周伊雁

【摘 要】模型思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中無(wú)處不在。以“植樹(shù)問(wèn)題”的教學(xué)為例，在教學(xué)中一步步地通過(guò)感知模型、構(gòu)建模型、應(yīng)用模型這三個(gè)階段來(lái)滲透數(shù)學(xué)模型思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 模型思想 植樹(shù)問(wèn)題

模型思想是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)里十個(gè)核心概念中唯一以“思想”指稱(chēng)的概念，也是三種基本數(shù)學(xué)思想之一，它是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，這一定位充分體現(xiàn)了模型思想本身的重要地位，更顯示了它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。因而，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出“在數(shù)學(xué)課程中，要注重發(fā)展學(xué)生的模型思想。模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義”。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地滲透學(xué)生的模型思想，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中提煉出數(shù)學(xué)信息的能力，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，找到解決問(wèn)題的方法，并運(yùn)用方法解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。

“植樹(shù)問(wèn)題”是五年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)內(nèi)容，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中滲透學(xué)生模型思想的重要素材。通過(guò)對(duì)“植樹(shù)問(wèn)題”這一典型情境的學(xué)習(xí)，建立數(shù)學(xué)模型幫助學(xué)生將來(lái)應(yīng)用到其他同類(lèi)模型的實(shí)際問(wèn)題中去，觸類(lèi)旁通，舉一反三。教材通過(guò)對(duì)兩端都種、兩端都不種和一端種一端不種三種情境的比較，對(duì)間距、間隔數(shù)、種植棵樹(shù)等幾個(gè)關(guān)鍵概念的理解，引導(dǎo)學(xué)生從具體的生活問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)信息，了解這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本特征，感知數(shù)學(xué)問(wèn)題模型;并通過(guò)比較、分析，發(fā)現(xiàn)它們之間的變化規(guī)律，逐步得出解決這種數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本模型，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

一、在情境中感知模型，培養(yǎng)建模意識(shí)

數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活。良好的情境能夠引起學(xué)生討論的興趣，使學(xué)生帶著飽滿(mǎn)的激情參與到課堂探索中來(lái)。植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)情境在學(xué)生的生活中比比皆是，從學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的生活中提取素材，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，自主建模。由此展開(kāi)教學(xué)，才能讓學(xué)生深刻感受到建模思想的重要性，從而培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)。

師（課件出示學(xué)校操場(chǎng)旁的花壇）：為了綠化校園，學(xué)校要在一條20米長(zhǎng)的操場(chǎng)旁種樹(shù)。每隔5米種一棵，要種多少棵？

生1：4棵。

生2（哈哈大笑）：錯(cuò)了，應(yīng)該是5棵。

師：哪種是對(duì)的？4棵？5棵？大膽地猜想一下，有沒(méi)有3棵的？

師：種的棵數(shù)跟哪些信息有關(guān)？

生1：與全長(zhǎng)有關(guān)。

生2：跟每隔幾米種一棵有關(guān)。

師：數(shù)學(xué)上把它稱(chēng)為間距，表示每?jī)煽脴?shù)之間的距離。同樣的總長(zhǎng)度，同樣的間距，為什么棵數(shù)不同呢？

滲透模型思想首先要培養(yǎng)學(xué)生初步的模型意識(shí)。面對(duì)生活中的實(shí)際問(wèn)題，能剝離其非數(shù)學(xué)信息，抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)構(gòu)及特征，初步感知并建立模型，是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的前提?！爸矘?shù)問(wèn)題”是相對(duì)獨(dú)立的專(zhuān)題性知識(shí)，特征明顯，模型清晰，學(xué)生自主建模難度不大。教材的編排順序是先基本再變式，充分考慮了學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，由易到難，螺旋上升。針對(duì)如何讓數(shù)學(xué)問(wèn)題更接近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，讓每個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)“自己的數(shù)學(xué)”并順利建構(gòu)這一問(wèn)題，課例選擇了整體呈現(xiàn)，將三種情境通過(guò)一個(gè)常見(jiàn)的、開(kāi)放式的生活問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主抽象出數(shù)學(xué)信息，發(fā)現(xiàn)“棵數(shù)”都是與“總長(zhǎng)度”“間距”等有關(guān)，從而初步感知“植樹(shù)問(wèn)題”的整體模型，猜想“同樣的長(zhǎng)度、同樣的間距為什么種植的棵數(shù)不同？”初步感知植樹(shù)問(wèn)題的三種基本模型。

二、在自主探究中構(gòu)建模型，掌握建模方法

在教學(xué)中，為學(xué)生提供豐富的探究材料，讓他們主動(dòng)地參與到課堂教學(xué)中，經(jīng)歷操作、觀察、對(duì)比、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)過(guò)程。在探究活動(dòng)中，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，由淺入深，由外到內(nèi)，引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)地對(duì)信息進(jìn)行加工與整理，最后進(jìn)行判斷與歸納，逐步將數(shù)學(xué)問(wèn)題模型化。這樣才能讓知識(shí)在頭腦中完整地構(gòu)建，建模思想也不斷得到滲透。

師：在一條長(zhǎng)20米的小路上，每隔5米種一棵，要種多少棵？請(qǐng)你當(dāng)一個(gè)小小設(shè)計(jì)師，用自己喜歡的辦法設(shè)計(jì)出植樹(shù)方案，完成后可以與你的同桌交流。

生1：我是這樣想的，用畫(huà)圖的方法，20里面有4個(gè)5，發(fā)現(xiàn)要種5棵樹(shù)。

生2：我也認(rèn)為是5棵，但我是用算式來(lái)計(jì)算的：20÷5=4（個(gè)），4+1=5（棵）。

生3：每隔5米種一棵，一個(gè)間隔對(duì)應(yīng)一棵樹(shù)，發(fā)現(xiàn)有4個(gè)間隔，4棵樹(shù)，最后還多了一棵樹(shù)，所以還要再加1。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，不同的學(xué)生學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)，不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。面對(duì)同樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法來(lái)解決問(wèn)題，如擺一擺、畫(huà)一畫(huà)、算一算等，充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程，這也是學(xué)生真實(shí)的課堂生成。荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴(lài)登塔爾說(shuō)過(guò)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法就是“實(shí)行再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生把要學(xué)的東西自己發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)。學(xué)生不同的解決方法，都是基于對(duì)問(wèn)題模型的初步感知，教師的任務(wù)就是順應(yīng)學(xué)生的思路“往下走”，幫助他們進(jìn)一步順利建構(gòu)模型。

師：這幾個(gè)同學(xué)真了不起！不但得數(shù)統(tǒng)一，而且想法各不相同！他們長(zhǎng)大了不但能當(dāng)設(shè)計(jì)師，還能當(dāng)數(shù)學(xué)家！在這么多種方法里，你更喜歡哪一種呢？為什么？

生1：我喜歡第一種。這種方法比較簡(jiǎn)單，一看就知道。

生2：我喜歡第二種。因?yàn)榈谝环N方法太麻煩了，還要畫(huà)圖，第二種算一下就好了，比較簡(jiǎn)單。

師：你覺(jué)得算簡(jiǎn)單，他覺(jué)得畫(huà)一下也很簡(jiǎn)單，是不是？有沒(méi)有選擇第三種的？

生3：第三種也要畫(huà)，也麻煩。

生4：我也認(rèn)為第二種比較好。這里是20米，如果是100米呢？難道你也畫(huà)？

師（把目光轉(zhuǎn)向生1）：你有什么想說(shuō)的？如果100米呢？1000米呢？你還能畫(huà)嗎？（生1 不語(yǔ)）

生5：我認(rèn)為兩種方法都好。當(dāng)數(shù)量大的時(shí)候，畫(huà)的方法比較麻煩;但是數(shù)量小的時(shí)候，比如10米長(zhǎng)，那畫(huà)一畫(huà)的方法更簡(jiǎn)單。

師：你還會(huì)根據(jù)不同的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，選用不同的方法，更合理，更簡(jiǎn)便，真棒！那么算式最后的“+1”表示什么？

生6：表示從頭到尾的最后一棵樹(shù)或者從尾到頭的第一棵樹(shù)。這里的每一段都表示一棵樹(shù)，所以最后剩下一棵樹(shù)。

生7：因?yàn)閮啥硕挤N，棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。

在用不同的方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生比一比：你更喜歡哪一種方法？為什么？從而引導(dǎo)學(xué)生用解決數(shù)學(xué)的一般方法——列式計(jì)算。算法優(yōu)化的過(guò)程，實(shí)際也是一種數(shù)學(xué)歸納的過(guò)程，由直觀到抽象，由千變?nèi)f化的情境歸納到統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型中去，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中感受建模的意義，并在一步步的探究中掌握構(gòu)建模型的基本方法。

然后教師話(huà)鋒一轉(zhuǎn)，引導(dǎo)到了教學(xué)關(guān)鍵之處：怎樣理解“+1”？這是本課的重點(diǎn)所在，也是學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)，更是教師施教的關(guān)鍵之處。

師：一定要“+1”嗎？有沒(méi)有不“+1”的？

生1：老師，我不但不“+1”，我還“-1”！

師（故作詫異地）：真的？可能嗎？

生2：有可能。如果小路的兩邊都有房子，這樣兩端都不用種了，這時(shí)候只要種3棵就夠了。

師：你們明白他的意思嗎？是3棵嗎？

生2：是的。剛才我們已經(jīng)知道兩端都種的情況下需要種5棵，現(xiàn)在兩端都被房子占了，也就是少種2棵，就是5-2=3（棵），所以?xún)啥硕疾环N只要種3棵就可以了。

師：還可以用我們剛才學(xué)的知識(shí)來(lái)解決新的問(wèn)題，你真會(huì)學(xué)以致用。

生3：我是這樣想的，兩端都不種的情況棵數(shù)要比間隔數(shù)少1，所以20÷5=4（個(gè)），4-1=3（棵）。

師：看來(lái)剛才那位同學(xué)說(shuō)的“-1”也是有道理的。

生4：老師，那我也可以一端有房子，一端沒(méi)有房子，這樣就可以不加不減，間隔數(shù)剛好等于棵數(shù)。

在重點(diǎn)研究了“兩端都種”基本模型，理解“+1”的本質(zhì)之后，教師緊接著引導(dǎo)學(xué)生思考能不能“-1”或者“不加不減”。在基本模型的基礎(chǔ)上探究模型的另外兩種變式，從基本模型的規(guī)律中推理出變式模型的規(guī)律，不僅建構(gòu)起清晰的數(shù)學(xué)模型，而且在不知不覺(jué)中將這三種模型建立起聯(lián)系，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到其實(shí)“兩端都不種”和“只種一端”就是“兩端都種”的特殊情況，從而理解植樹(shù)問(wèn)題模型的本質(zhì)。

師：現(xiàn)在再來(lái)看剛才的問(wèn)題，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：感覺(jué)老師故意下了個(gè)套。

（師生大笑）

師：說(shuō)得好！這個(gè)套在哪里？

生：沒(méi)有說(shuō)明是哪種類(lèi)型。

師：能不能用數(shù)學(xué)的眼光看看這三種類(lèi)型有什么區(qū)別和聯(lián)系？

生1：它們相同的地方都有20÷5=4（個(gè)），都要先求出間隔數(shù)。

生2：類(lèi)型不同，要種的棵數(shù)也不同，如果兩端都種，棵數(shù)=間隔數(shù)+1;如果一端種一端不種，棵數(shù)=間隔數(shù);如果兩端都不種，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

比較三種模型，也就是找到它們之間的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，讓學(xué)生自主尋找其中的規(guī)律，把握植樹(shù)問(wèn)題的本質(zhì)都是總長(zhǎng)度÷間距，不同點(diǎn)就是起點(diǎn)與終點(diǎn)的情況，對(duì)應(yīng)的算法就是+1、-1或者不加不減，在對(duì)比、匯報(bào)、交流、總結(jié)中完成從具體的現(xiàn)實(shí)植樹(shù)情境到抽象的數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)變，自主構(gòu)建出屬于自己的數(shù)學(xué)模型。

三、 在生活中應(yīng)用模型，感受模型價(jià)值

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出，教師應(yīng)該充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，指導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活中去，以體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值。在學(xué)習(xí)植樹(shù)問(wèn)題后，讓學(xué)生把構(gòu)建好的模型應(yīng)用到生活中的站牌設(shè)置、鋸木頭、爬樓梯、敲鐘等具有現(xiàn)實(shí)意義的題目中去，促進(jìn)學(xué)生展開(kāi)多方面、多角度的思考。在應(yīng)用模型的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)這類(lèi)題目的共同之處。這樣的運(yùn)用不僅可以鞏固學(xué)生對(duì)“植樹(shù)問(wèn)題”這一模型的理解，而且能讓學(xué)生深刻感受到模型的魅力和價(jià)值。

師：只要有一雙善于觀察的眼睛，你會(huì)發(fā)現(xiàn)在我們的生活中還有很多類(lèi)似的問(wèn)題。比如：我們每天都要爬的樓梯中也藏著植樹(shù)問(wèn)題呢，你能找出它嗎？學(xué)校教學(xué)樓每層樓梯有24個(gè)臺(tái)階，老師從一樓開(kāi)始一共走了72個(gè)臺(tái)階。老師走到了第幾層？

師：思考一下，這是植樹(shù)問(wèn)題里的哪一種情況呢？

生：兩端都種，72÷24=3（個(gè)），經(jīng)過(guò)了3個(gè)間隔，應(yīng)該爬到了第四層。

師：再看看鋸木頭又是什么類(lèi)型。一根木頭長(zhǎng)10米，要把它平均分成5段。每鋸下一段需要8分鐘，鋸?fù)暌还惨ǘ嗌俜昼姡?/p>

生1：鋸木頭應(yīng)該是兩端都不種，因?yàn)槟绢^的兩端都不用鋸。

生2：分成5段，有5個(gè)間隔，那么只要鋸4次，每次8分鐘，需要32分鐘。

師：你能舉幾個(gè)生活中應(yīng)用植樹(shù)問(wèn)題的例子嗎？

……

師：是啊，在現(xiàn)實(shí)生活中，植樹(shù)問(wèn)題有著豐富的應(yīng)用，比如：裝路燈、剪繩子、敲鐘等。我們要運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光找到它們的“總長(zhǎng)度”和“間隔”，這樣所有的問(wèn)題就可以迎刃而解了。

模型思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，實(shí)際上就是對(duì)一系列數(shù)學(xué)模型的理解、掌握和應(yīng)用的過(guò)程。在教學(xué)中，只有適當(dāng)滲透模型思想，幫助學(xué)生將實(shí)際生活中的問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷感知模型、理解模型并應(yīng)用模型的過(guò)程，才能更好地感受到數(shù)學(xué)的生命力，不斷地提升學(xué)生的思維水平。