李傳峰

[摘? 要] 新一輪的課程改革以挖掘數(shù)學(xué)的文化價(jià)值為主旨，要求將數(shù)學(xué)文化滲透于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終. 數(shù)學(xué)作為一種文化的傳承，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的文化教育是素質(zhì)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)涵. 文章從多個(gè)案例出發(fā)，在課堂激趣、質(zhì)疑問(wèn)難、探究延伸等方面透析數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課堂的融合，呈現(xiàn)出教學(xué)中處處可以滲透數(shù)學(xué)文化的特征，以期為廣大數(shù)學(xué)教師的教學(xué)提供指導(dǎo)，從而提高學(xué)生的整體文化素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 立體幾何;理性精神;教學(xué)難點(diǎn)

高中教材中立體幾何的主要內(nèi)容源自古希臘的歐氏幾何，對(duì)歐氏幾何的存廢，當(dāng)前數(shù)學(xué)教育界一直有爭(zhēng)議，有人認(rèn)為歐氏幾何作為“死掉的數(shù)學(xué)”，以美國(guó)為首的西方中學(xué)數(shù)學(xué)教材已經(jīng)基本刪除，我們也沒(méi)有必要再保留;也有專家認(rèn)為，歐氏幾何對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力很有幫助，堅(jiān)持在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中保留有關(guān)內(nèi)容.應(yīng)當(dāng)說(shuō)，二期課改后教材中有關(guān)立體幾何內(nèi)容的編選現(xiàn)狀基本體現(xiàn)了兩種觀點(diǎn)的妥協(xié). 立體幾何真的死掉了嗎？為什么學(xué)生害怕學(xué)習(xí)立體幾何？如何在立體幾何教學(xué)中落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的要求？筆者試圖從立體幾何的學(xué)科本質(zhì)出發(fā)，對(duì)立體幾何教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行解析，探索教學(xué)難點(diǎn)的突破，探索在立體幾何教學(xué)中落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

立體幾何真的死掉了嗎？

陳省身先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)分“好的數(shù)學(xué)”（指有意義，有創(chuàng)新）和“不好的數(shù)學(xué)”（指僅限于把他人工作推演一番）. 為了讓學(xué)生學(xué)習(xí)“好的數(shù)學(xué)”，國(guó)內(nèi)高中數(shù)學(xué)教材對(duì)立體幾何內(nèi)容進(jìn)行了大刀闊斧的改革，刪除了大量的命題及證明，引入空間向量和坐標(biāo)法，這些改革與發(fā)展“好的數(shù)學(xué)”的思路相符合.

筆者以為，我國(guó)高中數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容編選，從一期課改到二期課改，逐漸改變了因?yàn)檎瞻嵬鈬?guó)教材和時(shí)代發(fā)展造成的“繁、難、偏、舊”問(wèn)題. 總體上講，內(nèi)容編選越來(lái)越科學(xué)、越來(lái)越適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的需要和學(xué)生認(rèn)知的特點(diǎn).

隨著數(shù)學(xué)和時(shí)代的發(fā)展，刪掉教材中非核心的、過(guò)于技巧性的數(shù)學(xué)內(nèi)容是應(yīng)該的，但對(duì)核心的、思想性的數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)該保留，特別是完全刪除某塊數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)慎重.

歐氏幾何自公元前出現(xiàn)到現(xiàn)在已經(jīng)2000多年了，它的發(fā)展對(duì)整個(gè)人類數(shù)學(xué)的發(fā)展都具有非凡的作用和意義.

盡管教材中立體幾何的許多文字表述和邏輯體系與《幾何原本》相比，發(fā)生了很大變化，但它所代表的古希臘傳承下來(lái)的理性精神和以演繹思維為基礎(chǔ)的邏輯推理方法卻散發(fā)著永恒的光輝. 因此，在中學(xué)教材中保留必要的歐幾里得幾何學(xué)的內(nèi)容，既有傳承理性文化的意義，也有傳遞數(shù)學(xué)演繹思維的作用.

第二次世界大戰(zhàn)以前，微分幾何不是核心數(shù)學(xué)，甚至被認(rèn)為“它已經(jīng)死了”，但20世紀(jì)下半葉以來(lái)，微分幾何卻成了主流，且由它發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)至21世紀(jì)依然是核心數(shù)學(xué).

所以，“非核心數(shù)學(xué)”可以發(fā)展成“核心數(shù)學(xué)”，同樣，“死掉的歐幾里得”曾經(jīng)催生了非歐幾何的誕生和發(fā)展，誰(shuí)又敢保證在未來(lái)某個(gè)時(shí)間它不會(huì)突然枯木逢春，重新煥發(fā)青春？

高中教材中立體幾何的內(nèi)容特點(diǎn)分析

1. 空間問(wèn)題平面化

（1）作圖上的空間問(wèn)題平面化.歐氏幾何要把空間圖形在平面上（紙上）表達(dá)出來(lái)，這其實(shí)是一個(gè)不可能的事情，為了達(dá)到在平面上表達(dá)空間圖形的效果，我們必須在畫(huà)圖和讀圖上做到“以假為真”“以真為假”.借用《紅樓夢(mèng)》里的一句話：“假作真時(shí)真亦假”.在紙上畫(huà)出來(lái)的空間結(jié)構(gòu)都是假的，但我們要想辦法把它看成真的. 例如，我們說(shuō)圖1表示正方體，其實(shí)它是畫(huà)在平面上的，這就是典型的以假為真;現(xiàn)實(shí)中的空間結(jié)構(gòu)都是真的，但它在我們立體幾何的概念中卻是假的.例如，我們?cè)诹Ⅲw幾何中談的正方體是對(duì)物理世界中正方體形狀的空間結(jié)構(gòu)（如粉筆盒）的抽象，不考慮它的質(zhì)量、顏色、表面光滑與否等. 所以，立體幾何里的正方體在現(xiàn)實(shí)中是不存在的，因而是假的.

（2）概念的刻畫(huà)上的空間問(wèn)題平面化.在學(xué)習(xí)立體幾何以前，我們首先學(xué)習(xí)了平面幾何（《幾何原本》的前六章是平面幾何，第七章到第九章是算術(shù)（數(shù)論），第十章是不可通約量的理論，第十一章到第十三章才是立體幾何內(nèi)容，空間結(jié)構(gòu)的有關(guān)概念是用平面上的有關(guān)概念來(lái)刻畫(huà)的，這有利于問(wèn)題的定量解決. 掌握了這個(gè)線索，有助于我們從整體上理解立體幾何知識(shí)脈絡(luò)和思想體系. 例如，有關(guān)角的概念，不管是異面直線所成的角，還是直線與平面所成的角，或者是二面角，均用平面上的角來(lái)刻畫(huà).

2. 無(wú)限問(wèn)題有限化

（1）內(nèi)涵上的無(wú)限個(gè)轉(zhuǎn)化成判定上的有限個(gè). 例如，若平面α外的直線l與平面α平行，則直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行，但只需證明直線l與平面α內(nèi)一條直線平行，就可以判定直線l與平面α平行.

同樣道理的還有：線面垂直判定轉(zhuǎn)化成“一條直線垂直于兩條相交直線”;面面平行判定轉(zhuǎn)化成“兩條相交直線與平面平行”，等等.

（2）外延上的無(wú)限個(gè)轉(zhuǎn)化成內(nèi)涵上的有限個(gè). 例如，從外延上，有無(wú)數(shù)條直線與平面所成角為60°，通過(guò)直線與平面所成角的定義，所有這些60°的線面角被概括抽象為一個(gè)內(nèi)涵類型.這種通過(guò)概括抽象內(nèi)涵來(lái)定義概念成為現(xiàn)在給概念下定義的一個(gè)非常重要的方式.

立體幾何學(xué)習(xí)的難點(diǎn)分析

1. 空間結(jié)構(gòu)及其關(guān)系的圖形表述具有高度抽象性

由于利用平面表達(dá)空間造成立體幾何圖像高度抽象. 其突破的秘訣是：重視作圖規(guī)則，增強(qiáng)心理暗示.

立體幾何首先有一系列作圖的規(guī)則：正等側(cè)畫(huà)法、斜二側(cè)畫(huà)法、三視圖畫(huà)法等. 他們其實(shí)就是我們作圖、讀圖的“標(biāo)準(zhǔn)語(yǔ)言”，通過(guò)語(yǔ)言的統(tǒng)一，掃清了表達(dá)和閱讀的障礙. 所以，作圖時(shí)要嚴(yán)格按照作圖規(guī)則，不能認(rèn)為立體幾何圖像是“以假為真”就可以隨意亂畫(huà). 例如，直線與平面的交點(diǎn)不能畫(huà)在表示平面的平行四邊形的邊上;兩平面的交線要與表示平面的平行四邊形的邊平行，等等. 另外，在讀圖時(shí)心理暗示非常重要，為什么我們認(rèn)為圖1是正方體，除了作圖的規(guī)范性以外，更重要的是我們暗示自己它是正方體.

2. 空間結(jié)構(gòu)及其關(guān)系定性研究具有嚴(yán)密邏輯性

立體幾何的概念體系內(nèi)容多且推理嚴(yán)謹(jǐn)，如何掌握這些概念及其推理？首先，教材（絕大多數(shù)國(guó)內(nèi)教材）均在章節(jié)內(nèi)容后面總結(jié)了該章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，研讀章節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)有利于我們理解知識(shí)之間的邏輯關(guān)系;其次，我們還可以根據(jù)歐氏幾何的演繹思維特點(diǎn)，自己尋找知識(shí)之間的邏輯線索，也能夠幫助我們理解和掌握知識(shí)結(jié)構(gòu);最后，通過(guò)向量，在幾何邏輯證明的基礎(chǔ)上結(jié)合代數(shù)運(yùn)算證明也可以降低證明的難度.

3. 空間結(jié)構(gòu)及其關(guān)系定量研究具有超強(qiáng)技巧性

立體幾何學(xué)習(xí)的第三個(gè)難點(diǎn)是其定量研究（即通過(guò)構(gòu)造法求角和距離等）的強(qiáng)技巧性. 這個(gè)難點(diǎn)的形成也是因?yàn)樵跉W幾里得時(shí)代數(shù)學(xué)發(fā)展的滯后造成的. 如今，通過(guò)引入代數(shù)運(yùn)算，特別是向量運(yùn)算，不僅可以降低立體幾何定量研究的構(gòu)造難度，還可以降低定性研究中證明的難度，需要說(shuō)明的是，向量法不僅是向量坐標(biāo)法，還包括向量的幾何運(yùn)算.

結(jié)論

傳統(tǒng)的歐氏立體幾何體系太難且有缺陷，改革是必需的，引入向量（向量幾何）是一個(gè)不錯(cuò)的方向. 立體幾何雖難學(xué)但有其價(jià)值，高中數(shù)學(xué)教材中應(yīng)該給立體幾何留下一席之地，歐氏幾何的精髓是其理性精神和演繹思維的思想，其理性精神和演繹思維的思想通過(guò)其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍铙w系和研究方法體現(xiàn)，只有從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度認(rèn)真研究歐氏幾何的概念及其關(guān)系才能夠把握歐氏幾何的實(shí)質(zhì)，才能夠在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的課程目標(biāo).