楊會濤　胡志奇

【摘 要】 近些年，高考中的概率統(tǒng)計試題越來越加強(qiáng)對數(shù)學(xué)閱讀能力的考查，我們?nèi)绾螏椭鷮W(xué)生了解和提升數(shù)學(xué)閱讀能力呢？ 這是每個一線教師關(guān)心的問題，筆者以2019年高考數(shù)學(xué)理科全國Ⅰ卷概率統(tǒng)計解答題為例，研究了數(shù)學(xué)閱讀（能力）的內(nèi)涵以及提升數(shù)學(xué)閱讀能力的途徑，在這個過程中有了一些粗淺的認(rèn)識，希望這些想法能夠幫助學(xué)生從容應(yīng)對高考中的概率統(tǒng)計試題.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)閱讀;數(shù)學(xué)閱讀能力;概率統(tǒng)計

2017年、2018年、2019年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)中，概率統(tǒng)計解答題分別位于19、20、21題的位置，尤其是2019年，它取代了導(dǎo)數(shù)試題而成為壓軸題.2018年，教育部考試中心任子朝、陳昂、趙軒聯(lián)合在《數(shù)學(xué)通報》發(fā)表署名文章《加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀能力的考查 展現(xiàn)邏輯思維功底》，文章指出：“近年概率與統(tǒng)計試題得分不高的原因可以歸結(jié)為試題聯(lián)系實(shí)際并不是以考生熟悉的形式呈現(xiàn)，運(yùn)算量比較大，但最重要的原因是學(xué)生讀不懂試題，不能理解題意，所以沒有解題基礎(chǔ)，因此從本題看數(shù)學(xué)閱讀能力是解決問題的關(guān)鍵[1].”

試題中的數(shù)學(xué)閱讀就是要求考生能夠根據(jù)數(shù)學(xué)問題仔細(xì)地理解題意，明白題目的要求，進(jìn)而準(zhǔn)確地制定出解決問題的方案.在這個過程中，我們需要借助已經(jīng)掌握的基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”[2]）來理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)語言，由于數(shù)學(xué)語言與社會科學(xué)語言不同，它主要包含三種語言（文字語言、符號語言和圖表語言），其中符號語言帶來的抽象性決定了數(shù)學(xué)閱讀不同于語文、英語等其他閱讀[3].數(shù)學(xué)閱讀能力主要包括：準(zhǔn)確理解原文，較快的閱讀速度，發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力[4]（簡稱“四能”[2]）.下面我們就以2019年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)壓軸題為例，談一談數(shù)學(xué)閱讀的主要步驟以及提高數(shù)學(xué)閱讀能力的途徑.

1 試題再現(xiàn)

（2019全國卷Ⅰ理21）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則甲藥得1分，乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則乙藥得1分，甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

（1）求X的分布列;

（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）.假設(shè)α=0.5，β=0.8.

（ⅰ）證明：{pi+1-pi}（i=0，1，2，…，7）為等比數(shù)列;

（ⅱ）求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

2 試題解析（主要步驟）

2.1 粗讀

就是大致的把本題瀏覽一遍，在瀏覽的過程中堅持不添字、不漏字[5]，通過感知題中的數(shù)學(xué)語言，認(rèn)識和了解到本題是一道概率與數(shù)列相結(jié)合的試題，重點(diǎn)記住試題的要求：“求一輪試驗中甲藥的得分X的分布列？”;“證明{pi+1-pi}（i=0，1，2，…，7）為等比數(shù)列并求p4？”

2.2 圈讀

對于問題（1），我們可以去研究試驗“約定”的內(nèi)容，必要時可以圈圈畫畫，“約定”內(nèi)容的意思是“在一輪試驗中，如果使用甲沒有治愈白鼠，而使用乙藥治愈了白鼠，那么X=-1;如果使用甲乙兩種藥都治愈或都未治愈白鼠，那么X=0;如果使用甲治愈了白鼠，而使用乙沒有治愈白鼠，則X=1.”因此X=-1，0，1，

P（X=-1）=（1-α）β，P（X=0）=αβ+（1-α）（1-β），P（X=-1）=α（1-β），則X的分布列如下：

對于問題（2）中的第（?。﹩?，我們可以直接利用“p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）.假設(shè)α=0.5，β=0.8”去推導(dǎo).由于問題是“證明{pi+1-pi

}（i=0，1，2，…，7）為等比數(shù)列并求p4？”我們只需要快速準(zhǔn)確地計算出a，b，c的值并代入“pi=api-1+bpi+cpi+1”即可，并不用去理解“pi=api-1+bpi+cpi+1”是怎么得到的，（這個式子是利用全概率公式推導(dǎo)出來的，大家可以試一試.）我們只需要會用就可以.此時，由（1）知，a=P（X=-1）=（1-0.5）×0.8=0.4，b=P（X=0）=0.5×0.8+（1-0.5）（1-0.8）=0.5，c=P（X=1）=0.5×（1-0.8）=0.1.

所以pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1，即pi+1=5pi-4pi-1，所以pi+1-pi=4（pi-pi-1），顯然p1-p0=p1≠0（若p1-p0=p1=0，則pi+1=pi，進(jìn)而p8=p7=…=p1=0與p8=1矛盾）.所以數(shù)列{pi+1-pi}（i=0，1，2，…，7）是以p1為首項，公比為4的等比數(shù)列.

（ⅱ）由（ⅰ）知pi+1-pi=p1×4i，所以p1-p0=p1×40，p2-p1=p1×41，…，p8-p7=p1×47，利用迭加法知：p8-p0=p1×（40+41+…+47）=48-13p1=1，則p1=348-1.

p4=p4-p0=p1×（40+41+42+43）=348-1×1-441-4=144+1=1257≈0.0039.我們?nèi)绾胃鶕?jù)p4≈0.0039去解釋這個方案的合理性呢？雖然離成功只有一步之遙，但這一步是何等的艱辛啊！

2.3 精讀

其實(shí)就是對重要條件邊讀邊分析[5].為了弄清楚這個方案是否合理，我們可以先來理解α和β，當(dāng)α=0.5，β=0.8時，說明乙的治愈率明顯高于甲的治愈率，所以總的來說，乙比甲更有效.為了理解p4的含義，我們可以先來理解p0：“甲藥的累計得分為0時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效的概率”，采用“特殊與一般的思想”理解p0：

從這樣一個特殊的量表，甲得0分說明：在通過做若干次試驗后，用甲的白鼠比用乙的白鼠治好的總數(shù)少4只.依據(jù)題目的規(guī)定立刻停止試驗，并認(rèn)為乙比甲更有效，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)為 “甲比乙更有效”的概率為0，所以p0=0.同理可以理解p8的含義.通過構(gòu)建量表的過程，不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)甲取4分時，乙也取4分，根據(jù)題目條件，甲乙勝敗不確定，但是兩種藥最后一定要分出勝敗，肯定也就產(chǎn)生勝敗的概率，此時就出現(xiàn)了問題二中的一個重要命題：p4 表示“甲累計得4分時，最終認(rèn)為甲比乙更有效”的概率，核心詞是“最終”，也就是讓我們根據(jù)甲取4分時，“推測”甲取勝的概率p4 .（我們能深刻地理解p4的含義其實(shí)用到了統(tǒng)計與概率的思想方法中“非確定性”的思維方式，3.2會重點(diǎn)給予解釋.）

根據(jù)上面精讀的過程，我們進(jìn)行解釋：當(dāng)α=0.5，β=0.8 時，甲累計得4分時（此時乙累計也得4分），即甲乙兩藥得分相同的情況下，最后推測出甲比乙更有效的概率約為0.0039.換句話說，當(dāng)甲的治愈率明顯低于乙的治愈率時，這兩種藥物在相同的前提下開始進(jìn)行試驗，根據(jù)試驗制定的規(guī)則最后認(rèn)為甲更加有效果的概率是十分低的，也就是判斷兩種藥物有效性出現(xiàn)的錯誤的概率非常低.因此從這個角度來看，這種試驗方案是合理的.

3 提高數(shù)學(xué)閱讀能力的途徑

3.1 掌握概率統(tǒng)計的基本概念

為了準(zhǔn)確的理解概率統(tǒng)計試題中的數(shù)學(xué)語言，學(xué)生必須掌握概率統(tǒng)計中的基本概念.我們可以從以下三個方面對概念進(jìn)行梳理和整合[6].

3.1.1 隨機(jī)事件的一般研究過程：

3.1.2 隨機(jī)變量的一般研究過程：

3.1.3 統(tǒng)計的一般研究過程：

掌握以上基本概念為我們把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題提供了關(guān)鍵依據(jù)，例如在2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)第20題中，通過“先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗”和“設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0

3.2 掌握統(tǒng)計與概率的思想方法

《2019年考試大綱的說明》中把統(tǒng)計與概率的思想[7]作為六大數(shù)學(xué)思想方法之一.因為統(tǒng)計與概率研究的是非確定性的隨機(jī)現(xiàn)象，它屬于非確定性數(shù)學(xué)的范疇[8]，所以造成學(xué)生不太好掌握統(tǒng)計與概率的思想.學(xué)生更喜歡解決確定性數(shù)學(xué)的試題，一看到概率統(tǒng)計試題“腦子里缺了一根弦兒[9]”.比如在認(rèn)識和理解p4的過程中，我們相信學(xué)生很容易理解p0和p8的含義，它們屬于確定性數(shù)學(xué)的范疇，而甲取i（i=1，2，3，…，7）分時，根據(jù)題目條件，甲乙勝敗不能確定，但是兩種藥最后一定要分出勝敗，肯定也就產(chǎn)生勝敗的概率，此時就出現(xiàn)了問題二中的一個核心詞 “最終”，也就是讓我們根據(jù)甲取i分時，“推測”甲取勝的概率pi .再比如2016年試題是“以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一， 應(yīng)選用哪個？”;2017年試題是“（Ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;”這些問題都涉及到 “非確定性”的思考方式.因此掌握統(tǒng)計與概率的思想方法是學(xué)生提升數(shù)學(xué)閱讀能力的關(guān)鍵.

3.3 掌握數(shù)學(xué)語言的閱讀策略

3.3.1 文字語言

如果我們掌握了概率統(tǒng)計的基本概念，那么很容易理解文字語言的含義.但是，由于試題文字表述的簡潔性，我們必須理清一些關(guān)鍵詞、關(guān)鍵語句的內(nèi)涵.比如2017年試題：“根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）”，指的是“每個”零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）;2018年試題：“如檢驗出不合格品，則更換為合格品”和“已知每件產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.”兩句文字表述放到一起理解：如果廠子進(jìn)行檢查，只需要支付每件2元的檢查費(fèi)，那么到用戶手中都是合格產(chǎn)品;如果廠子不進(jìn)行檢查，若存在不合格產(chǎn)品流入用戶的手里，則廠子要承擔(dān)每件不合格產(chǎn)品25元的賠償費(fèi).

3.3.2 圖表語言

2018年、2019年試題中沒有圖表，2016年試題中有頻數(shù)圖，2017年試題中有統(tǒng)計表.對于圖表的閱讀，我們可以先讀表頭再讀數(shù)據(jù)，文字圖表相結(jié)合，表頭與數(shù)據(jù)相對應(yīng).逐行逐列認(rèn)真閱讀的同時，還要認(rèn)真思考問題與圖表的關(guān)系、問題與數(shù)據(jù)的關(guān)系，根據(jù)這些關(guān)系確定出解題策略[10].

3.3.3 符號語言

符號語言是一種抽象而又簡潔的數(shù)學(xué)語言.有時我們只需要會用它就可以了，而不必知道它的內(nèi)涵，比如“pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7）”.但有時，我們必須搞清楚它的含義，比如“p4”的含義.我們?nèi)绾闻袛唷胺栒Z言”在一道試題中的要求層次呢？這需要借助下面的閱讀技巧.

3.4 正確運(yùn)用閱讀技巧

在閱讀試題時，為了快速準(zhǔn)確制定出解題方案，我們需要堅持粗讀（感知試題的知識框架，明確問題的要求.）→圈讀（帶著問題有選擇的去閱讀.）→精讀（對于較復(fù)雜的問題不能跳躍性的閱讀，需要手腦并用，對材料中的每個字、每個公式都要注意到.）.其實(shí)在經(jīng)歷“粗讀”、“圈讀”之后，我們可以快速準(zhǔn)確地判斷出“符號語言”的要求層次，同時對于很多試題，我們在完成“粗讀”和“圈讀”之后，都能夠制定出解題方案，但較復(fù)雜的試題，只有在進(jìn)行精讀完以后才能夠制定出最后的解題方案.

總之，提高數(shù)學(xué)閱讀能力，可以幫助我們快速準(zhǔn)確地制定出解題方案.但是想要得到正確的答案，還需要學(xué)生在平時培養(yǎng)自己的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力.另外，學(xué)生要加強(qiáng)對往年高考試題的研究，利用閱讀策略和技巧發(fā)現(xiàn)命題的特點(diǎn)，找出命題的規(guī)律，最終能夠從容應(yīng)對概率統(tǒng)計解答題.

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作者簡介

楊會濤，高級教師，邢臺市第二中學(xué)數(shù)學(xué)教研室主任，河北省優(yōu)秀教師，河北省“三三三人才工程”第三層次人選，河北省名師工作室成員，河北省基礎(chǔ)教育工作專家?guī)斐蓡T，河北省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎獲得者，主持并完成河北省“十一五”規(guī)劃課題《新課程標(biāo)準(zhǔn)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式創(chuàng)新的研究》，在省級及以上期刊發(fā)表多篇論文.

胡志奇，一級教師，邢臺市普通教育教學(xué)研究室教研員，在核心期刊《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》發(fā)表《數(shù)學(xué)教師素質(zhì)結(jié)構(gòu)的實(shí)證研究》.