趙四漢 單 君 胡永富 毛 斌

(浙江省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院有限公司, 杭州 310000)

路堤邊坡穩(wěn)定性是公路建設(shè)質(zhì)量控制的關(guān)鍵環(huán)節(jié),目前工程設(shè)計(jì)中應(yīng)用較為廣泛的方法是極限平衡分析法.用該法進(jìn)行穩(wěn)定性分析分兩步：第一步,對某一形狀和位置已知的潛在滑動(dòng)面,計(jì)算其穩(wěn)定安全系數(shù);第二步,對許多潛在的滑動(dòng)面,確定相應(yīng)最小安全系數(shù)的臨界滑動(dòng)面[1-2].第一步安全系數(shù)的計(jì)算通常采用條分法,需預(yù)先假定滑動(dòng)面、土條劃分等,且不同的土條劃分方式和不同的條間力假設(shè),其結(jié)果不唯一,加之計(jì)算公式為多項(xiàng)式求和以及第二步中需進(jìn)行多次試算并搜索的特點(diǎn),對一線工程設(shè)計(jì)人員來說,即使采用機(jī)算仍相對繁瑣.

曾有學(xué)者將兩步結(jié)合起來,以安全系數(shù)為目標(biāo)函數(shù),運(yùn)用數(shù)學(xué)理論求其極小值,以期不需搜索直接解得臨界滑動(dòng)面和最小安全系數(shù),從而提高計(jì)算效率,但均因各自的局限性無法在實(shí)際工程上應(yīng)用.如Baker和Garber[3],Revilla和Castillo[4],Ramamurthy、Narayan和Bhatkar[5]采用變分法求極小值,但偏差較大并不理想,De Josselin和De Jong[6],Luceno和Castillo[7]等對變分法理論應(yīng)用的正確性和分析問題的局限性也都提出了質(zhì)疑,羅文強(qiáng)[8]和楊庚宇[9-10]均對條分法做了改進(jìn),將安全系數(shù)表達(dá)成積分的形式,分別采用變分法和多元函數(shù)的極值條件求極小值,但其仍是條分法的一種形式,且極值條件需要對至少3個(gè)自變量求偏導(dǎo)解超越方程組,計(jì)算復(fù)雜且往往得不出結(jié)果,蔣斌松[11]利用此法也僅給出了純黏性土邊坡(φ=0°)的結(jié)果.

本文針對均質(zhì)土坡及均質(zhì)地基土坡,不劃分土條,不引入條間力假設(shè),通過引入描述圓弧滑動(dòng)面函數(shù)的3個(gè)自變量,以滑動(dòng)體整體為研究對象并以其為積分域,由極限平衡原理建立積分形式的平衡方程,推導(dǎo)了穩(wěn)定安全系數(shù)的理論函數(shù)表達(dá)式,并通過Mathematic編制了計(jì)算程序,提出了第一步中求解安全系數(shù)的一種新方法.基于二元函數(shù)的極值條件,通過降維度求極小值與迭代計(jì)算相結(jié)合,可直接確定臨界滑動(dòng)面的位置,無需進(jìn)行試算和搜索,在實(shí)際工程中大大提高了計(jì)算效率且安全系數(shù)唯一.本文介紹第一步內(nèi)容,通過一個(gè)經(jīng)典算例對本文方法進(jìn)行驗(yàn)證,并與條分法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比,最后對本文方法和條分法進(jìn)行比較探討.

1 均質(zhì)土坡

如圖1所示,均質(zhì)土邊坡坡率為k,高度為H,土容重為γ,黏聚力為c,內(nèi)摩擦角為φ,以上均為已知量.圓弧ABCD為一假定的滑動(dòng)面,與地平線的交點(diǎn)為A、C,與坡頂?shù)慕稽c(diǎn)為D,過圓心O'作地表的垂線O'B,以交點(diǎn)O為原點(diǎn),水平向和豎直向分別為X、Y坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系.圓心O'距C點(diǎn)和A點(diǎn)的水平距離均為a,坡腳F距C點(diǎn)的距離為l,半徑O'A和半徑O'C與Y軸的夾角均為α,在某一假定滑動(dòng)面給定的情況下,a、α和l均為已知量.

考慮到在滑坡體范圍域積分和在滑動(dòng)面上線積分的方便,選取l、a和α為表示滑動(dòng)面圓弧所在位置的自變量,上述3個(gè)參數(shù)可以唯一的確定一個(gè)圓.其余各參數(shù)均可由上述3個(gè)自變量表示如下：

以滑動(dòng)面上部的滑坡體整體作為研究對象,其受力分析如圖2所示.滑坡體受到自身重力G、下部土體對其的法向力(垂直于滑動(dòng)面)和下部土體對其的抗剪力(與滑動(dòng)面相切)共3個(gè)力的作用,滑坡體在這3個(gè)力的作用下應(yīng)滿足極限平衡條件.

圖2 均質(zhì)土坡滑坡體受力分析示意圖

1.1 滑動(dòng)面上的平均剪應(yīng)力

根據(jù)力矩平衡條件,3個(gè)力對圓心O'的力矩之和為零,即：

其中：1)法向力對圓心O'的力矩Mσ

滑動(dòng)面上每點(diǎn)的法向力均過圓心,對圓心O'的力矩Mσ為零.

2)滑坡體自重對圓心O'的力矩MG

滑坡體自重對圓心O'的力矩MG為AOB、BOC和CDEF 3部分土體的重力對圓心O'的力矩之和.根據(jù)對稱性,AOB和BOC兩部分土體的重力對圓心O'的力矩大小相等、方向相反,則MG在數(shù)值上等于土體CDEF的重力對圓心O'的力矩.

在土體CDEF中取一微元體,如圖2所示,該微元體重力的大小為γd x d y,方向?yàn)樨Q直向下,對圓心O'取矩的力臂長度為微元體的橫坐標(biāo)x,則在土體CDEF范圍內(nèi)進(jìn)行二重積分可得滑坡體自重對圓心O'的力矩MG為：

3)抗剪力對圓心O'的力矩Mτ'

設(shè)滑動(dòng)面上的平均剪應(yīng)力為τ,其在數(shù)值上等于滑動(dòng)面上實(shí)際發(fā)揮的平均抗剪應(yīng)力τ'.則抗剪力對圓心O'的力矩Mτ'為：

將式(2)和式(3)代入式(1),解得滑動(dòng)面上的平均剪應(yīng)力τ為：

1.2 滑動(dòng)面上的平均抗剪強(qiáng)度

根據(jù)庫侖抗剪強(qiáng)度定律,滑動(dòng)面上的平均抗剪強(qiáng)度τf與土的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)c、φ和滑動(dòng)面上的平均正應(yīng)力σ有關(guān).由于滑動(dòng)面上每點(diǎn)的正應(yīng)力難以精確求解,目前的解法均需引入假設(shè)條件,條分法即是通過劃分土條,并對條間力進(jìn)行不同的假設(shè),以求得各土條底部正應(yīng)力的近似值,再求得各土條底部抗剪強(qiáng)度的近似值,最后再求出整個(gè)滑動(dòng)面上平均抗剪強(qiáng)度的近似值.由于在嚴(yán)格滿足極限平衡條件的情況下,安全系數(shù)對滑面底部正應(yīng)力的分布并不敏感,對正應(yīng)力進(jìn)行合理的處理或假設(shè),可得出合理的安全系數(shù)值[12],本文將滑動(dòng)面上的平均正應(yīng)力(待求解的未知量)設(shè)為σ,建立水平方向的靜力平衡方程.由于滑坡體所受的3個(gè)力在X方向的分力之和為零,方程如下：

其中：1)滑坡體重力在X方向的分力FGX為零;2)抗剪力在X方向的分力為Fτ'X.

如圖3所示,在滑動(dòng)面上任取一角度為dη的微圓弧,微圓弧與圓心所連半徑與Y軸的夾角為η,則該微圓弧上的抗剪力在X方向上的分力為τ'R·cosηdη,在整個(gè)滑動(dòng)面范圍內(nèi)進(jìn)行積分,得：

圖3 抗剪力在X方向的分力示意圖

3)法向力在X方向的分力FσX

如圖4所示,在滑動(dòng)面上任取一角度為dη的微圓弧,微圓弧與圓心所連半徑與Y軸的夾角為η,則該微圓弧上的法向力在X方向上的分力為σR sinηdη,在整個(gè)滑動(dòng)面范圍內(nèi)進(jìn)行積分,考慮到圓弧和圓弧上的法向力在X方向上的分量大小相等、方向相反,得：

圖4 法向力在X方向的分力示意圖

將式(6)和式(7)代入式(5),解得滑動(dòng)面上的平均正應(yīng)力σ為：

將式(4)代入式(8),并根據(jù)庫侖抗剪強(qiáng)度定律,得滑動(dòng)面上的平均抗剪強(qiáng)度τf為：

1.3 土坡的安全系數(shù)

土坡的安全系數(shù)定義為整個(gè)滑動(dòng)面上的平均抗剪強(qiáng)度與平均剪應(yīng)力之比[9-10],即：

將式(4)和式(9)代入式(10),解得土坡在該假定滑動(dòng)面下的安全系數(shù)為：

2 均質(zhì)地基土坡

根據(jù)庫侖定律,求解滑動(dòng)面上的平均抗剪強(qiáng)度τf需要求得滑動(dòng)面上的平均正應(yīng)力σ,本文即是先設(shè)定該待求解未知量,然后通過平衡方程直接求出該值.這種設(shè)法將導(dǎo)致在建立和求解平衡方程時(shí),滑動(dòng)面ABC上的正應(yīng)力雖然已考慮在內(nèi),但實(shí)際上并未參與運(yùn)算,在土坡自重的作用下,地表下ABC上的正應(yīng)力應(yīng)該比地表上CD上的正應(yīng)力大,而且絕大多數(shù)人工邊坡為均質(zhì)地基土坡(如路堤、壩體等),地表上、下為兩種不同的土體,其抗剪強(qiáng)度指標(biāo)也不同,求解抗剪強(qiáng)度也應(yīng)分開考慮.因此對于均質(zhì)地基土坡,將滑動(dòng)面分為ABC和CD兩段,首先求出各段上的平均正應(yīng)力,再求平均值得整個(gè)滑動(dòng)面上的平均正應(yīng)力σ及整個(gè)滑動(dòng)面上的平均抗剪強(qiáng)度τf.

對于均質(zhì)土坡,同瑞典法、Bishop法和陸軍工程師團(tuán)法一樣,本文方法也僅采用了兩個(gè)平衡方程,即：水平方向的靜力平衡方程和力矩平衡方程.不同之處在于,本文方法未利用豎直方向的靜力平衡方程,而瑞典法和Bishop法未利用水平方向的靜力平衡方程,陸軍工程師團(tuán)法未利用力矩平衡方程.

對于均質(zhì)地基土坡,由于兩個(gè)方程僅能求解兩個(gè)未知量,分兩段考慮滑動(dòng)面上的正應(yīng)力時(shí),還應(yīng)增加豎直方向上的靜力平衡方程.

基于以上分析,同樣以滑動(dòng)面上部的滑坡體整體作為研究對象,不同點(diǎn)在于設(shè)滑動(dòng)面CD和ABC上的平均正應(yīng)力分別為σ1和σ2,其受力分析如圖5所示.滑坡體受到自身重力G、下部土體對其的抗剪力(與滑動(dòng)面相切)、滑動(dòng)面CD上的法向力和滑動(dòng)面ABC上的法向力(垂直于滑動(dòng)面)共4個(gè)力的作用,滑坡體在這4個(gè)力的作用下應(yīng)滿足極限平衡條件.

圖5 均質(zhì)地基土坡滑坡體受力分析示意圖

2.1 滑動(dòng)面上的平均剪應(yīng)力

根據(jù)力矩平衡條件,4個(gè)力對圓心O'的力矩之和為零,與均質(zhì)土坡類似,建立力矩平衡方程,由于σ1和σ2對圓心O'的力矩仍然均為零,故滑動(dòng)面上的平均剪應(yīng)力τ仍為式(4),此處不再贅述.

2.2 滑動(dòng)面上的平均抗剪強(qiáng)度

根據(jù)水平方向的靜力平衡條件,滑坡體所受的4個(gè)力在X方向的分力之和為零,考慮到重力G和滑動(dòng)面ABC上的法向力在X方向的分力均為零,建立水平方向的靜力平衡方程為：

根據(jù)豎直方向的靜力平衡條件,滑坡體所受的4個(gè)力在Y方向的分力之和為零,建立豎直方向的靜力平衡方程如下：

其中：

1)抗剪力在Y方向的分力Fτ'Y

參考圖3,在滑動(dòng)面上任取一角度為dη的微圓弧,在整個(gè)滑動(dòng)面范圍內(nèi)進(jìn)行積分,得：

2)滑動(dòng)面CD上的法向力在Y方向的分力Fσ1Y

在滑動(dòng)面CD上任取一角度為dη的微圓弧(示意圖略),在滑動(dòng)面CD范圍內(nèi)進(jìn)行積分,得：

在滑動(dòng)面ABC上任取一角度為dη的微圓弧(示意圖略),在滑動(dòng)面ABC范圍內(nèi)進(jìn)行積分,得：

4)滑坡體重力在Y方向的分力FGY

如圖5所示,滑坡體的重力由ABC和CDEF兩部分土體的重力組成,即：

?ABC部分土體的面積可由扇形O'ABC與三角形O'AC的面積之差得到如下：

?如圖5所示,在土體CDEF中取微元體d x d y,在面積CDEF上范圍內(nèi)進(jìn)行二重積分,得CDEF部分土體的面積為：

將式(18)、式(19)代入式(17),得滑坡體重力在Y方向的分力FGY為：

將式(4)、式(12)、式(14)～式(16)、式(20)代入式(13),解得滑動(dòng)面ABC上的平均正應(yīng)力σ2為：

則滑動(dòng)面CD和滑動(dòng)面ABC上的平均抗剪強(qiáng)度τf1、τf2為：

2.3 土坡的安全系數(shù)

將式(4)、式(23)代入式(10),即可推導(dǎo)出土坡在該假定滑動(dòng)面下的安全系數(shù)公式：

3 算例驗(yàn)證

利用Mathematic編制了上述所有變量的代碼以及全過程的計(jì)算程序,限于篇幅,相關(guān)代碼此處不做介紹.本節(jié)通過一個(gè)算例給出該方法的計(jì)算過程和結(jié)果,并與4種條分法的結(jié)果進(jìn)行了對比.

算例選取由盧廷浩主編,河海大學(xué)出版社出版的《土力學(xué)》一書中的例題7-2,例題示意圖參見此書,此處略.已知條件為：土坡高度H=15 m,坡率k=0.5,土容重γ=19.5 k N/m3,土黏聚力c=40 k Pa,內(nèi)摩擦角φ=8°,假定滑動(dòng)面的圓心坐標(biāo)為(20,-10.08),半徑為27 m,換算到圖1中的直角坐標(biāo)系得a=10 m,l=20 m,α=arctan(10/25.08)=0.379 4,根據(jù)上述已知條件,書中例題采用瑞典條分法計(jì)算(土條劃分為10個(gè)),得出對應(yīng)該假定滑動(dòng)面的土坡安全系數(shù)為1.43.

該算例為均質(zhì)土坡,此處首先采用均質(zhì)土坡的公式(11)計(jì)算,再采用均質(zhì)地基土坡公式(24)計(jì)算(視為特殊情況下均質(zhì)地基土坡),簡稱為例1、例2.

例1的計(jì)算過程和結(jié)果見表1.計(jì)算過程中有部分中間計(jì)算參量未在表中列出,如θ=0.8088.

表1 例1的計(jì)算過程和結(jié)果

例2的計(jì)算過程和結(jié)果見表2.計(jì)算過程中有部分中間計(jì)算參量未在表中列出,如θ=0.8088,SCDEF=218.966 m2.

表2 例2的計(jì)算過程和結(jié)果

不同條分法的計(jì)算結(jié)果不同,而且即使對于同一種條分法,土條個(gè)數(shù)不同,求出的安全系數(shù)也有差別.作為對比,本文用簡化Bishop法、陸軍工程師團(tuán)法、Spencer法和Morgenstern-Price法4種條分法分別求出算例的結(jié)果,為統(tǒng)一精度,土條個(gè)數(shù)均取10個(gè)(與書中瑞典法求解的土條劃分個(gè)數(shù)相同),限于篇幅,具體的計(jì)算過程此處不再列出,將4種條分法的結(jié)果與例1、例2和瑞典法的結(jié)果共同列于表3.

表3 不同方法求解的算例穩(wěn)定安全系數(shù)

由表3可見：本文方法計(jì)算均質(zhì)土坡所得穩(wěn)定安全系數(shù)略保守(例1),由于不同條分法的假設(shè)條件不同,計(jì)算的土條底部正應(yīng)力也不同,其數(shù)值越小,滑動(dòng)面上的平均抗剪強(qiáng)度也越小,得出的安全系數(shù)也就越偏于保守(越小).文獻(xiàn)[13]也證明了在邊坡均質(zhì)且無指向坡外的外加水平荷載的條件下,用瑞典法、簡化畢肖普法、斯賓塞法、陸軍工程師團(tuán)法和傳遞系數(shù)法計(jì)算同一個(gè)滑面為圓弧形的邊坡穩(wěn)定系數(shù)時(shí),瑞典法的結(jié)果最小,表3的結(jié)果與其是一致的.本文方法在ABC上的正應(yīng)力雖然在建立方程中已考慮,但實(shí)際上并未參與運(yùn)算,所以求出的整個(gè)滑動(dòng)面上的正應(yīng)力偏小.

本文方法計(jì)算均質(zhì)地基土坡精度較高(例2),各法所得安全系數(shù)很接近,進(jìn)一步驗(yàn)證了滿足平衡條件下,所得的安全系數(shù)對滑面正應(yīng)力分布不甚敏感,可見本文設(shè)平均正應(yīng)力和平均切應(yīng)力的方法是可取的,文獻(xiàn)[13]指出對于同一算例,滿足力和力矩平衡條件的3個(gè)平衡方程求出的安全系數(shù)基本相同,偏差一般不大于5%.本文方法和嚴(yán)格條分法的Spencer法、Morgenstern-Price法的精度很接近,偏差在0.68%.

4 與條分法對比的幾點(diǎn)討論

4.1 關(guān)于假設(shè)條件的討論

對于條分法而言,由于劃分土條后未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于二維條件下平衡方程的個(gè)數(shù),所以必須要引入假設(shè)條件才可求解.假設(shè)條件的引入,直接目的是為了求解各個(gè)土條底部的正應(yīng)力,最終目的是為了求解整個(gè)滑動(dòng)面上的平均抗剪強(qiáng)度.

對于本文方法,為了求解整個(gè)滑動(dòng)面上的平均正應(yīng)力,首先設(shè)該值為一未知數(shù)(均質(zhì)土坡),或?qū)⒃撝捣譃閮刹糠?分別設(shè)各部分為一未知數(shù)(均質(zhì)地基土坡),然后通過平衡方程直接求出該值.所以本文方法不需引入條間力的假設(shè)條件,相比條分法而言有其優(yōu)越性.

4.2 關(guān)于求解精度的討論

對于條分法而言,求解精度與兩個(gè)方面有關(guān)：一是土條劃分的數(shù)量,二是所作的假設(shè)條件.土條數(shù)量越多,假設(shè)越接近于實(shí)際,其精度越高,由于本文方法并未劃分土條,故以下僅討論假設(shè)條件引起的精度問題.由于做了假設(shè),所以得到的各土條底部的正應(yīng)力均為近似值,最終得到的整個(gè)滑動(dòng)面上的平均抗剪強(qiáng)度和土坡的安全系數(shù)也均為近似值,只是假設(shè)條件越接近于實(shí)際情況,其精度越高而已.

對于本文提出的方法,求解精度與滑動(dòng)面分段考慮正應(yīng)力的段數(shù)有關(guān),也即與設(shè)置正應(yīng)力未知數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān),滑動(dòng)面分段越多(設(shè)置的未知數(shù)個(gè)數(shù)越多),求解精度越高.均質(zhì)土坡將整個(gè)滑動(dòng)面作為一段,設(shè)置了一個(gè)未知數(shù),加上滑動(dòng)面上的平均剪應(yīng)力共有2個(gè)未知數(shù),用兩個(gè)平衡方程即可解出;均質(zhì)地基土坡根據(jù)實(shí)際受力情況,將整個(gè)滑動(dòng)面分成地表以上和地表以下兩部分,設(shè)置了兩個(gè)未知數(shù),加上滑動(dòng)面上的平均剪應(yīng)力共3個(gè)未知數(shù),故需增加一個(gè)豎直方向上的靜力平衡方程才能求解.若為了提高精度增加分段個(gè)數(shù),必須引入假設(shè)條件才能求解,但如此也就失去了本文方法的初衷,且由于引入了假設(shè)條件,其精度也未必提高.若想更進(jìn)一步地提高精度,可在三維空間下建立嚴(yán)格的6個(gè)平衡方程來求解,但工程中遇到的邊坡穩(wěn)定性問題大多為平面應(yīng)力問題(如路堤邊坡等),所以三維空間下更進(jìn)一步的精確求解也無必要.

4.3 關(guān)于工程應(yīng)用的討論

對于均質(zhì)土坡而言,從計(jì)算精度上來說,宜將其視為特殊情況下的均質(zhì)地基土坡進(jìn)行計(jì)算,從工程實(shí)踐來說,也可采用式(11)進(jìn)行計(jì)算,簡便且偏于保守.

對于均質(zhì)地基土坡而言,由于采用了3個(gè)平衡方程,且根據(jù)實(shí)際情況分段求解了滑動(dòng)面上的正應(yīng)力,加之未引入條間力的假設(shè)條件,精度較高.

5 結(jié) 論

本文針對均質(zhì)土坡及均質(zhì)地基土坡,提出了一種非條分法的穩(wěn)定安全系數(shù)新算法.通過引入描述圓弧滑動(dòng)面的三個(gè)自變量,基于極限平衡原理,以滑動(dòng)體整體為研究對象并以其為積分域,建立積分形式的平衡方程,推導(dǎo)出穩(wěn)定安全系數(shù)的函數(shù)表達(dá)式,通過計(jì)算機(jī)編程后極大提高了計(jì)算效率,安全系數(shù)具有唯一性且具有較高的精度,可作為一種安全系數(shù)新的求解方法.

1)在嚴(yán)格滿足極限平衡條件時(shí),安全系數(shù)對滑面正應(yīng)力分布不甚敏感,對正應(yīng)力進(jìn)行合理的處理或假設(shè),以潛在滑動(dòng)體為研究對象進(jìn)行整體極限平衡分析,可得出合理的安全系數(shù)值.

2)算例結(jié)果表明,與傳統(tǒng)條分法相比,采用本文方法計(jì)算的均質(zhì)土坡所得穩(wěn)定安全系數(shù)略顯保守.

3)算例結(jié)果表明,與傳統(tǒng)條分法相比,采用本文方法計(jì)算的均質(zhì)地基土坡精度較高,與Spencer法、Morgenstern-Price法的計(jì)算偏差為0.68%.

4)在工程應(yīng)用中,對于均質(zhì)土坡而言,可直接采用本文方法計(jì)算,但從計(jì)算精度上來說,宜將其視為特殊情況下的均質(zhì)地基土坡計(jì)算.