孟俊

[摘? 要] 現(xiàn)象是比情境更真實(shí)的學(xué)習(xí)素材，現(xiàn)象教學(xué)主張“回到問(wèn)題本身”，強(qiáng)調(diào)用現(xiàn)實(shí)的素材去觀察世界、思考世界、表達(dá)世界. 文章借用現(xiàn)象教學(xué)觀點(diǎn)設(shè)計(jì)了“直線與圓的位置關(guān)系”課程，進(jìn)行了課堂實(shí)踐教學(xué)，并給出了設(shè)計(jì)原理分析和實(shí)踐結(jié)果評(píng)價(jià).

[關(guān)鍵詞] 直線與圓;現(xiàn)象教學(xué);教學(xué)設(shè)計(jì)

現(xiàn)象教學(xué)主張“回到問(wèn)題本身”，提倡面向現(xiàn)實(shí)世界，通過(guò)對(duì)現(xiàn)象的觀察和思考，形成心理和符號(hào)的表征，形成自己的語(yǔ)言，使數(shù)學(xué)知識(shí)的生成和發(fā)展自然合理. 下面就以“直線與圓的位置關(guān)系”為例，談?wù)劕F(xiàn)象教學(xué)視角下的概念教學(xué).

■學(xué)情分析

上課班級(jí)是高一（11）班，學(xué)生的基礎(chǔ)較好，但是在探索問(wèn)題時(shí)，思維的深度和廣度相對(duì)薄弱. 通過(guò)積極參與學(xué)生的思維，發(fā)現(xiàn)和解決教學(xué)活動(dòng)中的問(wèn)題，理解和掌握數(shù)學(xué)思想和方法，在教學(xué)中及時(shí)關(guān)注學(xué)生反饋的信息，循序漸進(jìn)地開(kāi)展教學(xué)，為后面的學(xué)習(xí)鋪平道路.

■教材分析

直線和圓是學(xué)生熟悉的圖形，初中平面幾何對(duì)直線與圓有了一定的研究. 本節(jié)課在這基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步研究直線與圓的位置關(guān)系，深刻理解幾何問(wèn)題代數(shù)化的重要性. 這一課進(jìn)一步增強(qiáng)了學(xué)生觀察、概括、探究問(wèn)題的能力，為下面圓與圓的代數(shù)研究積累經(jīng)驗(yàn).

教學(xué)的目標(biāo)：

（1）掌握直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離;

（2）會(huì)用代數(shù)法和幾何法來(lái)判定直線與圓的三種位置關(guān)系;

（3）會(huì)用直線與圓的位置關(guān)系解決一些實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生的思維能力.

教學(xué)的重難點(diǎn)：直線與圓的三種位置關(guān)系的判斷方法及其運(yùn)用.

■教學(xué)實(shí)錄

1. 現(xiàn)象呈現(xiàn)

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出紙和筆，一起來(lái)畫(huà)一條直線與一個(gè)圓.

師：你發(fā)現(xiàn)直線與圓存在怎樣的位置關(guān)系呢？

生：有三種位置關(guān)系：

師：初中講過(guò)的直線與圓有什么位置關(guān)系呢？

生：相交、相切、相離.

師：很好. 我們發(fā)現(xiàn)了直線與圓的三種位置關(guān)系，如何度量呢？

生：以公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以判斷直線與圓的三種位置關(guān)系：

師：圖1和圖3的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是清楚的，因此很容易得到相離和相交的位置關(guān)系. 但是判斷圖2的公共點(diǎn)是一個(gè)還是兩個(gè)并不容易，不易判斷是否相切.

追問(wèn)：如果公開(kāi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)不易判斷，該怎么辦？

生：我們需要知道直線l和圓O的方程，聯(lián)立方程后確定解的個(gè)數(shù)，從而得到交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

師：要聯(lián)立方程，我們就要知道直線和圓的方程，這就需要建立直角坐標(biāo)系了. 大家能否類比兩條直線的交點(diǎn)知識(shí)研究直線與圓的位置關(guān)系？

生：設(shè)圓O：x2+y2+Dx+Ey+F=0，直線l：Ax+By+C=0，聯(lián)立方程Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0，根據(jù)解的情況來(lái)判斷直線與圓的三種位置關(guān)系.

師：很好. 我們知道，雖然這個(gè)數(shù)字是直觀的，但有些細(xì)節(jié)是肉眼看不出來(lái)的. 這時(shí)，我們需要用計(jì)算的方法來(lái)量化和用數(shù)字來(lái)解釋問(wèn)題，而“形”和“數(shù)”之間的橋梁就是直角坐標(biāo)系.

師：從方程的角度出發(fā)，分析了直線與圓的位置關(guān)系，把問(wèn)題看清楚了. 現(xiàn)在讓我們做這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)性的探索.

問(wèn)題：（1）在紙上畫(huà)一條直線，畫(huà)出很多圓，這些圓都是同心圓;（2）在紙上畫(huà)一個(gè)圓，在紙上移動(dòng)尺子（將尺子的邊緣當(dāng)作直線）. 想一想：在變化的過(guò)程中，除了公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)外，其他數(shù)量的變化是什么？

生：圓心到直線的距離以及半徑都在改變.

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谇懊嫒龔垐D中分別畫(huà)出圓心到直線的距離以及半徑.觀察概括：從圓心到直線的距離d與半徑r之間的關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系有什么聯(lián)系？

生：當(dāng)圓心到直線的距離d大于半徑r時(shí)，直線與圓相離;等于半徑r時(shí)，直線與圓相切;小于半徑r時(shí)，直線與圓相交.

師：講得很好. 在解析幾何中，當(dāng)我們知道圓心的坐標(biāo)和直線的方程時(shí)，圓心和直線之間的距離就可以計(jì)算出來(lái)，這樣我們就可以“量化”這個(gè)距離. 能具體一點(diǎn)嗎？

生：設(shè)直線l：Ax+By+C=0，圓O：（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0），則圓心O（a，b）到直線l的距離d=■. 當(dāng)d>r時(shí)，直線l與圓O相離;當(dāng)d=r時(shí)，直線l與圓O相切;當(dāng)d

設(shè)計(jì)意圖：兩種判斷方法結(jié)合圖像，以代數(shù)法通過(guò)計(jì)算來(lái)判斷，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的重要性. 通過(guò)拋出現(xiàn)象，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，從而流暢地自主完成對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的推導(dǎo).

2. 現(xiàn)象表述

師：非常好！你能總結(jié)出幾種判斷直線與圓之間位置關(guān)系的方法？

生：兩種方法：

設(shè)計(jì)意圖：得到的兩種判斷方法，都是從“形”的角度出發(fā)，以“量”的關(guān)系來(lái)表示，從而使學(xué)生流暢地自主完成了直線與圓的位置關(guān)系的判斷，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的重要聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了思維的“內(nèi)化”和“優(yōu)化”.

3. 現(xiàn)象應(yīng)用

例1：已知直線4x+3y-40=0和圓x2+y2=144.

（1）判斷它們的位置關(guān)系;（2）如果相交，弦長(zhǎng)是多少？（解答略）

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生比較判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法（代數(shù)法和幾何法）的優(yōu)缺點(diǎn). 求弦長(zhǎng)時(shí)可以求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，也可以由半弦長(zhǎng)■、半徑r及弦心距d所構(gòu)成的“特征三角形”求解，更要強(qiáng)調(diào)“特征三角形”的重要性.

例2：自點(diǎn)A（-1，4）作圓（x+2）2+（y-2）2=1的切線l，求切線l的方程，并求切線的長(zhǎng). （解答略）

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)圖形的重要性.通過(guò)幾何畫(huà)板的演示讓學(xué)生獨(dú)立思考，形成求切線的不同情形，同時(shí)提供給學(xué)生漏根后的補(bǔ)救方法，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

師：本節(jié)課我們有什么收獲？

生1：判斷和研究直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：幾何法和代數(shù)法.

生2：解決問(wèn)題時(shí)要數(shù)形結(jié)合，善于用幾何法處理問(wèn)題.

生3：……

設(shè)計(jì)意圖：課堂總結(jié)是課堂教學(xué)不可缺少的部分，學(xué)生通過(guò)自主歸納本節(jié)課的主要內(nèi)容、掌握的思想和方法，并在教師的指導(dǎo)下通過(guò)小組合作繪制思維導(dǎo)圖，培養(yǎng)學(xué)生形成自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考、歸納合作等良好習(xí)慣，真正達(dá)到我們所倡導(dǎo)的現(xiàn)象教學(xué).

■教學(xué)反思

1. 現(xiàn)象教學(xué)——在拓展研究中提高解決問(wèn)題的能力

康托爾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由.”開(kāi)展豐富多樣的課堂探究是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)自由的外在表現(xiàn). 這堂課在教學(xué)設(shè)計(jì)上充分體現(xiàn)了探究式教學(xué)的理念，即現(xiàn)象教學(xué)所倡導(dǎo)的“回到問(wèn)題本身”，而我們所研究的正是直面問(wèn)題本身. 本節(jié)課的難點(diǎn)如何從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面來(lái)刻畫(huà)直線與圓的位置關(guān)系，如何提高學(xué)生的主觀參與度. 筆者設(shè)置了直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不好判斷的問(wèn)題，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)尋找現(xiàn)象，營(yíng)造讓學(xué)生跳一跳可以夠到的感覺(jué)，激發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)生主動(dòng)參與課堂活動(dòng). 對(duì)于圓心到直線的距離d與半徑r的比較的探究，無(wú)論是設(shè)置動(dòng)圓還是動(dòng)直線，都充分讓學(xué)生自由談?wù)?，并讓代表小組發(fā)言，讓學(xué)生充分參與探究活動(dòng). 在探索的過(guò)程中，學(xué)生解決問(wèn)題的能力自然會(huì)提高. 在真實(shí)現(xiàn)象面前，學(xué)生有了真實(shí)的思維，獲得了自己真實(shí)的知識(shí).

2. 現(xiàn)象教學(xué)——在知識(shí)構(gòu)建過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

在現(xiàn)象教學(xué)中，當(dāng)把直線與圓的位置關(guān)系作為需要知道的“現(xiàn)象”呈現(xiàn)給學(xué)生后，學(xué)生便進(jìn)行了真實(shí)有效的思考，體驗(yàn)了自主形成知識(shí)的過(guò)程，形成了探究的意識(shí)和能力. 數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，數(shù)學(xué)教育最重要的目標(biāo)是通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 為了培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，教師可以加深并通過(guò)有針對(duì)性的問(wèn)題，拓展學(xué)生的思維. 在這節(jié)課中，教師通過(guò)拋出現(xiàn)象，讓學(xué)生積極思考，引導(dǎo)學(xué)生積極參與整個(gè)教學(xué)過(guò)程，通過(guò)學(xué)生參與活動(dòng)的全過(guò)程，學(xué)生的思維不斷深化，在輕松愉快的課堂氣氛中，自然而然地掌握了知識(shí)，提高了思維能力.

3. 現(xiàn)象教學(xué)——在合作探究的引領(lǐng)下強(qiáng)化學(xué)生問(wèn)題意識(shí)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)地參與教學(xué)活動(dòng). 現(xiàn)象教學(xué)強(qiáng)調(diào)面對(duì)真實(shí)的素材，重在知識(shí)的自然生成，在對(duì)真實(shí)的素材進(jìn)行思考時(shí)，人的思維自然流淌. 筆者認(rèn)為，教師的啟發(fā)和引導(dǎo)應(yīng)與學(xué)生的自主探究和合作交流有機(jī)結(jié)合，使探究活動(dòng)成為正常的課堂教學(xué). 現(xiàn)象教學(xué)是一種開(kāi)放的教學(xué)模式. 在本課中，學(xué)生自己畫(huà)直線和圓，找出直線與圓之間的位置關(guān)系，并進(jìn)一步研究判斷方法——幾何法和代數(shù)法. 這些思想和方法是在學(xué)生積極參與的過(guò)程中自然產(chǎn)生的. 學(xué)生在小組合作、生生之間的多維互動(dòng)，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生“問(wèn)題意識(shí)”的培養(yǎng)，學(xué)生在質(zhì)疑、反思中形成獨(dú)立思考的能力，真正培養(yǎng)了學(xué)生的“四基”和“四能”.

■結(jié)語(yǔ)

當(dāng)知識(shí)教，學(xué)生成了知識(shí)的記憶者;當(dāng)能力教，學(xué)生成了解題的熟練工;當(dāng)現(xiàn)象教，學(xué)生成了開(kāi)眼看世界的人. 給予學(xué)生現(xiàn)象，他們可以用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，用數(shù)學(xué)的思維去思考，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá). 現(xiàn)象教學(xué)，讓我們“回到問(wèn)題本身”，讓學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展的自然性和合理性，讓概念自然流暢地生成，數(shù)學(xué)的課堂將充滿樂(lè)趣、生機(jī)勃勃！讓現(xiàn)象教學(xué)走進(jìn)課堂，真正地做到讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根！