朱勇

摘 要 數(shù)學(xué)抽象是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要能力之一，是學(xué)生從“學(xué)會(huì)”變成“會(huì)學(xué)”的基礎(chǔ)。本文主要通過(guò)“創(chuàng)設(shè)對(duì)比情景，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象意識(shí);優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象方法;開(kāi)展合作交流，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象途徑”三方面對(duì)初中數(shù)學(xué)學(xué)教中學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)措施進(jìn)行具體論述。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)抽象;抽象能力;學(xué)教課堂

一、提出問(wèn)題

課堂上，我們的教師侃侃而談，激情四射。但在課后教師間的交流中經(jīng)常會(huì)說(shuō)：學(xué)生怎么那么差的啊。例如在浙教版七上《1.3數(shù)軸》的學(xué)教中，我們教師經(jīng)常會(huì)碰到這樣的尷尬：新課上完之后，讓學(xué)生說(shuō)數(shù)軸三要素：原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向，很多學(xué)生都會(huì)答，但是，總有那么一批學(xué)生在課后作業(yè)中畫(huà)數(shù)軸時(shí)會(huì)漏這個(gè)條件或那個(gè)條件;上課時(shí)，教師覺(jué)得學(xué)生已經(jīng)很懂了，但往往事與愿違，學(xué)生課堂上再懂也敵不過(guò)遺忘規(guī)律，特別是我們的學(xué)生來(lái)自農(nóng)村，基礎(chǔ)本就薄弱，課中學(xué)習(xí)課后忘的現(xiàn)象更加嚴(yán)重。

課堂是精彩的，學(xué)生也是認(rèn)真聽(tīng)的，那么到底是什么原因?qū)е挛覀兊恼n堂效率不高呢？其關(guān)鍵問(wèn)題就是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括能力較弱，無(wú)法建構(gòu)出數(shù)學(xué)模型等。

二、概念解析

那么，什么是數(shù)學(xué)抽象？首先抽象性是數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)之一，抽象也是數(shù)學(xué)活動(dòng)最基本的思維方法。

其次，數(shù)學(xué)抽象就是對(duì)事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式等方面本質(zhì)屬性抽取，從而進(jìn)一步提煉出數(shù)學(xué)概念，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)理論，是學(xué)生從“學(xué)會(huì)”變成“會(huì)學(xué)”重要能力之一。

三、課堂學(xué)教中數(shù)學(xué)抽象的應(yīng)用和提升

在初中數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)中，數(shù)學(xué)抽象是學(xué)習(xí)該學(xué)科必須要具備的一種數(shù)學(xué)思想。對(duì)于初中階段的學(xué)生而言，初中數(shù)學(xué)學(xué)教能夠?qū)ζ涮骄恳庾R(shí)進(jìn)行有效的培養(yǎng)，同時(shí)也是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象有效滲透的重要途徑，針對(duì)初中數(shù)學(xué)學(xué)教過(guò)程中的數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)進(jìn)行深入的研究，對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升具有積極的作用，因此，有必要針對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行深入的研究。

（一）創(chuàng)設(shè)對(duì)比情景，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象意識(shí)

在對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行培養(yǎng)的過(guò)程中，應(yīng)該對(duì)學(xué)生的身心特點(diǎn)保持重視，初中階段，學(xué)生在身心方面得到了很大的發(fā)展，特別是在思維能力方面的發(fā)展，相比于小學(xué)階段有了顯著的提升，但他們?cè)诔橄笫挛锓矫娴恼J(rèn)識(shí)能力仍然需要進(jìn)行不斷的提升，因此，在初中數(shù)學(xué)學(xué)教過(guò)程中，還需要教師對(duì)學(xué)教情境進(jìn)行有效的創(chuàng)設(shè)和對(duì)比，使各知識(shí)點(diǎn)之間能夠緊密的銜接起來(lái)，促進(jìn)學(xué)生完成知識(shí)點(diǎn)的概括，并通過(guò)科學(xué)的引導(dǎo)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)期間對(duì)數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行理解和增強(qiáng)，從而達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括能力的目的。

1.類(lèi)比——促學(xué)生概念抽象

學(xué)生的對(duì)新知的學(xué)習(xí)是建立在已有知識(shí)上的一種重新建構(gòu)。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ)，是學(xué)好數(shù)學(xué)的第一步。因此，在概念學(xué)教中，教師要充分了解學(xué)情，同時(shí)在學(xué)教設(shè)計(jì)中應(yīng)以學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)為基礎(chǔ)對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效的引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生思考、概括。

案例1.在浙教版九上第一章《二次函數(shù)1.1》中，課本直接利用三個(gè)生活實(shí)際的問(wèn)題得出三個(gè)新的函數(shù)，再通過(guò)比較來(lái)概括得出二次函數(shù)的概念。但是因?qū)W情的不同，實(shí)際學(xué)教中，三個(gè)二次函數(shù)關(guān)系式各有特點(diǎn)，學(xué)生很難找出并概括出二次函數(shù)的概念特點(diǎn)。如果在學(xué)教中對(duì)問(wèn)題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)难a(bǔ)充成三個(gè)一次函數(shù)，再通過(guò)一次函數(shù)來(lái)概括引出二次函數(shù)，效果會(huì)更好。

請(qǐng)用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式表示下列不同問(wèn)題情境中的兩個(gè)變量中y和x之間的關(guān)系。

某商店一月份的利潤(rùn)是2萬(wàn)元，利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率為a，二月份的利潤(rùn)為b

某商店一月份的利潤(rùn)是2萬(wàn)元，二、三月份利潤(rùn)逐月增長(zhǎng)，這兩個(gè)月利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率為a，3月份的利潤(rùn)為b

一個(gè)矩形的操場(chǎng)，中間是草坪，四周是等寬的水泥路，路寬為x（m），操場(chǎng)長(zhǎng)為100m，寬80m，草坪周長(zhǎng)為y（m）

一個(gè)矩形的操場(chǎng)，中間是草坪，四周是等寬的水泥路，路寬為x（m），操場(chǎng)長(zhǎng)為100m，寬80m，草坪面積為y（m²）

y=2πr

b=2（1+a）

y=360-8x

y=πr²

b=2（1+a）²

y=（100-2x）（80-2x）

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)表左三個(gè)式子分析得出是三個(gè)一次函數(shù)解析式，特別第二個(gè)解析式在分析如何得出是一次函數(shù)是先去括號(hào)化為一般形式，再概括得出;以此類(lèi)推，那么表右三個(gè)解析式有何共同特點(diǎn)呢？學(xué)生會(huì)試著去括號(hào)，后找共同特點(diǎn)，從而概括得出二次函數(shù)的概念。

2.對(duì)比——促學(xué)生公式抽象

數(shù)學(xué)公式是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)的重要工具，是人們經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)踐的重要經(jīng)驗(yàn)和成果。對(duì)比、概括是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式的重要方法之一。

案例2.在浙教版《乘法公式1》學(xué)教中這樣引入：同學(xué)們上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算，接下來(lái)老師和你們一起比賽看看誰(shuí)算的快：

1.（a+b）（c-d）= 2. （x+5）（x-6）=

3. （x+5）（x-5）= 4. （a+2）（a-2）=

5. （3+x）（3-x）= 6. （m+n）（m-n）=

師：我做好了，你們要加快哦！

生：老師，你賴(lài)皮，你肯定知道答案的

師：那是因?yàn)槲矣懈玫姆椒ǎ銈冏龊弥笠部梢宰约撼橄蟾爬ㄅ叮?/p>

……

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)師生競(jìng)賽的模式激發(fā)學(xué)生探究、概括的興趣，學(xué)生在做完之后，很快會(huì)發(fā)現(xiàn)3、4、5、6四個(gè)題目的運(yùn)算結(jié)果都只有兩項(xiàng)，進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生的思考，在教師的引導(dǎo)下得出平方差公式。

（二）優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象方法

要培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和概括方法，需要教師在課堂學(xué)教中反復(fù)滲透，因此，在課堂學(xué)教設(shè)計(jì)中僅僅完成知識(shí)目標(biāo)是不夠的，還需在學(xué)教設(shè)計(jì)中有意目的性對(duì)學(xué)生的一些概括的思想和方法進(jìn)行滲透，

1.優(yōu)化例題——促學(xué)生解題方法抽象

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011）指出：不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。所以，我們的數(shù)學(xué)課堂學(xué)教應(yīng)關(guān)注不同層次的學(xué)生都能有所發(fā)展和收獲。

案例3.在浙教版七上下《5.2一元一次方程解法2》的學(xué)教中，書(shū)本例題是例3和例4 這三個(gè)題目

例4是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)，我把例題進(jìn)行適當(dāng)增加和改編，改為題組

（1） （2） （3）

（4）（5）（6）

【設(shè)計(jì)意圖】從最簡(jiǎn)單將系數(shù)化為1的一元一次方程出發(fā)，依次增加為移項(xiàng)，去括號(hào)，去分母（這前面三個(gè)題目是復(fù)習(xí)上一節(jié)課的內(nèi)容），將分子分母中的小數(shù)變?yōu)檎麛?shù)的形式，最后一題的改編主要是為了能與第5題對(duì)比，學(xué)生剛解完第5題，對(duì)第6題是既熟悉又陌生，通過(guò)學(xué)生們的比較、探索、概括，得出最后解決方案和依據(jù)。最后讓學(xué)生自己概括出解一元一次方程的基本步驟為去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，未知數(shù)的系數(shù)化為1，有助于培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)抽象。

2.優(yōu)化變式——促學(xué)生解題規(guī)律抽象

變式練習(xí)是學(xué)生掌握知識(shí)的一種常用方法，教師通過(guò)對(duì)材料的合理整合，通過(guò)變式練習(xí)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中反思，從而概括出不變的規(guī)律。

案例4.在浙教版《一元一次方程解法》復(fù)習(xí)中，進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)（部分）：

下列方程中，解是x=2的是（ ）

（A）4x=2;（B）;（C）3x=8-x;（D）

變式一：已知x=2是關(guān)于x的方程3x=8-ax的解，則a的值為??????????;

變式二：已知關(guān)于x的方程3x=8-ax與方程5（2x+6）有相同的解，則a的值為??????????;

變式三：設(shè)a為整數(shù)，若關(guān)于3x=8-ax的方程的解為正整數(shù)，則a的值為

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)最簡(jiǎn)單的例題讓學(xué)生回憶出有關(guān)方程解的特性：代入方程后，使方程左右兩邊成立的值。變式一是含參方程，根據(jù)例題，將x的值代入即可;變式二是在變式一的基礎(chǔ)上增加了相同解的概念;通過(guò)變式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要是方程的解，則這個(gè)解代入方程后必恒成立。變式三則更進(jìn)一步在含參方程的基礎(chǔ)上增加了解的取值范圍要求，在概括得出前面變式的特性的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以將看成已知數(shù)，得出，再根據(jù)是正整數(shù)的要求，a是整數(shù)的要求得出結(jié)論。在基礎(chǔ)上還可以引領(lǐng)學(xué)生將方程化為來(lái)解決問(wèn)題，得出如何解參數(shù)方程常用的一些方法。

3.優(yōu)化專(zhuān)題——促學(xué)生最佳方法抽象

數(shù)學(xué)問(wèn)題有很很多解決的方法，我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中不僅要讓學(xué)生知道和掌握各種方法外，還應(yīng)學(xué)會(huì)選擇，尋找最佳方法為解決問(wèn)題。在浙教版八下在上完一元一次方程的解法之后，設(shè)計(jì)了《一元二次方程解法的優(yōu)化選擇》專(zhuān)題復(fù)習(xí)課（部分）用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?/p>

案例5.熱身練習(xí)：用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?/p>

（1）x²=3x（2）2（x-1）²-4=0

（3）x²-3x+1=0 （4）x²-2x-99=0

解法特征

開(kāi)平方法

因式分解法

配方法

公式法

【設(shè)計(jì)意圖】了解學(xué)生方法選擇的現(xiàn)狀，通過(guò)具體題目，以生生對(duì)話，師生對(duì)話形式概括各種解法的特征以及如何選擇合適的方法。

1.解一元二次方程的步驟：

（1）觀察;（2）選方法：首先看能否用開(kāi)平方法，其次看需不需要配方法，再是因式分解法，最后是公式法（3）下筆

2.特征：

⑴直接開(kāi)平方法：左右邊都是 完全平方式（b=0，a，c異號(hào)）：

⑵配方法：b是a的偶數(shù)倍，c比較大

⑶因式分解法：左邊是二次三項(xiàng)式右邊為0.（c=0肯定是提取公因式法b²-4ac;是完全平方式肯定能用十字相乘法）

⑷公式法：通用。

案例6.鞏固練習(xí)

題組練習(xí)： 1.用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋ㄒ欢ǘ慈鹿P）

（1）x（2x-7）=2x（2）400（1-x）²=256

（3）3x²-8x-2=0 （4）x²-2x-3599=0

（5）（3x-11）（x-2）=2 （6）（3x-2）²-5（3x-2）+4=0

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)，交流感受選擇合適方法帶來(lái)的快速解題的優(yōu)點(diǎn)。對(duì)前面概括的一元二次方程的解題步驟（一定二看三下筆）加以鞏固。

（三）開(kāi)展合作交流，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象途徑

在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生除了要具有端正的學(xué)習(xí)態(tài)度之外，還要與教師和同學(xué)進(jìn)行積極的交流，只有如此，才能獲得更多的想法，使知識(shí)得到有效的概括，因此，在學(xué)教實(shí)踐當(dāng)中，教師應(yīng)該對(duì)分組討論活動(dòng)加強(qiáng)組織，使學(xué)生之間能夠多加溝通和交流，并在遇到問(wèn)題以后，可以將自身想法與他人的觀念進(jìn)行有效的結(jié)合，使其想法更為全面，不僅有效提升數(shù)學(xué)學(xué)教質(zhì)量，還能促進(jìn)學(xué)生概括習(xí)慣的養(yǎng)成。

例如，在浙教版九上的二次函數(shù)進(jìn)行學(xué)教時(shí)，為了使學(xué)生能夠更好的掌握方程ax²+bx+c=0與函數(shù)的關(guān)系，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象，教師應(yīng)該避免應(yīng)用開(kāi)門(mén)見(jiàn)山的方式進(jìn)行直接的講解，可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M，注重學(xué)生的主體地位，并為學(xué)生預(yù)留充分的時(shí)間進(jìn)行小組討論，而在此過(guò)程中，教師要做好引導(dǎo)工作，對(duì)學(xué)生概括思維進(jìn)行有效的培養(yǎng)，使學(xué)生能夠更好的掌握所學(xué)知識(shí)，即在方程存在兩個(gè)解的情況下，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)有兩個(gè);而如果方程的解僅有一個(gè)，則二次函數(shù)與x軸之間也只有一個(gè)交點(diǎn);若方程無(wú)解，則兩者沒(méi)有交點(diǎn)，學(xué)生在得出相關(guān)結(jié)論以后，教師可以組織學(xué)生對(duì)二次函數(shù)和方程展開(kāi)分析，這樣學(xué)生可以在討論期間做好知識(shí)的概括總結(jié)工作，有效提升數(shù)學(xué)學(xué)教的效果。

四、反思

數(shù)學(xué)抽象對(duì)于初中生的學(xué)習(xí)與發(fā)展具有非常重要的作用顯而易見(jiàn)，初中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行學(xué)教活動(dòng)的過(guò)程中，一定要加強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)，通過(guò)各種數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)途徑等，幫助學(xué)生能夠逐漸形成數(shù)學(xué)抽象并得到有效的強(qiáng)化。

參考文獻(xiàn)：

[1] 潘小梅.論初中數(shù)學(xué)學(xué)教中學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)策略[M].中學(xué)數(shù)學(xué)參考，2017，6（2）：39.

[2]徐菲.初中數(shù)學(xué)學(xué)教環(huán)節(jié)中，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)探討[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（學(xué)教研究），2018，12（29）：45.

[3]江照亮.初中數(shù)學(xué)學(xué)教中學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)策略分析[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（學(xué)教研究），2018，12（19）：40.

[4]鄭廷凱.初中數(shù)學(xué)學(xué)教中學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)分析[J].新教育時(shí)代電子雜志（教師版），2017，8（25）：144.

[5] 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2011版