胡亦寧
摘要:從“探索發(fā)現(xiàn)”到“特殊驗(yàn)證”,再到“大膽猜想”“小心求證”,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,同時(shí)也是科學(xué)探索的一般方法。課堂以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo),讓學(xué)生經(jīng)歷定理得到的一般方法,有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高。
關(guān)鍵詞:探索;發(fā)現(xiàn);推理;表征;直角三角形
直角三角形在現(xiàn)實(shí)世界到處可見,且學(xué)生在小學(xué)就對直角三角形的基本要素有初步的了解。因此,在進(jìn)一步學(xué)習(xí)時(shí),教師可以《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念及建構(gòu)主義理論為指導(dǎo),充分關(guān)注學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ),嘗試讓信息技術(shù)成為情境創(chuàng)設(shè)的工具,成為學(xué)生學(xué)習(xí)的資源工具、探究工具、評價(jià)工具和表達(dá)工具,以轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,促使學(xué)生參與、體驗(yàn)概念形成和獲得的過程,從中感悟抓住事物本質(zhì)特征觀察的數(shù)學(xué)思維方法,從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,促使學(xué)生信息能力的發(fā)展,體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值。
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
(一)內(nèi)容
直角三角形的符號表示,直角三角形的性質(zhì)定理(1)(2)。
(二)內(nèi)容解析
1.內(nèi)容的本質(zhì)。對于直角三角形,學(xué)生只學(xué)過它的定義、兩個(gè)直角三角形全等的判定。本節(jié)課主要研究的就是直角三角形的性質(zhì)。這兩條性質(zhì)分別揭示了直角三角形的主要元素“角”之間的數(shù)量關(guān)系、主要元素“斜邊”及相關(guān)元素“斜邊上的中線”之間的數(shù)量關(guān)系,這是本節(jié)課的學(xué)習(xí)主體內(nèi)容。
2.內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法。讓學(xué)生利用等腰三角形的軸對稱性,把其拆分為兩個(gè)直角三角形,從等腰直角三角形、等邊三角形這些特殊的等腰三角形入手,經(jīng)歷“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”及其推論的猜想、探究和推導(dǎo)的證明過程,體會(huì)從一般到特殊、再從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。這種特殊化、一般化的研究策略,旨在讓學(xué)生更好地理解這兩條性質(zhì)的發(fā)生。
3.知識的上下位關(guān)系。學(xué)生在前期已經(jīng)學(xué)習(xí)和掌握了等腰三角形的判定和性質(zhì),這為學(xué)生研究特殊的三角形提供了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)范式。定理(2)無論是文字語言表述,還是圖形語言的描述,都揭示了直角三角形與等腰三角形之間的天然聯(lián)系。定理(2)是后續(xù)研究直角三角形與特殊平行四邊形的基礎(chǔ)與依據(jù),直角三角形與等腰三角形的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化也是解直角三角形的利器。
4.內(nèi)容的育人價(jià)值。從認(rèn)知方面看,讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、猜想、驗(yàn)證、推理,從圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),培養(yǎng)學(xué)生知識系統(tǒng)化的思想和分類討論的思維習(xí)慣,并獲得解決問題方法的啟發(fā)。從非認(rèn)知因素看,整節(jié)課的探究過程可以有效激發(fā)學(xué)生的興趣,形成積極的情感體驗(yàn),從而增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的探索能力,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)。
5.闡明本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是直角三角形的性質(zhì)定理(1)(2)及其運(yùn)用。
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
(一)目標(biāo)
掌握用符號和字母表示直角三角形。掌握直角三角形的性質(zhì)定理(1)(2),即直角三角形的兩個(gè)銳角互余,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,并能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明。讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、猜想、驗(yàn)證、推理的定理學(xué)習(xí)過程,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)。
(二)目標(biāo)解析
會(huì)運(yùn)用直角三角形的符號表示,會(huì)運(yùn)用性質(zhì)定理及推論對有關(guān)圖形進(jìn)行論證和計(jì)算,從而提高學(xué)生的邏輯推理能力和推理表達(dá)能力。
三、教學(xué)問題診斷分析
(一)已有的基礎(chǔ)
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一般三角形和等腰三角形,會(huì)在簡單情況下證明兩個(gè)三角形全等,知道直角三角形的定義,初步掌握了綜合法的證明和表述。
(二)存在的困難
證明性質(zhì)定理(2)時(shí),倍長中線法構(gòu)造全等三角形不易想到,學(xué)生在較復(fù)雜情況下證明兩個(gè)三角形全等的推理表達(dá)能力較弱,其他方法又欠缺知識基礎(chǔ),在復(fù)雜圖形中綜合運(yùn)用性質(zhì)定理的能力比較弱。
(三)解決策略
教師通過折疊等腰直角三角形、幾何畫板測量演示,讓學(xué)生對性質(zhì)定理(2)的證明先有直觀想象,對轉(zhuǎn)化成等價(jià)命題這一方法的產(chǎn)生有更自然的過渡。
教師通過鞏固提高的變式訓(xùn)練,增強(qiáng)學(xué)生對知識本質(zhì)的理解,從定性到定量的研究,提高學(xué)生在復(fù)雜圖形中綜合運(yùn)用性質(zhì)定理的能力。
四、教學(xué)支持條件分析
幾何畫板、PPT、同屏助手。
五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
(一)新課引入
問題1:
師:同學(xué)們,前面我們已經(jīng)認(rèn)識了特殊的三角形——等腰三角形,它是一個(gè)什么圖形?
生:軸對稱圖形。
師:老師這有一個(gè)等腰三角形,你能沿著它的對稱軸折疊嗎?
生1上臺(tái)演示。
師:折疊后的三角形角有怎樣的特點(diǎn)?
生:有一個(gè)角是直角。
師:是的,我們知道有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形,今天我們一起繼續(xù)來學(xué)習(xí)直角三角形。(板書課題)
【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生已學(xué)的等腰三角形入手,利用軸對稱性引出直角三角形的定義,讓學(xué)生體會(huì)到直角三角形的學(xué)習(xí)是等腰三角形學(xué)習(xí)的延續(xù)。
(二)新知探索
問題2:
師:如圖(圖略),△ABC中∠C=90°,△ABC是直角三角形,記作Rt△ABC.(板書△ABC及符號表示)
師:你能得到另兩個(gè)角有什么關(guān)系嗎?為什么?
生1:因?yàn)槿切蝺?nèi)角和等于180°,Rt△ABC中∠C=90°,所以∠A+∠B=90°.(板書幾何語言)
師:非常好!這就是直角三角形的性質(zhì)定理(1):直角三角形的兩個(gè)銳角互余。(板書文字語言)
問題3:
師:接下來我們看看,在其他要素上,直角三角形有什么性質(zhì)。在這個(gè)一般的直角三角形上并不能直接發(fā)現(xiàn)什么。那我們找一個(gè)特殊的,有一個(gè)角是直角的等腰三角形——等腰直角三角形。如△ABC中,AC=BC,∠C=90°,同樣把它沿著對稱軸CD折疊,你有什么發(fā)現(xiàn)?
生:得到了兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCD。
師:除了AC=BC,其他線段有什么關(guān)系呢?
生1:CD=AD=BD。
生2:都等于AB的一半。
師:對于直角三角形來說,AB是什么邊?CD是AB邊上的什么線?
生:斜邊。斜邊上的中線和高線。
師:那你覺得斜邊上的中線或者高線與斜邊有什么關(guān)系呢?
生:斜邊上的中線和高線是斜邊的一半。
師:這個(gè)結(jié)論對所有的直角三角形都成立嗎?我們用幾何畫板演示一下。
師:通過度量它們的長度及比值,你有什么發(fā)現(xiàn)?
生:我發(fā)現(xiàn)直角三角形在改變的時(shí)候,好像斜邊上的中線始終是斜邊的一半,而高線并不一定。
【設(shè)計(jì)意圖】通過等腰直角三角形這個(gè)特殊的直角三角形斜邊上的中線與斜邊的一半的關(guān)系,到任意直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關(guān)系的思考,引導(dǎo)學(xué)生掌握從特殊到一般的解決問題的策略,同時(shí)形成猜想。
問題4:
師:那么“直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半”這個(gè)命題是真命題嗎?
生:需要證明。
幾何畫板呈現(xiàn)。已知:如圖,CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線.求證:CD=? ? ?AB.
師:請同學(xué)們小組合作,交流完成。2分鐘后……
師:你們組完成了嗎?
生:沒有。
師:有思路嗎?哪里有困難?
生:從已知可得AD=BD=? ? AB,要求證CD=
AB,我們想到就是要求證CD=AD或者CD=BD,但證明不了。
師:你們的想法很好,那我們一起來試一試。如果已經(jīng)有BD=CD,只要證明AD=CD,那是不是就等于證明了CD=? ? AB。那我們就來證明這個(gè)命題。
幾何畫板呈現(xiàn)。已知:如圖,D是Rt△ABC斜邊AB上的一點(diǎn),BD=CD.求證:AD=CD.
同屏展示學(xué)生的證明過程。
師:非常好!我們通過觀察、操作、猜想、驗(yàn)證、推理,得到了直角三角形的另一條性質(zhì)定理:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生自主探索、小組合作的形式,老師利用幾何畫板的演示幫助學(xué)生理解,從而驗(yàn)證推理,證明猜想。
(三)例題解析
例1:如圖(圖略),一名滑雪運(yùn)動(dòng)員沿著傾斜角為30°的斜坡,從A滑行至B. 已知AB=200 m.這名滑雪運(yùn)動(dòng)員的高度下降了多少米?
師:下降高度與水平距離、滑行距離構(gòu)成什么三角形?請作出圖形。從∠B=30°能推出什么?
生:∠A=60°。
師:已知什么邊的長度?
生:斜邊。
師:你能想到關(guān)于它的什么性質(zhì)?
生:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
師:需要添輔助線嗎?怎么添?你又發(fā)現(xiàn)了什么?
生:CD=? ? AB=100 m,△ACD是等邊三角形。
師:AC與CD、AD有什么關(guān)系?請你把過程寫一寫。
師:從本題我們發(fā)現(xiàn)含30°角的直角三角形邊之間有什么關(guān)系?
生:30°角所對的直角邊是斜邊的一半。
師:是的,我們得到了直角三角形性質(zhì)定理的一條推論:直角三角形中,30°角所對的直角邊是斜邊的一半。(板書)
師:當(dāng)我們把含30°角的直角三角形沿著較長的直角邊做軸對稱后得到的就是一個(gè)特殊的等腰三角形——等邊三角形,我們也可以在這個(gè)圖中完成推論的證明。
【設(shè)計(jì)意圖】通過生活中的實(shí)例,通過數(shù)學(xué)幾何論證得出推論并解決問題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活,應(yīng)用生活。
(四)歸納小結(jié)
我們發(fā)現(xiàn)等腰三角形和直角三角形之間有著緊密的聯(lián)系,通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),我們進(jìn)一步認(rèn)識了直角三角形,會(huì)用符號和字母表示直角三角形,學(xué)習(xí)了直角三角形“角”之間的關(guān)系、“斜邊”及相關(guān)元素“斜邊上的中線”之間的關(guān)系,后面我們還將學(xué)習(xí)“邊”之間及“邊”與“角”之間的關(guān)系。
【設(shè)計(jì)意圖】通過對本堂課的知識總結(jié),研究幾何方法的總結(jié),讓學(xué)生體會(huì)從一般到特殊、再從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。
六、目標(biāo)達(dá)成檢測
1.已知直角三角形兩個(gè)銳角的度數(shù)之比為3:2, 這兩個(gè)銳角的度數(shù)分別為? ? ? ? ? 。
2.如圖1,已知AC⊥BC,AE⊥BE,D為AB的中點(diǎn),
(1)試判斷DE與CE是否相等,并說明理由。
(2)改變點(diǎn)E的位置如圖2,(1)的結(jié)論還成立嗎?
(3)如圖2,若∠ABC=30°,∠BAE=40°,AC=3,試求∠CDE的度數(shù)和DE的長度。
(4)如圖2,延長AC、BE交于點(diǎn)F,得到圖3,試判斷∠F與∠CDE的關(guān)系。(選做題)
數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科實(shí)施素質(zhì)教育的一項(xiàng)重要內(nèi)容,它在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)方面具有極為重要的作用。在教學(xué)中,數(shù)學(xué)知識是一條明線,得到數(shù)學(xué)教師的重視;數(shù)學(xué)發(fā)展史是貫穿于這節(jié)課的另一條線,在教學(xué)中培養(yǎng)了學(xué)生的探索能力。數(shù)學(xué)思想方法滲透比交代知識更重要,因?yàn)檫@是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂。這節(jié)課,體現(xiàn)了教師在教學(xué)的同時(shí),注意從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合這兩種思想的滲透。
(責(zé)任編輯:韓曉潔)