王梧 劉萬中

摘要：幾何畫板作為信息技術(shù)環(huán)境下的一個應(yīng)用軟件，在初中幾何教學(xué)和學(xué)習(xí)中可以落實(shí)多種初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。為此，可以利用幾何畫板在課堂實(shí)踐中進(jìn)行發(fā)展幾何直觀、建立空間觀念、強(qiáng)化推理能力、培養(yǎng)模型應(yīng)用和創(chuàng)新意識等方面的探索。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);信息技術(shù);幾何畫板;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

為落實(shí)初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，六安市清水河學(xué)校承擔(dān)了六安市教育信息技術(shù)研究2019年度課題“信息技術(shù)環(huán)境下的初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的研究———以初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為例”。幾何畫板作為初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個高效軟件，備受數(shù)學(xué)教師和學(xué)生的關(guān)注和歡迎。課題組以幾何畫板為載體開展初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，進(jìn)而落實(shí)對初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。本文對課題組的前期研究成果進(jìn)行小結(jié)，以期同人批評指正。

一、利用幾何變換發(fā)展幾何直觀和空間觀念

義務(wù)教育滬科版初中數(shù)學(xué)教科書“14.2命題與證明”中安排了讓學(xué)生探究“三角形的內(nèi)角和等于180°”的活動。通過傳統(tǒng)的剪紙和拼圖的實(shí)驗(yàn)活動，學(xué)生可以直觀地觀察到三角形的三個角可以共頂點(diǎn)地拼成一個平角，從而得出“三角形的內(nèi)角和等于180°”的結(jié)論。這個結(jié)論也可以通過度量來獲得。但傳統(tǒng)的操作，無論是度量還是剪拼，學(xué)生都難以獲得準(zhǔn)確的180°，而且學(xué)生在操作過程中也難以獲得進(jìn)行推理的直接啟示。在教學(xué)中，筆者考慮到學(xué)生在小學(xué)階段就已經(jīng)了解了這個結(jié)論，而且能進(jìn)行簡單的應(yīng)用，所以在課堂上沒有讓學(xué)生再進(jìn)行度量和剪拼的操作，而是讓學(xué)生把注意力集中到觀察和思考中，觀察三個內(nèi)角剪拼后所形成的圖形，然后讓學(xué)生思考該圖形是通過什么樣的幾何變換得到的。在多數(shù)學(xué)生苦思不得其解的情況下，筆者通過幾何畫板演示將∠2繞AC中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°和將∠3沿BC平移而獲得該圖，使得學(xué)生豁然開朗，進(jìn)而引發(fā)了學(xué)生進(jìn)行推理論證的熱情，整個教學(xué)過程高效有趣，學(xué)生興趣盎然。

二、通過構(gòu)建軌跡，強(qiáng)化推理能力和模型應(yīng)用意識的培養(yǎng)

初中數(shù)學(xué)大量涉及動點(diǎn)運(yùn)動探究問題，因該類問題立足于基本圖形，但靈活多變，思維容量大，所以歷來被作為培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力和思維能力的良好載體。但動點(diǎn)運(yùn)動的狀態(tài)隱而不顯，讓人捉摸不定，多數(shù)學(xué)生因在學(xué)習(xí)上有畏難情緒或幾何直覺不強(qiáng)、推理能力較弱，在面對該問題時往往是一籌莫展。

在教學(xué)中，筆者曾組織學(xué)生討論過該類問題，以其中一例闡述之。如圖1，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，E是邊AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上的一個動點(diǎn)，EG=EF，且∠GEF=60°，則GB+GC的最小值是多少？

多數(shù)學(xué)生在“兩定一動、求最小值”的條件啟示下，能較自然地聯(lián)想到該問題應(yīng)該屬于或最后能轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”模型求解?！皩④婏嬹R”問題的核心是動點(diǎn)的軌跡為直線或線段，而本題中動點(diǎn)G運(yùn)動后所形成的軌跡是難以判斷的，學(xué)生一時陷入困境。在課堂上，不少學(xué)生都能主動拿起直尺和圓規(guī)等作圖工具，不停地嘗試，經(jīng)歷了多次操作后，仍是找不到突破口。此時，筆者利用幾何畫板展示點(diǎn)G的運(yùn)動過程。利用幾何畫板構(gòu)造軌跡的操作，將通過傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)操作難以獲得的結(jié)果在信息技術(shù)的幫助下實(shí)現(xiàn)了可視化，形成了如圖2所示線段MN。筆者運(yùn)用信息技術(shù)手段瞬間降低了思維難度，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的可視化，這是傳統(tǒng)的教學(xué)手段難以實(shí)現(xiàn)的。信息技術(shù)支持下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果更直觀、探究更高效，而且能在實(shí)驗(yàn)操作過程中尋找和發(fā)現(xiàn)形成數(shù)學(xué)結(jié)論的原理，引發(fā)數(shù)學(xué)思考。該題通過幾何畫板的操作，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G運(yùn)動后形成的軌跡是線段MN。學(xué)生憑已有的幾何直覺，感知該問題可以轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”模型，線段MN所在的直線成了對稱軸，將圖形沿直線MN折疊后，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，線段GB與GE重合，從而得出GB=GE，進(jìn)而將求解GB+GC最小值問題轉(zhuǎn)化為GE+GC最小值問題。通過在直線MN上移動點(diǎn)G的位置，可知當(dāng)點(diǎn)C、點(diǎn)E和點(diǎn)G三點(diǎn)在同一條直線上時，GE+GC的值最小。筆者通過幾何畫板的實(shí)驗(yàn)探究，使學(xué)生獲得了解題思路，同時使學(xué)生的推理能力和模型應(yīng)用意識得到了較好的培養(yǎng)，也使信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科進(jìn)行了深度融合。

三、利用實(shí)驗(yàn)結(jié)果的多樣性，落實(shí)創(chuàng)新意識培養(yǎng)

通過幾何訓(xùn)練能實(shí)現(xiàn)思維訓(xùn)練，通過變式訓(xùn)練能培養(yǎng)思維的敏捷性和思辨性。進(jìn)行幾何變式訓(xùn)練是我國基礎(chǔ)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)，積累了大量的經(jīng)驗(yàn)可供借鑒。然而相伴而生的應(yīng)試教育也暴露出了不少弊端，教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)“去頭去尾燒中段”的做法。更有甚者，只是讓學(xué)生記住結(jié)論，然后大量地套用結(jié)論。這種教法和學(xué)法會讓學(xué)生逐漸喪失學(xué)習(xí)幾何的興趣，甚至?xí)l(fā)展到厭惡數(shù)學(xué)的地步。

如何利用好幾何變式教學(xué)和訓(xùn)練，達(dá)到變式教學(xué)本真的目的，這是筆者從教以來一直思考的問題。筆者在教學(xué)中也在不斷地大膽實(shí)踐，希望能突破困境。利用幾何畫板動態(tài)地展示問題的“前生與后世”，找準(zhǔn)問題的生長點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，大膽猜想，小心求證，常能激發(fā)起學(xué)生的好奇心且能較長久地保持學(xué)生的探究欲，實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的。

例如，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合）。以AD為邊作正方形ADEF，連接CF。首先進(jìn)行操作1：在幾何畫板中拖動點(diǎn)D的位置，使點(diǎn)D在線段BC上，引導(dǎo)學(xué)生從位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩方面去觀察，大膽說出自己的猜想。在大家熱烈的討論下，經(jīng)過多輪爭辯，最后得出兩個重要的猜想：①BD⊥CF;②CF+CD=BC。筆者在肯定了這兩個猜想后，向?qū)W生提出了該如何證明的問題。在片刻的思考后，不少學(xué)生發(fā)現(xiàn)了△ABD=△ACF，從而找到了證明的關(guān)鍵。其余學(xué)生也恍然大悟，接著都完成了證明。

接著進(jìn)行操作2：在直線BC上拖動點(diǎn)D的位置，改變圖形的形狀。學(xué)生看著變化的圖形，面面相覷。此時，筆者拋出問題：在圖形的變化中，你有什么發(fā)現(xiàn)？能夠提出什么問題？學(xué)生根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提出在圖形的變化過程中是否存在不變量。結(jié)合第一次操作，學(xué)生提出來操作1中的兩個結(jié)論是否還成立。如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，結(jié)論①仍成立，結(jié)論②不成立。那么，CF、BC、CD三條線段之間又蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？通過觀察不難發(fā)現(xiàn)：CF=BC+CD。通過△ABD=△ACF，不難證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。

在完成操作2的探究后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：還可能有什么樣的操作？對應(yīng)的圖形會是什么？有一些學(xué)生經(jīng)過自主探究，畫出了對應(yīng)圖形。此時，筆者利用幾何畫板進(jìn)行操作3：將點(diǎn)D拖至線段BC的反向延長線上，“在其他條件不變的情況下，CF、BC、CD三條線段又有著怎樣的數(shù)量關(guān)系”等問題自然生成，學(xué)生的探究水到渠成。

利用幾何畫板進(jìn)行一系列實(shí)驗(yàn)結(jié)果多樣性的操作探究，不僅使學(xué)生獲得了變式訓(xùn)練的效果，更讓學(xué)生掌握了研究數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的常用方法和途徑。學(xué)生樂于探究，較為持久地保持了探究的興趣。

（本文系六安市教育信息技術(shù)立項(xiàng)課題“信息技術(shù)環(huán)境下的初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的研究”的階段性研究成果，立項(xiàng)號：LA201920）

參考文獻(xiàn)：

[1]高茂軍.核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的課堂教學(xué)革新[M].天津：天津教育出版社，2018.

[2]馬復(fù).新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)：初中數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]劉須群.信息化背景下的案例教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].上海：華東師范大學(xué)學(xué)報，2005.

（責(zé)任編輯：韓曉潔）