羅慧怡

【摘要】數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，在高考改革的大趨勢下，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求越發(fā)明顯，而提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力更是提高數(shù)學(xué)綜合水平的重中之重.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;培養(yǎng)方法

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中明確指出，“數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)”.主要包括：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果，等等.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力應(yīng)從以下幾個(gè)方面入手.

一、夯實(shí)學(xué)生基本功

1.關(guān)注“四基”“四能”.縱觀新高考改革以來的高考試題，那些看上去困難或新穎的問題，往往需要學(xué)生發(fā)掘問題的內(nèi)涵，尋找使用基本概念和基本計(jì)算方法的切入點(diǎn).因此，在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)基本概念的本質(zhì)和內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想方法，把握基本解題方法的邏輯順序和基本步驟，養(yǎng)成使用教材上的基本思想和方法解決問題的習(xí)慣.例如，2018年上海秋季高考中的第11題：已知常數(shù)a>0，函數(shù)f（x）=2x2x+ax的圖像經(jīng)過點(diǎn)Pp，65，Qq，-15.若2p+q=36pq，則a=.該題看似復(fù)雜，實(shí)則只需將兩點(diǎn)代入函數(shù)解析式，取倒數(shù)后再進(jìn)行化簡計(jì)算即可.過程如下：

65=2p2p+ap，- 15=2q2q+aq56=2p+ap2p，-5=2q+aq2q-16=ap2p，-6=aq2q

1=a2pq2p+qa=6.

該題的解答完全源于基本方法的運(yùn)用，并不需要太多的特殊技巧和方法，學(xué)生只需掌握常規(guī)計(jì)算方法即可完成.

2.關(guān)注運(yùn)算與推理相結(jié)合，重視運(yùn)算過程的合理性.學(xué)生在解題時(shí)往往不太重視推理過程對運(yùn)算的重要性，在各種公式和方法、運(yùn)算法則的使用上十分盲目.所以，教師在教學(xué)過程中應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生對問題進(jìn)行符合邏輯的聯(lián)想，讓學(xué)生養(yǎng)成用理論指導(dǎo)計(jì)算的解題習(xí)慣，讓學(xué)生學(xué)會(huì)遵循基本的推理過程，掌握基本的運(yùn)算順序和運(yùn)算規(guī)律.

只有真正把握問題的內(nèi)在算理，才能提高解題的合理性和準(zhǔn)確性.例如，2019年上海秋季高考中的第17題：如圖1，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為BB1上一點(diǎn)，已知BM=2，CD=3，AD=4，AA1=5. （1）求直線A1C與平面ABCD的夾角;（2）求點(diǎn)A到平面A1MC的距離.學(xué)生如果選擇使用空間向量的方法，那么運(yùn)算的邏輯順序就應(yīng)是先將各點(diǎn)及向量的坐標(biāo)計(jì)算清楚，才能做后續(xù)的運(yùn)算，而（2）題則是在（1）題坐標(biāo)計(jì)算正確的前提下繼續(xù)運(yùn)用法向量和距離公式進(jìn)行計(jì)算.學(xué)生如果選擇幾何法，那么運(yùn)算的邏輯順序就應(yīng)轉(zhuǎn)換為等積變換的思想方法，在運(yùn)算過程中，要特別關(guān)注解斜三角形問題中三角形面積的求解，只有正確把握該題的內(nèi)在邏輯，準(zhǔn)確完成各個(gè)運(yùn)算環(huán)節(jié)，才能完整無誤地解決該題.然而，想要得證這些就需要教師在平時(shí)的練習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生正確的邏輯推理，以及遵循正確的計(jì)算順序.

3.關(guān)注教材中的重點(diǎn)內(nèi)容及其相應(yīng)的運(yùn)算方法.教師在定理、公式、法則及重要結(jié)論的推導(dǎo)和應(yīng)用過程中，要重點(diǎn)示范、講清算理算法;在進(jìn)行各種運(yùn)算與定理公式推導(dǎo)應(yīng)用時(shí)，要盡量詳細(xì)規(guī)范板演;直接應(yīng)用公式、定理解題時(shí)，要多讓不同層次的學(xué)生在黑板上板演或展示各種解法，通過比較算理的合理性，算法的簡捷性，過程的規(guī)范性，促進(jìn)學(xué)生形成各種運(yùn)算技能.例如，在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)從橢圓的定義出發(fā)，對距離公式進(jìn)行化簡，從而進(jìn)行消元，并引入?yún)?shù)b，令b2=a2-c2，從而使化簡好的方程形式更加簡潔和美觀.

4.關(guān)注審題能力的培養(yǎng).教師在指導(dǎo)學(xué)生解決問題時(shí)，應(yīng)及早確定運(yùn)算目標(biāo)，并在運(yùn)算求解過程中及時(shí)調(diào)整運(yùn)算方向.弄清條件是解題的前提，一般可分為：一級條件（原始條件）、二級條件（變形條件）、三級條件（隱含條件）.

5.關(guān)注運(yùn)算速度，強(qiáng)化限時(shí)訓(xùn)練.強(qiáng)化限時(shí)訓(xùn)練對提升運(yùn)算速度十分重要，教師首先應(yīng)精選練習(xí)，要根據(jù)不同層次的學(xué)生特點(diǎn)，選擇運(yùn)算量適度的習(xí)題，兼顧幾種解法，以便于不同層次的學(xué)生都能有所提升，在評講時(shí)也可提供多種運(yùn)算途徑供學(xué)生選擇.

6.關(guān)注簡化運(yùn)算，提高解題效率.

（1）熟記一些常見的運(yùn)算結(jié)論和推理結(jié)果是提升解題效率的重要方法和手段.學(xué)生可以根據(jù)現(xiàn)有結(jié)論探尋解題思路，從而進(jìn)一步簡化運(yùn)算過程，提高運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.例如，正四面體的體積公式、焦半徑公式、弦長公式，以及各種三角公式等.

（2）在各類運(yùn)算相關(guān)問題中，解析幾何題的運(yùn)算是學(xué)生尤為頭疼的，教師需要教會(huì)學(xué)生簡化運(yùn)算的基本方法.例如，恰當(dāng)建系、巧妙設(shè)元、回歸定義、設(shè)而不求、數(shù)形結(jié)合、整體代換、數(shù)式化簡、特殊引路、特征分析（定量、定性）、直覺判斷、合情推理……

例如，2019年上海春季高考中的第20題：已知拋物線方程y2=4x，F(xiàn)為焦點(diǎn)，P為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，Q為線段PF與拋物線的交點(diǎn)，定義：d（P）=|PF||FQ|.（1）當(dāng)P-1，-83時(shí)，求d（P）;（2）證明：存在常數(shù)a，使得2d（P）=|PF|+a;（3）P1，P2，P3為拋物線準(zhǔn)線上三點(diǎn)，且|P1P2|=|P2P3|，判斷d（P1）+d（P3）與2d（P2）的關(guān)系.該題如果不進(jìn)行深入閱讀尋找合理運(yùn)算方法，多數(shù)學(xué)生會(huì)給出如下解答：

（1）因?yàn)閗PF=43y=43x-1，聯(lián)立方程組y=43（x-1），y2=4xxQ=14， 則|PF|=103，QF=54d（P）=83.

（2）當(dāng)P（-1，0）時(shí)，易得a=2d（P）-|PF|=2.

不妨設(shè)P（-1，yP），yP>0，直線PF：x=my+1，

則myP=-2，

聯(lián)立x=my+1，y2=4x，得y2-4my-4=0，

yQ=4m+（4m）2+162=2m+2m2+1，

2d（P）-|PF|=2yPyQ-1+m2yP=2×-2m2m+2m2+1+21+m2m=2.

（3）設(shè)P1-1，y1，P2-1，

y2，P3-1，y3，則

2dP1+dP3-4dP2=P1F+P3F-2P2F=y21+4+y23+4-2y22+4

=y21+4+y23+4-y1+y32+16.

因?yàn)椋▂21+4+y23+4）2-[（y1+y3）2+16]=2y21+4·y23+4-2y1y2-8，

又因?yàn)椋▂21+4）（y23+4）-（y1y3+4）2>0，

所以d（P1）+d（P3）>2d（P2）.

然而，事實(shí)上，學(xué)生若能在第二問中發(fā)現(xiàn)拋物線定義的應(yīng)用，即可將問題轉(zhuǎn)化為直角三角比：

如圖3，設(shè)∠PFM=θ，則d（P）=|PF||QF|=|QF|+|PQ||QF|=1+1cos θ，

且|PF|=2cos θ，

則有2d（P）=2+2cos θ=|PF|+aa=2.使用數(shù)形結(jié)合的方法，立刻將原本復(fù)雜的計(jì)算變得簡單了許多.而第三問的求解如果能有效利用第二問的結(jié)論，運(yùn)算效果會(huì)事半功倍.

因?yàn)閐P1+dP3=2+1cos θ1+1cos θ3=2+P1F2+P3F2，

且由第二問結(jié)論可得2dP2=2+P2F，

可得dP1+dP3-2dP2=P1F+P3F2-P2F=P1F+P3F-2P2F2.

由于P2為P1P3的中點(diǎn)，如圖4，延長FP2至M使MP2=FP2，可構(gòu)成MP3FP1.

顯然：

dP1+dP3-2dP2=P1F+MP1-MF2>0，

即dP1+dP3>2dP2.

由此可見，若學(xué)生可以通過認(rèn)真審題歸納運(yùn)算原理，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算規(guī)律，往往會(huì)收到意想不到的效果.

二、加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生自我糾錯(cuò)的能力

1.指導(dǎo)學(xué)生精讀教材，對于教材中出現(xiàn)過的基本運(yùn)算方法和運(yùn)算技巧要重點(diǎn)關(guān)注，包括教材中的例題、圖示，乃至課后閱讀材料、書本邊角注釋等都要仔細(xì)推敲.在閱讀教材時(shí)，教師要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，體會(huì)編者的目的.例如，滬教版中推導(dǎo)等差數(shù)列的求和公式中使用了倒序相加的方法，教師在指導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)列中倒序相加法的問題時(shí)，應(yīng)告知該方法的出處，引導(dǎo)學(xué)生重溫教材，加深記憶.

2.指導(dǎo)學(xué)生每周進(jìn)行錯(cuò)題匯總，尋找知識掌握的薄弱環(huán)節(jié)，找到錯(cuò)誤的本源，并及時(shí)加以糾正.隨著信息技術(shù)的逐步深入，例如，智學(xué)網(wǎng)、極課大數(shù)據(jù)、釘釘?shù)華pp的使用，不僅有效地幫助教師進(jìn)行分析和統(tǒng)計(jì)，也為學(xué)生帶來了很多的幫助，為學(xué)生的錯(cuò)題整理帶來了很多的便捷.

三、重視知能結(jié)合，關(guān)注習(xí)題課的教學(xué)

1.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的訓(xùn)練貫串在數(shù)學(xué)教學(xué)全過程之中，需要通過有效的訓(xùn)練促進(jìn)知識向能力的轉(zhuǎn)化.常規(guī)教學(xué)往往喜歡重復(fù)題型，通過題組訓(xùn)練來促進(jìn)學(xué)生模仿并強(qiáng)化記憶，對此，我認(rèn)為教師應(yīng)調(diào)整思路，不能單純地進(jìn)行重復(fù)訓(xùn)練，而應(yīng)以問題為載體，努力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而提升其運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的能力.

2.數(shù)學(xué)運(yùn)算訓(xùn)練要力求扎實(shí)、牢固.教師在選擇例題和習(xí)題時(shí)，應(yīng)關(guān)注學(xué)生的實(shí)際情況，“度”的掌握是習(xí)題選擇的關(guān)鍵所在，要讓每一名學(xué)生都能在習(xí)題課上有存在感和獲得感，讓學(xué)生“跳一跳，夠得到”.

3.運(yùn)算規(guī)范化的訓(xùn)練尤為重要，運(yùn)算規(guī)范化主要包含以下幾個(gè)方面：運(yùn)算思想規(guī)范化、運(yùn)算方法規(guī)范化，解題過程規(guī)范化、數(shù)學(xué)語言表達(dá)規(guī)范化.具體來說，教師應(yīng)抓好以下幾點(diǎn)：

（1）要求學(xué)生能清晰表述運(yùn)算思想.

（2）要求學(xué)生能詳細(xì)給出解題過程.

（3）要求學(xué)生規(guī)范化地進(jìn)行數(shù)學(xué)字母和數(shù)學(xué)符號的書寫.

（4）要求學(xué)生在運(yùn)算推理過程中學(xué)會(huì)用文字解釋運(yùn)算步驟.

核心素養(yǎng)教育是我國教育改革中的一項(xiàng)重要舉措，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，如果在高中階段得到有效培養(yǎng)和鍛煉，對學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)會(huì)有很大幫助，更為日后學(xué)習(xí)專業(yè)性學(xué)科知識打下基礎(chǔ).

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