王海萍 馬樹燕

【摘要】本文針對高職數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合本院學(xué)生的實(shí)際情況，將啟發(fā)式、討論式教學(xué)方法運(yùn)用在高職數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，以不定積分第一類換元法的教學(xué)案例進(jìn)行探討和實(shí)踐，取得相應(yīng)的教學(xué)效果.

【關(guān)鍵詞】啟發(fā)式;討論式;不定積分;換元法

啟發(fā)式、討論式教學(xué)方法已在各個(gè)學(xué)科中被廣泛引用，但是如何巧妙合理地應(yīng)用在高職數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中，值得我們進(jìn)一步探討.數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)有的性質(zhì)和特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)課不同于其他課程的教學(xué)模式和課堂風(fēng)格.在教學(xué)過程中，各種教學(xué)方式不能濫用、亂用，只有合理利用，才能有效地提高課堂效率，并且還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和內(nèi)在動(dòng)力.針對目前高職數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，結(jié)合本院學(xué)生實(shí)際情況，筆者將多種教學(xué)法應(yīng)用到課堂中，以求不斷改進(jìn)教學(xué)方式，提高教學(xué)質(zhì)量.現(xiàn)以“不定積分第一類換元法”這一課作為教學(xué)案例，將啟發(fā)式、討論式的教學(xué)模式應(yīng)用到課堂教學(xué)中.

不定積分是微積分的核心內(nèi)容之一，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).學(xué)生的思維還停留在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算之中，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算通過一定的練習(xí)，對公式的反復(fù)使用，大部分學(xué)生都能很好地掌握.相對而言，對學(xué)生來講解題絕不是套用公式那么簡單，不定積分雖然是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，但從解題的方法和思路上看，難度大了很多，題目類型也非常靈活.要很好地掌握不定積分的運(yùn)算方法，需要教師很好地引導(dǎo)和啟發(fā).絕大多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)過不定積分的概念、基本積分公式之后，會(huì)利用基本積分公式和不定積分性質(zhì)求一些簡單的積分問題，在這種情形下，要慢節(jié)奏地引入新內(nèi)容、新思想、新方法.

在課堂上首先復(fù)習(xí)一下上節(jié)課的主要知識點(diǎn)，積分概念略提一下，出一至兩道練習(xí)題，一方面，復(fù)習(xí)不定積分公式和性質(zhì)，另一方面，正好引入換元法，所以給出的練習(xí)題要恰當(dāng)、合適.比如，

學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)此問題已不適合用原來的方法，那有什么好的解決辦法呢？此時(shí)，教師就可以引入本節(jié)的主要內(nèi)容：不定積分的第一類換元法.

面對枯燥的定理，學(xué)生一下子摸不著邊，無從下手，所以教師在講解過程中，不能將定理作重點(diǎn)處理，還是應(yīng)從例題出發(fā)，最后回歸到定理的結(jié)論.但是有必要讓學(xué)生看一下定理中表達(dá)式的特點(diǎn)，在教師的提示下，學(xué)生能夠有個(gè)較淺顯的認(rèn)識，公式有一種“代換”的思想.教師可以問：“代換的目的是什么？”部分學(xué)生已經(jīng)看出，“代換”的目的就是為了簡化表達(dá)式，從而達(dá)到化繁為簡、解決問題的目的.這時(shí)教師回到原來提出的問題，∫（2x+3）10dx=？教師繼續(xù)提問：“此表達(dá)式可能與哪個(gè)積分公式相關(guān)？”學(xué)生和公式一對比，大部分學(xué)生可以想到積分公式

通過對前面兩個(gè)例題的分析討論，學(xué)生對換元和湊微分的思想已經(jīng)有淺顯的理解，但還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因?yàn)椴欢ǚe分題目的多樣性，決定了需要學(xué)生進(jìn)行多方面的思維訓(xùn)練，需要進(jìn)一步舉例、練習(xí)，繼續(xù)看例題3.

先分析題目，引導(dǎo)學(xué)生先觀察被積分函數(shù)有何特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)被積分表達(dá)式是兩個(gè)函數(shù)乘積的結(jié)構(gòu)，并且被積函數(shù)的一個(gè)因式為復(fù)合函數(shù)ex2，而另一因式2x恰是其內(nèi)函數(shù)x2的導(dǎo)數(shù)，即（x2）′=2x，因此，可用湊微分法.

在例題3的解題過程中，提示學(xué)生自己觀察函數(shù)進(jìn)行討論研究，對此類題目的解題思路進(jìn)行討論研究，最后做總結(jié).最后得出，此類不定積分題目的被積分表達(dá)式特點(diǎn)是：（1）兩個(gè)函數(shù)乘積的結(jié)構(gòu);（2）相乘的兩個(gè)函數(shù)中復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，正好另外一個(gè)函數(shù)（某些情況下會(huì)相差一個(gè)常數(shù)倍數(shù)）.學(xué)生也看出，此類題目的解題思路就是典型的湊微分的方法.

看到這個(gè)題目，第一感覺就是被積分函數(shù)是一個(gè)簡單的初等函數(shù)，但是卻不能直接用積分公式，那應(yīng)該怎么辦呢？教師引導(dǎo)學(xué)生思考，既然不能直接用公式，那只能去處理被積分函數(shù)本身了，對正切函數(shù)tanx，學(xué)生能很熟練地想到將其轉(zhuǎn)化，tanx=sinxcosx，那么原來積分就轉(zhuǎn)化為∫tanxdx=∫sinxcosxdx，轉(zhuǎn)化形式之后，利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之間的積分關(guān)系，自然想到應(yīng)該如何湊微分，

這些湊微分形式可以讓學(xué)生自己進(jìn)行觀察、分析，分組討論，每個(gè)小組選兩種形式進(jìn)行舉例，要求學(xué)生自己舉出相應(yīng)例題，再從中選擇典型例題進(jìn)行計(jì)算分析.

最后可以讓各小組繼續(xù)討論，看還可以總結(jié)出哪些湊微分形式，并對所總結(jié)的湊微分形式給出對應(yīng)的例題進(jìn)行解答，將此作為這次課堂的課后作業(yè).

啟發(fā)式、討論式教學(xué)可以使學(xué)生的思維處于活躍的狀態(tài)，一步步緊跟著教師的思路，面對問題，探索方法，解決問題，中間也可以展開一些小組討論或其他形式的課堂活動(dòng).教師在采用這些教學(xué)方法時(shí)，首先要對學(xué)生的實(shí)際情況有足夠的了解，掌握學(xué)生的整體水平甚至個(gè)體實(shí)際能力.教師提問要有序、遞進(jìn)，并且要注意到提問對象的實(shí)際情況，預(yù)想到可能出現(xiàn)的困難和各種答案，想好應(yīng)對不同結(jié)果的方案，最關(guān)鍵的是要和教授的知識點(diǎn)合理巧妙地相結(jié)合.當(dāng)然，一次成功的課堂教學(xué)用到的可不僅僅是啟發(fā)式和討論式的教學(xué)手段，其間還可以結(jié)合其他的教學(xué)方法和手段，比如，可以根據(jù)學(xué)生實(shí)際狀況，對班級學(xué)生分層次分組，對不同組的學(xué)生布置不同難度的題目.教師要努力營造和諧、寬松的課堂氛圍，讓學(xué)生感覺自己是課堂真正的主人，激勵(lì)學(xué)生打破自己的思維定式，發(fā)現(xiàn)問題，積極參與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的全過程.

這樣的一次課程，不僅讓學(xué)生掌握了基本知識點(diǎn)，加強(qiáng)了舉一反三的能力，還進(jìn)一步增強(qiáng)了學(xué)生分析、歸納和總結(jié)的能力，為不定積分的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下很好的基礎(chǔ).總之，引入啟發(fā)式、討論式教學(xué)手段很大程度上提高了課堂教學(xué)的效率，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣，同時(shí)也取得較好的教學(xué)效果.

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