傅贏芳 喻平

摘要：CPFS是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的一種特殊的優(yōu)良認知結(jié)構(gòu)。其中的概念域及概念系因刻畫了數(shù)學(xué)概念間的等價關(guān)系及抽象關(guān)系，而區(qū)別于命題網(wǎng)絡(luò)表征;概念域因與命題域的組織方式是相似的，而避免了同一概念從陳述性向程序性轉(zhuǎn)化時面臨的表征轉(zhuǎn)換問題?；贑PFS結(jié)構(gòu)理論，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生識別同一概念不同定義之間以及不同概念之間的演繹推理關(guān)系，直觀化表示概念與命題的擴展過程，注意設(shè)置需借助概念域解決的問題串，引導(dǎo)學(xué)生選擇概念的不同定義解決相應(yīng)的問題。

關(guān)鍵詞：CPFS結(jié)構(gòu) 概念域 概念系 命題網(wǎng)絡(luò)表征 概念教學(xué)

在影響學(xué)習(xí)的諸多要素中，認知結(jié)構(gòu)是決定成效的一個關(guān)鍵因素。在學(xué)習(xí)心理學(xué)中，不同的研究者對認知結(jié)構(gòu)的構(gòu)成分析各有側(cè)重。皮亞杰用圖式來刻畫學(xué)習(xí)者心理活動的框架或組織結(jié)構(gòu)，圖式的發(fā)展經(jīng)歷同化、順應(yīng)和平衡三個過程;奧蘇貝爾則用可利用性、可辨別性及穩(wěn)定性來反映個體認知結(jié)構(gòu)的優(yōu)良程度。這些都是從一般意義上討論個體的內(nèi)在心理結(jié)構(gòu)。考慮到數(shù)學(xué)知識及其組織有其獨特性，本文基于CPFS結(jié)構(gòu)理論，論述其對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響以及對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的啟示。

一、CPFS結(jié)構(gòu)及其對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響

（一）CPFS結(jié)構(gòu)

CPFS結(jié)構(gòu)是個體頭腦中內(nèi)化的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，各知識點在網(wǎng)絡(luò)中處于一定的位置，知識點之間具有等值抽象關(guān)系、強抽象關(guān)系、弱抽象關(guān)系或廣義抽象關(guān)系。“CPFS結(jié)構(gòu)是概念域（concept field）、概念系（concept system）、命題域（proposition field）、命題系（proposition system）的統(tǒng)稱?！逼渲?，概念域是指一個概念的所有等價定義的圖式。在這組等價定義中，有一個最基本的定義——往往是教科書中的定義，稱為該概念的典型定義。它的特點是最易于學(xué)生學(xué)習(xí)，同時又不失數(shù)學(xué)的嚴謹性。概念系是指個體頭腦中形成的不同概念間的網(wǎng)絡(luò)圖式，這些概念間具有某種強抽象、弱抽象或廣義抽象關(guān)系。

1.概念域與命題網(wǎng)絡(luò)表征。

相比于命題網(wǎng)絡(luò)表征的各種模型，概念域能更準確地貯存數(shù)學(xué)概念間的邏輯關(guān)系。對學(xué)習(xí)者而言，在概念獲得與表征階段，數(shù)學(xué)概念是被當(dāng)作一種事實靜態(tài)地對待的，屬于陳述性知識。根據(jù)知識表征理論，其表征形式之一為命題網(wǎng)絡(luò)。對于復(fù)雜的命題網(wǎng)絡(luò)，Collins等人先后提出了層次網(wǎng)絡(luò)模型與激活擴散模型，這兩種模型分別以知識間的從屬關(guān)系和語義關(guān)系來聯(lián)結(jié)各個不同的概念以及概念的不同屬性。層次網(wǎng)絡(luò)模型明確了從語義記憶中檢索信息的方式。語義記憶由巨大的概念網(wǎng)絡(luò)組成;概念由單元和特征組成，并由一系列聯(lián)想節(jié)點相連。層次網(wǎng)絡(luò)模型主要揭示了陳述性知識間的縱向關(guān)系，而激活擴散模型則在層次網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上，進一步刻畫了知識間的橫向關(guān)系。盡管后者能很好地描摹一般的陳述性知識的貯存形式，但是，數(shù)學(xué)中一種特殊且非常重要的等價關(guān)系卻并不能在這個模型中得到體現(xiàn)。比如，“等腰三角形有兩個角相等”（記為A1）、“等腰三角形有兩條邊相等”（記為A2）、“等腰三角形是軸對稱圖形”（記為A3）這三個特征，在命題網(wǎng)絡(luò)表征中，僅僅作為“等腰三角形”的三個并列的屬性來貯存。但是，從數(shù)學(xué)的角度來看，A1與A2是等價的，或者說，具有等值抽象關(guān)系，它們與A3屬性完全不同，A3是等腰三角形的必要非充分條件，因此，在貯存信息時，它與A1、A2應(yīng)具有不同等的位置。概念域?qū)1、A2從這一系列屬性中區(qū)分出來，并形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者特有的表征形式，它彌補了用命題網(wǎng)絡(luò)形式表征數(shù)學(xué)概念的不足。

概念域的提出具有充分的理論與實踐基礎(chǔ)。概念域的核心關(guān)系——等價關(guān)系的識別與提取，一方面，源于研究者對學(xué)習(xí)者概念學(xué)習(xí)的觀察與分析。在教學(xué)實踐中，學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)了概念之后，在具體應(yīng)用時會出現(xiàn)類型各異的錯誤，或是沒有把握概念內(nèi)涵，無法辨認概念的反例，或是不能理解概念的變式。另一方面，也基于數(shù)學(xué)概念自身的特點。同一個數(shù)學(xué)概念可以從不同側(cè)面或角度去刻畫，從而可以構(gòu)成彼此等價的一組描述。比如，平行四邊形概念的等價定義有：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;等等。由于數(shù)學(xué)概念的發(fā)展性，等價定義還可以在不同的結(jié)構(gòu)中進行刻畫。比如，圓的定義，在平面幾何中的形式為“平面上到定點的距離等于定長的點的集合”，在解析幾何中的形式為“形如x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）的方程所確定的曲線”。

2.概念域與表征轉(zhuǎn)換。

根據(jù)安德森的知識分類學(xué)，當(dāng)學(xué)習(xí)者運用概念解決問題時，數(shù)學(xué)概念成為一種程序性知識。其表征形式為產(chǎn)生式系統(tǒng)，即由一系列產(chǎn)生式“如果……那么……”重疊而成。這與知識的命題網(wǎng)絡(luò)表征結(jié)構(gòu)完全不同。因而，當(dāng)一個概念由前期的陳述性轉(zhuǎn)為后期的程序性時，就涉及完全不同的兩種表征形式之間的轉(zhuǎn)換問題，給學(xué)習(xí)造成了一定的困難。這在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過程中表現(xiàn)尤為突出。同一個概念，學(xué)習(xí)的前后階段，其知識性質(zhì)發(fā)生了變化。比如，對于平行四邊形的定義“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，在概念形成過程中，學(xué)生通過觀察、概括一系列例子，歸納得到平行四邊形具有的性質(zhì)，并形成一種命題表征形式;但在知覺水平與思維水平的應(yīng)用過程中，學(xué)生需要借助該概念進行圖形判斷或命題判斷，此時，需要激活的是一種動態(tài)貯存形式——“如果兩組對邊分別平行，則這個四邊形是平行四邊形”。這就要求學(xué)生將前一種命題表征形式轉(zhuǎn)換為后面的產(chǎn)生式。這種轉(zhuǎn)換的需求和難度隨著學(xué)習(xí)的深入，也在不斷增加。比如，圖1是將平行四邊形作為陳述性知識貯存的命題網(wǎng)絡(luò)片段;下頁圖2是將平行四邊形作為程序性知識貯存的產(chǎn)生式系統(tǒng)片段。兩者在結(jié)構(gòu)上迥異，導(dǎo)致學(xué)生在解決問題時，激活與提取的速度產(chǎn)生差異。

在概念域中，概念的不同側(cè)面或角度的表述是以等價關(guān)系來貯存的，其結(jié)構(gòu)形式與命題域中的結(jié)構(gòu)形式是對等的。因此，當(dāng)一個概念隨著學(xué)習(xí)階段的變化，從陳述性轉(zhuǎn)為程序性時，并不會帶來表征轉(zhuǎn)換的認知負荷。也就是說，相對于命題網(wǎng)絡(luò)與產(chǎn)生式系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換而言，概念域與命題域之間由于邏輯上的同等，均為等價關(guān)系，可以很好地從陳述性知識形態(tài)轉(zhuǎn)化為程序性知識形態(tài)。

3.概念系與命題網(wǎng)絡(luò)表征。

數(shù)學(xué)概念還有一種特殊性，即在定義新概念時會用到已經(jīng)習(xí)得的舊概念。為了能很好地將新舊概念間的這種關(guān)系刻畫出來，喻平借助徐利治先生關(guān)于抽象關(guān)系的定義，進一步完善了不同概念間關(guān)系的組織與刻畫。抽象關(guān)系包括強抽象關(guān)系、弱抽象關(guān)系以及廣義抽象關(guān)系。如果從一個數(shù)學(xué)概念A(yù)中選取某一特征加以抽象，從而獲得比概念A(yù)更廣的概念B，使概念A(yù)成為概念B的特例，就稱A到B的抽象為弱抽象;如果通過引入新的特征來強化原概念A(yù)，從而獲得新概念B，那么概念B是概念A(yù)的特例，則稱A到B的抽象為強抽象;如果在定義概念B時用到了概念A(yù)，則稱A到B的抽象為廣義抽象。由此，概念間的關(guān)系可以通過這三種抽象關(guān)系來概括。抽象關(guān)系擴張了層次網(wǎng)絡(luò)模型中的從屬關(guān)系或激活擴散模型中的語義關(guān)系。從屬關(guān)系實際上對應(yīng)于強抽象或弱抽象關(guān)系，但不能囊括廣義抽象關(guān)系。

進一步地，是以數(shù)學(xué)化的方式來比擬這種結(jié)構(gòu)。假設(shè)用Ri表示強抽象、弱抽象或廣義抽象中的任意一種關(guān)系，用C1，C2，…，Ci，…，Cn表示存在抽象關(guān)系的一組概念，則C1R1C2R2C3…Rn-1Cn構(gòu)成了一條概念鏈。如果兩條概念鏈的交集非空，則稱這兩條概念鏈相交。如果m條概念鏈中至少有一條與其余的都相交，則稱這m條概念鏈所組成的概念網(wǎng)絡(luò)圖式為概念系。因此，由抽象關(guān)系聯(lián)結(jié)構(gòu)成的概念網(wǎng)絡(luò)更加立體、綜合，從而更有助于學(xué)習(xí)者對相關(guān)概念的激活與提取。

實際上，網(wǎng)絡(luò)中知識點之間的抽象關(guān)系蘊含著某種思維方法，因而網(wǎng)絡(luò)中知識點之間的聯(lián)結(jié)包含著數(shù)學(xué)方法，即“連線集”也是一個方法系統(tǒng)。以概念域來講，它是由某一概念的一組等價定義構(gòu)成的。等價與抽象關(guān)系不同，后者可以根據(jù)概念本身的結(jié)構(gòu)——屬加種差來識別，而等價關(guān)系的確立卻是建立在邏輯推理的基礎(chǔ)之上的。因此，從這個意義上來說，概念域中實際上包含著邏輯推理的方法。命題域、命題系的建構(gòu)過程則更加體現(xiàn)了這一特點。

（二）CPFS結(jié)構(gòu)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響

個體的CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就有密切關(guān)系。第一，個體的CPFS結(jié)構(gòu)有助于數(shù)學(xué)理解。李渺從CPFS結(jié)構(gòu)的前后變化闡述了它與數(shù)學(xué)理解之間的關(guān)系。第二，個體的CPFS結(jié)構(gòu)有助于問題表征。喻平以高中3個年級的學(xué)生為被試，探討個體的CPFS結(jié)構(gòu)與問題表征之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)個體的CPFS結(jié)構(gòu)與問題表征之間有密切關(guān)系：具備良好CPFS結(jié)構(gòu)的學(xué)生更能正確、合理地表征問題，從而更能有效地解決問題。第三，個體的CPFS結(jié)構(gòu)與解題自我監(jiān)控能力相關(guān)。另一項研究測查了學(xué)生的解題自我監(jiān)控能力與CPFS結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)解題自我監(jiān)控能力和CPFS結(jié)構(gòu)有密切關(guān)系;CPFS結(jié)構(gòu)和解題自我監(jiān)控能力獨立地影響數(shù)學(xué)成績，CPFS結(jié)構(gòu)相比于解題自我監(jiān)控能力，對數(shù)學(xué)成績的影響更大。第四，個體的CPFS結(jié)構(gòu)顯著影響解題中的遠遷移。在解題遷移的研究中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題中的遠遷移與個體形成的CPFS結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)有助于遠遷移的產(chǎn)生。在該項研究中，研究者主要針對CPFS結(jié)構(gòu)中的命題域及命題系進行了測量。第五，個體的CPFS結(jié)構(gòu)與探究問題能力顯著相關(guān)。喻平等人以江蘇省常州市某高中一年級的學(xué)生為被試，分別測查了個體的CPFS結(jié)構(gòu)及探究問題能力，發(fā)現(xiàn)兩者顯著相關(guān)，CPFS結(jié)構(gòu)對探究問題的成績有顯著影響。研究進一步指出了外部調(diào)控與CPFS結(jié)構(gòu)對探究問題的交互作用：在有外部調(diào)控的情況下，優(yōu)良CPFS結(jié)構(gòu)組和不良CPFS結(jié)構(gòu)組的被試在探究中、低難度問題的成績上有顯著差異，在探究高難度問題的成績上沒有顯著差異。

二、基于CPFS結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

在概念學(xué)習(xí)中，學(xué)生如果不能全方位、多背景地深入理解概念，沒有在頭腦中形成概念體系，那么，一旦換一個側(cè)面或角度闡述同一個概念，他們就會不知所云。實際上，概念的一個定義只是從一個側(cè)面去刻畫概念，具有一定的片面性，而要做到深入把握概念的內(nèi)涵，就應(yīng)當(dāng)從不同的角度去認識，掌握這個概念的一組等價定義?；诖?，喻平提出了一系列在概念學(xué)習(xí)中完善學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)的教學(xué)策略：（1）注重從多個側(cè)面、多個角度揭示概念的內(nèi)涵，包括從多種背景、多重層次、多維結(jié)構(gòu)揭示概念的內(nèi)涵;（2）形成概念體系;（3）加強概念的應(yīng)用。在概念域的形成方面，應(yīng)揭示與某一概念等價的多種不同的存在形式。在概念系的形成方面，應(yīng)從三個方面概括：其一，建立概念網(wǎng)絡(luò)，可以用概念圖的方法;其二，明示概念之間的關(guān)系;其三，揭示蘊含在概念體系中的數(shù)學(xué)思想方法。在概念的應(yīng)用方面，既包含了知覺水平上的應(yīng)用，也包含了思維水平上的應(yīng)用。

從上述分析來看，無論概念域還是概念系，都不是在新學(xué)概念時能立刻達成的，其達成需要經(jīng)歷多次有意識地回顧與整理的過程。在回溯過程中，尤其要注意以下幾點：

（一）識別概念間的演繹推理關(guān)系

概念域和概念系的發(fā)展不止囊括了語義關(guān)系或從屬關(guān)系，還有一種重要的關(guān)系隱含在其中，即演繹推理關(guān)系。在概念域中起重要作用的等價關(guān)系，是同一概念不同定義間的演繹推理關(guān)系;概念系中類似于從相似三角形到全等三角形的定義，也是一種演繹推理關(guān)系。因此，教師在教學(xué)中，不僅要重視不同定義間的演繹推理關(guān)系，也要重視不同概念間的演繹推理關(guān)系。

比如，“全等三角形”與“相似三角形”的關(guān)系。

在現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中，全等三角形的定義是“能夠完全重合的兩個三角形”。此后，從兩個三角形對應(yīng)邊的相等關(guān)系或?qū)?yīng)角的相等關(guān)系來進一步刻畫。因此，這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)結(jié)束后，可以形成一個“全等三角形”的概念域。

相似三角形的典型定義為“各角分別對應(yīng)相等、各邊對應(yīng)成比例的兩個三角形”。此后，同樣是從兩個三角形對應(yīng)邊的比例關(guān)系或?qū)?yīng)角的相等關(guān)系來進一步刻畫，從而形成一個“相似三角形”的概念域。

當(dāng)學(xué)習(xí)者主動或經(jīng)由教師的引導(dǎo)意識到，全等三角形與相似三角形都是在刻畫兩個三角形的關(guān)系時，自然就會產(chǎn)生一種比較。因而，進一步意識到，全等實際上是相似的一種特殊情形，即相似比為1。由此，可從相似三角形的角度來形成全等三角形新的定義。

再如，“等腰三角形”的認識。

等腰三角形的典型定義是“有兩條邊相等的三角形”，這是小學(xué)階段學(xué)生就已經(jīng)習(xí)得的內(nèi)容。在初中階段，學(xué)生首先習(xí)得“等腰對等角”的幾何性質(zhì)，進一步通過證明，以定理形式得到“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，從而擴展了定義的側(cè)面。同時，學(xué)生還習(xí)得了等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)。至此，教師即可引導(dǎo)學(xué)生思考：能否由“三線合一”來定義等腰三角形？這是一個演繹推理關(guān)系的識別過程。根據(jù)全等三角形的“ASA”判定可知，可以由“三線合一”來定義等腰三角形，從而進一步擴展了原有的概念域。同樣，在學(xué)習(xí)線段的垂直平分線時，也可進一步擴展等腰三角形的等價定義形式。這實際上弱化了原來的“三線合一”定義，即只要“高線與中線合一”，就是等腰三角形。由此，可以進一步證明得到“高線與角平分線合一”“中線與角平分線合一”的三角形也是等腰三角形。

（二）直觀化表示概念與命題的擴展過程

隨著學(xué)習(xí)的深入與拓展，學(xué)生頭腦中的概念也會經(jīng)歷一個不斷擴充、逐漸變得復(fù)雜的過程。因此，教師在教學(xué)時，應(yīng)注意從簡單的結(jié)構(gòu)單元開始，并直觀化表示出來。

1.在概念形成階段，用直觀圖式描述概念間的抽象關(guān)系。

在新授課中，教師往往處理的是概念的典型定義。如果是以概念形成的方式來獲得概念，即由從特殊到一般的過程獲得概念，那么概念與其現(xiàn)實背景或原型構(gòu)成弱抽象關(guān)系;如果是以概念同化的方式來獲得概念，即由從一般到特殊的過程獲得概念，則概念與其上位概念構(gòu)成強抽象關(guān)系。不管是以何種方式獲得概念，在這一階段都可以用直觀的圖式表達概念系的片段信息（分別如圖3、圖4）。

2.在概念發(fā)展階段，用等價關(guān)系刻畫概念間的內(nèi)在聯(lián)系。

在概念的練習(xí)或后續(xù)內(nèi)容的教學(xué)中，會發(fā)現(xiàn)諸多與原有典型定義等價的表述。此時，教師需要讓學(xué)生明確意識到這種等價性，可以與學(xué)生一起完成邏輯推理的過程，并最終用圖示的方式表示出來。

比如“全等三角形”概念擴展的直觀圖，如圖5—圖11所示。

當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從一個分支學(xué)科躍入另一個分支學(xué)科時，由于所討論對象一致而工具不一，導(dǎo)致在不同結(jié)構(gòu)中對同一概念形成了不同的定義形式。這就需要教師有這種敏感性，并能將其顯性化地揭示出來。

（三）設(shè)置需借助概念域解決的問題串

如果說前面第二階段是幫助學(xué)生形成概念域，那么，相應(yīng)習(xí)題的練習(xí)則是進一步鞏固與完善概念域。

比如，“絕對值”概念學(xué)習(xí)完成后，學(xué)生會形成如下層次1與層次2構(gòu)建的概念域。

層次1（幾何角度）：數(shù)a的絕對值是指數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離。

可以設(shè)置如下兩類形式的問題：（1）在數(shù)軸上距離原點2個單位長度的點表示什么數(shù)？即運用層次1的概念來解答;（2）一個數(shù)的絕對值是4，這個數(shù)是多少？則是基于層次2的概念來解答。

當(dāng)教材缺乏某個層次的問題時，就更需要教師基于CPFS結(jié)構(gòu)理論進行有意識的反思，并據(jù)此設(shè)置問題串。

（四）選擇概念的不同定義解決相應(yīng)的問題

理論上，如果一個概念的一組等價定義中的某一個定義能夠解決一個問題，那么這組等價定義中的任一個定義都能解決這個問題。但是，用不同定義解決同一問題的難度可能是不同的。因此，解題者需要認真分析問題，激活概念域，選擇最佳定義解決問題。比如問題：

*本刊曾在2016年第2期呈現(xiàn)CPFS結(jié)構(gòu)的相關(guān)研究成果，并在2019年第6期、第9期和2020年第1期呈現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)及其教學(xué)啟示的系列研究成果。

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