焦鷗

【摘要】折疊問題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一類非常重要的問題，對學(xué)生空間想象力、思維能力以及動手操作能力等具有較高要求，同時講究技巧性與規(guī)律性，增加了學(xué)生的解題難度，所以傳授給他們正確的折疊問題求解思路與方法顯得尤為關(guān)鍵.本文在對折疊問題特征與求解思路進(jìn)行闡述的基礎(chǔ)上，結(jié)合具體例題，對常見的幾種折疊問題求解方法進(jìn)行了重點(diǎn)探析，以期可以幫助初中生順利突破這部分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)難關(guān).

【關(guān)鍵詞】初中;數(shù)學(xué);折疊問題;對稱;解題方法

在新課標(biāo)下，初中數(shù)學(xué)更加側(cè)重考查學(xué)生的思維能力，如發(fā)散思維、辯證思維、抽象思維等等，同時也越多地側(cè)重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，如推理論證能力、空間想象力等等.其中折疊問題是一類綜合考查學(xué)生空間想象力、思維認(rèn)知能力等眾多關(guān)鍵能力的數(shù)學(xué)問題，對學(xué)生的問題求解能力具有較高要求.因此，為了幫助初中生順利地攻克這部分學(xué)習(xí)難點(diǎn)，必須要注意系統(tǒng)化指導(dǎo)他們掌握求解該類問題的思路與常用方法.

一、新課程下初中數(shù)學(xué)折疊問題的求解思路

折疊問題的本質(zhì)是圖形軸對稱變換問題，求解的核心主要是有效地運(yùn)用軸對稱的相關(guān)性質(zhì)與思想，如基于軸對稱性質(zhì)對圖形折疊前后的變量與不變量進(jìn)行有效確定，配合三角形的相似性、全等性以及方程知識等來構(gòu)建有關(guān)角度和線段之間的相關(guān)性.與此同時，在求解折疊問題的過程中還需要靈活地借助背景圖形性質(zhì)以及軸對稱方面的相關(guān)性質(zhì)來判斷折疊圖形的相關(guān)共性規(guī)律與特征（找到其中涉及的關(guān)鍵變量與不變量），如折疊圖形的折線本身是對稱軸、折線兩邊的折疊圖形保持全等狀態(tài);折疊圖形上面任意兩個對稱點(diǎn)相連構(gòu)成的直線和折線之間保持垂直狀態(tài);對應(yīng)的折疊圖形邊線之間保持相互平行狀態(tài)或者交點(diǎn)處于對稱軸上.在求解折疊問題的過程中要綜合運(yùn)用上述的各種數(shù)學(xué)結(jié)論，并在此基礎(chǔ)上有效地運(yùn)用構(gòu)造輔助線的方式構(gòu)造出直角三角形，然后利用銳角三角函數(shù)、相似形、方程思想等有關(guān)圖形和函數(shù)方面的知識來對折疊問題進(jìn)行系統(tǒng)化求解，借助這一求解思路可以逐步簡化折疊問題的求解過程，有利于提高解題的簡潔性和清晰性.

二、新課程下初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的折疊問題及解題方法

2.1 以基本圖形要素為考點(diǎn)的折疊問題及解題方法

在新課程下初中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及的常見折疊問題首先體現(xiàn)在平面圖形不同基本要素的折疊，即以“點(diǎn)”“線”和“面”為基本單位的圖形折疊問題，它們對應(yīng)的求解方法如下：

（1）“點(diǎn)”的折疊問題及求解方法.在“點(diǎn)”的折疊問題中主要涉及對折線的“中點(diǎn)”，這就涉及軸對稱，并且會相應(yīng)地生成相等的角和線段，這樣更有助于集中有關(guān)的解題條件.如果題目當(dāng)中涉及直角，那么可以將相應(yīng)的解題條件集中于比較小的直角三角形當(dāng)中，之后用勾股定理方面的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行求解即可.

例1 如圖1，某一次函數(shù)與坐標(biāo)軸分別交于A點(diǎn)和B點(diǎn)，將△AOB沿著AB進(jìn)行翻折，那么可以得到△ACB.如果已知C點(diǎn)坐標(biāo)為3[]2，32，那么試確定相應(yīng)一次函數(shù)的解析式.

解析 本題以△AOB為主體，折疊變換之后所得到的△ACB和原△AOB保持全等，這時候可以借助對稱性和三角函數(shù)關(guān)系來求解出AO和CO的邊長，之后可以分別求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的相應(yīng)坐標(biāo)，配合待定系數(shù)法的應(yīng)用可以快速確定直線AB的解析式.

（2）“線”的折疊問題及求解方法.“線”的折疊問題，主要是以某條線為基準(zhǔn)進(jìn)行翻折，相應(yīng)問題求解中需要對圖形折疊前后的圖形形狀以及相應(yīng)線條的對應(yīng)位置進(jìn)行確定，之后再運(yùn)用軸對稱性質(zhì)與特征的相關(guān)知識來求解.

（3）“面”的折疊問題及求解方法.在求解折疊問題時，如果可以靈活地運(yùn)用“面”的對稱性特征可以相應(yīng)地得到相等的角和面積以及全等的對折圖形.如果可以抓住對折圖形中的變量和不變量，挖掘其中幾何圖形性質(zhì)以及相關(guān)的數(shù)量關(guān)系之后可以快速求解相應(yīng)的折疊問題.

例3 如圖3，△OAB是一等邊三角形，邊長為2.其中O為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B位于y軸上，將該三角形進(jìn)行折疊操作后使A點(diǎn)落于邊OB上并交于A′點(diǎn)，相應(yīng)折疊的折痕為邊EF.假定A′在邊OB上面進(jìn)行移動但是不交于點(diǎn)B和點(diǎn)O，試求能否使所形成的△A′EF為一個直角三角形？

解析 鑒于該道折疊問題中涉及動點(diǎn)A′，所以在求解的過程中需要進(jìn)行分類討論，即可以首先確定所形成的直角頂點(diǎn)不可能存在A′處，之后分別假定所形成直角三角形的直角頂點(diǎn)位于F點(diǎn)或E點(diǎn)處進(jìn)行分析，看是否可行.

解 假定△A′EF的直角頂點(diǎn)位于F點(diǎn)，那么可以結(jié)合翻折圖形的軸對稱性質(zhì)得到∠A′FE=∠AFE=90°，此時點(diǎn)A′和點(diǎn)B保持重合，不滿足已知條件，所以此時不成立;假定△A′EF的直角頂點(diǎn)位于E點(diǎn)，那么可以結(jié)合翻折圖形的軸對稱性質(zhì)得到∠A′EF=∠AEF=90°，此時點(diǎn)A′和點(diǎn)O保持重合，不滿足已知條件，所以此時也不成立.由此可知，在A′位于線段OB上進(jìn)行移動期間不可能存在使△A′EF為直角三角形的位置.

綜上所述，在求解折疊問題的過程中要對折疊問題的實(shí)質(zhì)進(jìn)行把握，抓住折疊圖形折疊前后的位置關(guān)系變化，從“點(diǎn)”“線”和“面”三個方面出發(fā)來確定翻折前后圖形的變量與不變量，挖掘其中涉及的圖形參數(shù)數(shù)量關(guān)系，最后利用方程思想對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行表達(dá)，最終可以解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.

2.2 以折疊后不同視角為考點(diǎn)的折疊問題及解題方法

雖然折疊問題的求解基本上都是以“點(diǎn)”“線”與“面”幾個基本元素為基準(zhǔn)，但是在實(shí)際的折疊問題求解中會涉及不同的視角，如求解點(diǎn)坐標(biāo)、角度、周長與最小值等等，具體的典型折疊題目類型及解題方法如下：

（1）求點(diǎn)坐標(biāo).

例4 如圖4，已知B點(diǎn)和C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，3）和（1，0），過點(diǎn)B的直線y=x+k交x軸于A點(diǎn).沿著直線AB折疊△ABC后可以得到△ABD，試求A點(diǎn)與D點(diǎn)的坐標(biāo).

解析 此題以直角坐標(biāo)系為基礎(chǔ)，主要考查函數(shù)圖像折疊之后“點(diǎn)”的變化，在實(shí)際的求解中可以綜合運(yùn)用函數(shù)解析式、數(shù)形結(jié)合與軸對稱等數(shù)學(xué)知識進(jìn)行求解.

解 B點(diǎn)在直線上，代入求得直線解析式為y=x+2，得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）.由折疊圖形的對稱性可知，AC=AD=3，故D點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2，3）.

（2）求角度.

例5 如圖5，小紅在某次班級折紙活動中制作了一個△ABC紙板，其中邊AB和邊AC上分別分布有D點(diǎn)和E點(diǎn).沿著DE將△ABC折疊壓平之后使得A點(diǎn)落在A′點(diǎn).如果∠A=70°，那么∠1+∠2=.

解析 針對這一道折疊問題的求解，首先要結(jié)合三角形折疊的基本性質(zhì)，明確其中的不變量——角，之后運(yùn)用三角形內(nèi)角和、補(bǔ)角等來確定其中包含的等量關(guān)系，最后再運(yùn)用代數(shù)方法求出角度.

解 由折疊圖形的對稱性可知∠ADE=∠A′DE;

∴∠1=180°-2∠AED，∠2=180°-2∠A′DE;

∴根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°可知，∠1+∠2=360°-2（∠AED+∠A′DE）=2∠A=140°.

（3）求周長.

例6 如圖6，沿虛線①對折矩形紙張后再沿著虛線②剪開，可以剪出一個直角三角形，將其打開之后得到一個等腰三角形，那么其周長是多少？

解析 圖形通過剪切折疊后可以得到軸對稱圖形，再借助勾股定理對相應(yīng)直角三角形的邊長進(jìn)行求解，進(jìn)而求得周長.該道折疊問題不僅考查了學(xué)生對軸對稱圖形性質(zhì)等知識的理解，同時還考查了學(xué)生的想象力與動手實(shí)操能力.

解 ∵折疊矩形紙張之后，其長度變成了原來的一半，而寬度則保持不變;

∴剪下來的Rt△的兩直角邊長度分別為1和3，根據(jù)勾股定理求得其斜邊長度為10.

∴在打開重疊的直角三角形后可以構(gòu)成一個完整的等腰三角形（腰長為10，底邊長度為2）;

∴可知剪下來的三角形周長為210+2.

除了上述幾種折疊問題的求解題目之外，還有一些折疊題目會以折疊之后的線段長度、圖形面積、函數(shù)解析式等為考點(diǎn).無論求解何種折疊問題，都要注意對該類題型的性質(zhì)與規(guī)律進(jìn)行深入把握，靈活運(yùn)用軸對稱圖形、相似圖形等方面的數(shù)學(xué)知識，就可以順利攻克這部分問題的求解難點(diǎn).

總之，折疊問題是新課程下初中數(shù)學(xué)考試中常見的一類問題，對學(xué)生的邏輯思維能力、想象力具有較高要求.為了順利地解決折疊問題，要注意指導(dǎo)學(xué)生對該類題型的本質(zhì)及特征進(jìn)行把握，從“點(diǎn)”“線”和“面”三個方面出發(fā)，找尋題目中折疊前后的變量與不變量，然后再綜合運(yùn)用軸對稱圖形、相似圖形等方面的知識來進(jìn)行求解，配合必要的解題訓(xùn)練，可以逐步使學(xué)生掌握解決折疊問題的思路與方法.

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