)與內割三角形個數(shù)的關系后，讓他們在九邊形內角和的基礎上推理一個n邊形的內角和是多少度，就是讓學生嘗試歸納出數(shù)學模型：180×（n-2）。

從上述例子可以看出，用n來表示個數(shù)，本身就是對數(shù)字的抽象，在推理的基礎上得到一般性的規(guī)律，并形成數(shù)學模型，這是在數(shù)學運算過程中最有價值的學科能力培養(yǎng)。

4. 綜合應用：解決問題中的運算能力。

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在運算能力的表述中強調尋求合理簡潔的運算途徑解決問題，筆者認為，運算能力貫穿于解決問題的全過程，和數(shù)感、符號意識、推理能力、模型思想、應用意識、創(chuàng)新意識等都是密切相關的。培養(yǎng)運算能力不但要求學生理解算理、掌握算法，還要學會重視思維提升，優(yōu)化算法，運用不同的運算策略解決實際問題，在解決問題的過程中促進運算能力的培養(yǎng)。

筆者認為，運算能力的最高要求就是解決問題。從小學數(shù)學教材沿革的發(fā)展脈絡來看，計算部分的編排曾經(jīng)經(jīng)歷了先學習計算，后學習應用題（課改前編排的特點），慢慢過渡到計算融于實際問題解決的過程（課改后的編排特點），即運算的學習往往伴隨著實際問題的情境展開，產(chǎn)生解決問題的需要，通過分析思考，列出算式，用計算求解。這既符合兒童學習的特點，也體現(xiàn)了算用歸一的教學理念。

（作者單位：福建省福州市鼓樓區(qū)教師進修學校）