李海燕 方志遠 許君君

(安徽糧食工程職業(yè)學院 機電工程系，安徽 合肥 230000)

剛度激勵是一種最為主要的齒輪系統(tǒng)動態(tài)激勵，是計算輪齒嚙合時產(chǎn)生的彈性變形，以及相應的時變嚙合剛度。也是齒輪傳動系統(tǒng)動力學重點研究的內(nèi)容之一。國內(nèi)外學者做了廣泛的研究：黃康[1]等人采用有限元法計算了斜齒微線段齒輪剛度，得到其剛度值較相應漸開線齒輪剛度值更優(yōu)的結(jié)論，然而仿真計算的設置過程比較復雜。梁喜輝[2]等人采用勢能分析法分析評價了行星齒輪組的嚙合剛度。Howard[3]等人運用有限元模型對輪齒裂縫對于嚙合剛度的影響進行了分析。Hedlund和Lehtovaara[4]采用有限元法對斜齒輪嚙合剛度的變化進行了研究。Gu和Velex[5]提出了一種近似計算公式關(guān)于理想的直齒圓柱齒輪和斜齒輪嚙合剛度。朱秋玲[6]等人采用有限元仿真法還有公式法研究了把嚙合誤差、時變嚙合剛度考慮在內(nèi)的齒輪非線性動力學系統(tǒng)。

本文采用的是累積積分勢能法[7]，計算出雙漸開線齒輪的綜合嚙合剛度以及單齒嚙合剛度，通過這種方法研究齒輪嚙合剛度受雙漸開線齒輪哪些參數(shù)的影響。

1 累積勢能法

在積累勢能法中，嚙合齒輪中儲存的勢能包括[8]：彎曲勢能Ub，赫茲勢能Uh，軸向壓縮變形勢能Ua、剪切勢能Us，能夠分別用于計算出彎曲剛度Kb、赫茲剛度 Kh、軸向壓縮剛度Ka以及剪切剛度Ks，總嚙合剛度為各剛度的串聯(lián)形式[9]。根據(jù)彈性力學和材料力學理論可知，Ub、Uh、Ua以及Us表示如下：

其中，F(xiàn)是嚙合點處的作用力；α1是F與橫軸方向的夾角；Fa是徑向力，F(xiàn)在X軸方向分力為Fa=Fsinα1；Fb是切向力，F(xiàn)在y軸方向分力為Fb=Fcosα1； G是切變模量；E是彈性模量；Ix是距離基圓x處輪齒截面的轉(zhuǎn)動慣量；d為嚙合點到基圓的距離；Ax為距離齒根圓x處輪齒截面面積；h為嚙合點到輪齒對稱線的距離。

根據(jù)公式(2)到(4)，得到彎曲剛度、剪切剛度以及軸向壓縮剛度的計算公式：

其中，hx是齒輪齒廓上的點到輪齒中線的距離；μ為泊松比。

根據(jù)漸開線齒輪齒廓的特點，hx的計算公式如下[10]：

其中，Rb是基圓半徑。

通過公式可以得出，給定的齒輪，它的各個嚙合點處的軸向壓縮剛度Ka、剪切剛度Ks、彎曲剛度Kb只和嚙合位置α1有關(guān)，與其他各參數(shù)是沒有關(guān)系的。

對于相互嚙合的兩個齒輪，其總能量的表達式為：

其中，n是輪齒同時嚙合的對數(shù)。

2 雙漸開線齒輪不同參數(shù)對嚙合剛度的影響

分階式雙漸開線齒輪(以下簡稱為雙漸開線齒輪)綜合了雙圓弧齒輪以及漸開線齒輪這兩種齒輪優(yōu)點的一種新型齒輪[11]，這種齒輪是由兩段相互交錯的漸開線組成了工作齒廓，一段中間曲線連接了這兩段漸開線，齒頂和齒根這兩段漸開線齒廓是呈階梯式布置，如圖1所示。在雙漸開線齒輪嚙合的過程中，嚙合剛度的呈現(xiàn)周期性變化，這也是為什么會產(chǎn)生噪聲以及激勵齒輪振動的主要原因之一，雙漸開線齒輪動力學特性研究的基礎(chǔ)是研究嚙合剛度計算方法。

圖1 雙漸開線齒輪端面齒廓

齒輪嚙合剛度反映的是齒輪輪齒從剛進入嚙合到退出嚙合這整個過程中的動態(tài)參數(shù)，齒輪參數(shù)不同。比如，改變齒輪的齒寬、模數(shù)等參數(shù),嚙合剛度也會隨之改變，因此，需要研究雙漸開線齒輪模數(shù)以及齒寬對齒輪嚙合剛度的影響規(guī)律。

2.1 有限元模型的建立

建立雙漸開線齒輪三維有限元模型，見圖1。在軸向和徑向這兩個方向上施加固定約束，雙漸開線齒輪輪廓上施加一個沿接觸線的線性分布力F，可以得到沿力F方向的平均撓度δ。

輪齒的單齒嚙合剛度為：

對于嚙合的齒輪來說，力的作用是相互的，主從動輪相接觸的地方都收到一個有相同的力F。一對齒輪會有兩個撓度δ1和δ2，因此單齒嚙合剛度可以用如下公式表示：

一對輪齒在任意接觸位置的綜合嚙合剛度K12是這兩個單齒嚙合剛度K1和K2的并聯(lián)形式。因此，K12可以表示為：

當多齒同時嚙合時，在任意指定的接觸位置的綜合嚙合剛度Ktotal可以表示為：

n是同時嚙合的齒輪齒對數(shù)。

2.2 模數(shù)的影響

首先設定齒輪參數(shù)，齒寬L=25mm，螺旋角 ，其他參數(shù)保持不變。模數(shù)設為mn=3mm-4.5mm，模數(shù)不同的漸開線齒輪的綜合嚙合剛度和單齒嚙合剛度如圖2所示。

從圖中可以看出：綜合嚙合剛度與單齒嚙合剛度的走勢明顯不同，圖2(a)中單齒嚙合剛度隨著轉(zhuǎn)角的不同，變化趨勢較小，這單齒嚙合剛度的嚙合穩(wěn)定性好。而圖2(b)和(c)中對于的雙漸開線齒輪的單齒嚙合剛度隨著轉(zhuǎn)角的變化變化趨勢較大。

根據(jù)公式(16)可以得出，齒輪模數(shù)越大，端面基圓節(jié)距就會增大，主動輪齒寬值隨之增大，然而從動輪齒寬值則不變。因此輪齒嚙合接觸面寬度就會增加。模數(shù)增加的話，雙漸開線齒輪綜合嚙合剛度波動隨之增加。如圖(a)所示，當齒輪模數(shù)為mn=3mm時，雙漸開線齒輪的綜合嚙合剛度趨于一條直線。而齒輪模數(shù)mn=4.5mm時，最大值與最小值的差為。

圖2 不同模數(shù)下的嚙合剛度

2.3齒寬的影響

設定雙漸開線齒輪的模數(shù)mn=4mm，螺旋角β15。，其他參數(shù)保持不變，齒寬設定為10—25mm這個范圍區(qū)間，綜合與單齒的嚙合剛度如圖3所示。由圖可知，齒面寬度增加的時候，雙漸開線齒輪的單齒嚙合剛度曲線先變化較為劇烈，隨后趨于平緩，根據(jù)公式(13)和(14)可以分析得出，主動輪齒寬值減小，從動輪齒寬值增大。單齒嚙合剛度的斜率會隨著齒寬的增大而呈減小的趨勢。同理可得，齒寬增大，綜合嚙合剛度曲線也是趨于平緩。

圖3 不同齒寬下的嚙合剛度

3 結(jié)論

本文在累積積分勢能法基礎(chǔ)上建立了雙漸開線齒輪嚙合剛度的計算模型，并對比了雙漸開線齒輪齒寬、模數(shù)這兩種因素對嚙合剛度的影響。隨后計算分析了雙漸開線齒輪一對輪齒的綜合嚙合剛度以及單齒嚙合剛度。根據(jù)累積積分勢能法計算雙漸開線齒輪的嚙合剛度時。從模型計算中可以清楚的看出雙漸開線齒輪的嚙合剛度變化的規(guī)律。從中可以看出，模數(shù)的增加，會使嚙合剛度的變化趨勢較為劇烈，雙漸開線齒輪的嚙合剛度曲線隨著齒寬的增加而減小。