袁屹杰，紀(jì) 明，張衛(wèi)國，王 譚

（西安應(yīng)用光學(xué)研究所，陜西 西安 710065）

1 引言

由正、負(fù)剛度效應(yīng)器件并聯(lián)構(gòu)成的隔振器，是HSLDS隔振器的主要形式，其中負(fù)剛度效應(yīng)器件是決定隔振非線性的關(guān)鍵因素，為了獲得更好的隔振性能，已發(fā)展出種類豐富的負(fù)剛度構(gòu)型[1-5]。相關(guān)研究[5-6]表明，合理地增加隔振器非線性調(diào)節(jié)參數(shù)，可以較靈活地改善隔振性能。但在工程應(yīng)用中，較豐富的調(diào)節(jié)參數(shù)，通常會(huì)增加設(shè)計(jì)難度：各參數(shù)間需要進(jìn)行匹配優(yōu)化，否則可能導(dǎo)致相反的結(jié)果。現(xiàn)有的研究多數(shù)僅從理論層面分析隔振器相關(guān)參數(shù)單獨(dú)對(duì)隔振性能的影響關(guān)系，文獻(xiàn)[7]將遺傳算法引入到準(zhǔn)零剛度隔振器優(yōu)化設(shè)計(jì)中，以剛度非線性作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，對(duì)隔振器的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行整體優(yōu)化，取得了較好的效果。但仍存在一定局限性，如：針對(duì)非線性參數(shù)的單目標(biāo)優(yōu)化方法，無法滿足非準(zhǔn)零剛度狀態(tài)的HSLDS隔振器優(yōu)化應(yīng)用需求；同時(shí)，在工程優(yōu)化設(shè)計(jì)中，受結(jié)構(gòu)、材料參數(shù)限制及彈性器件規(guī)格不連續(xù)的影響，容易導(dǎo)致種群目標(biāo)空間分布不均勻，采用經(jīng)典遺傳算法，存在局部目標(biāo)空間搜索效率低下的問題。

針對(duì)提升非線性隔振性能并實(shí)現(xiàn)工程優(yōu)化設(shè)計(jì)的需求，基于一種非線性調(diào)節(jié)能力較強(qiáng)且結(jié)構(gòu)相對(duì)緊湊的菱形連桿負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，提出了具體的HSLDS隔振器實(shí)現(xiàn)方案，并提出了以隔振性能與負(fù)剛度機(jī)構(gòu)質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)的多參數(shù)優(yōu)化模型，將不連續(xù)因素納入優(yōu)化分析中。采用目標(biāo)空間分區(qū)域搜索的NSGA-Ⅱ多目標(biāo)遺傳算法，獲得隔振器參數(shù)Pareto最優(yōu)解集；利用仿真方法對(duì)參數(shù)選擇進(jìn)行分析，并采用實(shí)物樣機(jī)對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。為菱形HSLDS隔振器工程優(yōu)化、應(yīng)用探索一條可行的技術(shù)途徑。

2 隔振器分析建模

2.1 隔振器模型

菱形HSLDS隔振器方案，如圖1所示。包含四個(gè)菱形負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，每個(gè)菱形負(fù)剛度機(jī)構(gòu)由兩組菱形連桿通過四根軸并聯(lián)組成，各鉸接軸處均可以靈活轉(zhuǎn)動(dòng)，其中，一組呈對(duì)角關(guān)系的鉸接軸分別連接振動(dòng)基座與隔振平臺(tái)，另一組鉸接軸分別連接拉簧的兩端，拉簧處于拉伸狀態(tài)時(shí)，菱形連桿機(jī)構(gòu)具備負(fù)剛度特性。

圖1 菱形HSLDS隔振器模型Fig.1 Rhombus HSLDS-VI Model

菱形HSLDS隔振器原理圖，如圖2所示。以振動(dòng)基座與隔振平臺(tái)間負(fù)剛度機(jī)構(gòu)支點(diǎn)的水平距離L為基準(zhǔn)尺寸，令：----AB=ɑL、----BC=bL、H=hL；H=0時(shí)，隔振器處于平衡位置，此時(shí)拉簧拉伸量為C=cL。為簡(jiǎn)化分析，令ɑ≥b。主隔振器的剛度為Kp=K，阻尼系數(shù)為Cp；拉簧的剛度為Kn=eK。

圖2 隔振器原理圖Fig.2 Illustrative Diagram of Isolator

令拉簧對(duì)B點(diǎn)的力為f，則沿----AC方向產(chǎn)生的合力F為：

式中：f0—拉簧的初始拉力。

F在振動(dòng)方向的作用力為：

聯(lián)立式（1）、式（3）、式（4），得到菱形負(fù)剛度機(jī)構(gòu)沿平臺(tái)振動(dòng)方向的彈性力，結(jié)合主隔振器彈性力因素，隔振裝置的等效彈性力為：

2.2 優(yōu)化評(píng)價(jià)參數(shù)

忽略拉簧阻尼影響，菱形HSLDS隔振器的等效剛度與主隔振器阻尼是影響隔振性能的主要因素，其中，等效剛度包含兩個(gè)影響參數(shù)。

其一是零位剛度，零位剛度為隔振器等效無量綱剛度的最小值，隔振器主要工作于平衡位置、即零位剛度附近區(qū)域，零位剛度很大程度上決定著隔振器的隔振性能。一般情況下，零位剛度越小，隔振性能越好。

依據(jù)幾何關(guān)系，平衡位置處負(fù)剛度機(jī)構(gòu)拉簧的變形量C0滿足式（7）。

式中：sprcon—拉簧有效段兩端與鉸接軸間連接段的長度；n—拉簧有效段的圈數(shù)；d—拉簧的線徑。

由式（6）與式（7）可得：

此外，還需要考慮剛度非線性因素對(duì)隔振的影響，如圖3所示。雖然剛度曲線1與曲線2的零位剛度一致，當(dāng)振動(dòng)相對(duì)位移h超過一定范圍時(shí)，曲線1對(duì)應(yīng)的剛度數(shù)值將超過曲線2所對(duì)應(yīng)的剛度。因此，需將剛度的非線性也作為隔振性能評(píng)價(jià)參數(shù)。

圖3 隔振性能評(píng)價(jià)參數(shù)示意圖Fig.3 Diagram of Vibration Isolation Performance Evaluation Parameters

目前，還沒有廣泛采用的剛度非線性量化評(píng)價(jià)方法，文獻(xiàn)[7]將剛度小于某一數(shù)值所對(duì)應(yīng)的相對(duì)位移區(qū)間寬度作為非線性評(píng)價(jià)參數(shù)，但在實(shí)際應(yīng)用中，非線性的變化通常難以預(yù)估，導(dǎo)致參考數(shù)值的選取存在一定隨意性。由于隔振平臺(tái)的相對(duì)位移主要是在平衡位置附近區(qū)域，而剛度曲線在平衡位置處的曲率可以較好地反映平衡位置附近區(qū)域的剛度非線性變化趨勢(shì)。因此，可采用剛度曲線在平衡位置點(diǎn)處的曲率Kc，即零位曲率，作為剛度非線性的量化評(píng)價(jià)參數(shù)。一般情況下，零位曲率Kc值越小，剛度曲線在平衡位置附近越平直，隔振性能越好。根據(jù)定義有：

除隔振性能外，HSLDS隔振器引入負(fù)剛度機(jī)構(gòu)所產(chǎn)生的額外質(zhì)量也需要納入評(píng)估范疇，特別是在一些對(duì)質(zhì)量較敏感的應(yīng)用中。菱形HSLDS隔振器的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)由連桿、軸及拉簧構(gòu)成，在參數(shù)選擇階段，可將連桿、拉簧參數(shù)作為優(yōu)化分析變量。令質(zhì)量評(píng)價(jià)參數(shù)為Sf：

式中：η—連桿質(zhì)量因子；d、D、n、ρ—拉簧的線徑、直徑、有效圈數(shù)及材料密度。

3 優(yōu)化分析算法

菱形HSLDS隔振器優(yōu)化模型涉及三個(gè)優(yōu)化量，需采用多目標(biāo)遺傳算法（MOGA）進(jìn)行優(yōu)化。NSGA-Ⅱ算法[8]采用快速非支配排序與擁擠度排序算法，將父代與子代合并處理，保留了所有精英個(gè)體，具備較高的優(yōu)化效率，是目前廣泛應(yīng)用的MOGA算法。

在優(yōu)化分析中，為使分析貼近工程應(yīng)用，設(shè)定負(fù)剛度機(jī)構(gòu)拉簧的線徑d與直徑D參數(shù)符合標(biāo)準(zhǔn)[9]。由于拉簧參數(shù)不連續(xù)，同時(shí)受幾何參數(shù)以及材料極限應(yīng)力限制，有效參數(shù)的分布并不是連續(xù)、均勻的。經(jīng)典NSGA-Ⅱ算法的下一代個(gè)體選擇機(jī)制，并未考慮級(jí)別靠前的非支配層中精英個(gè)體分布的均勻性，若直接應(yīng)用于本分析，將導(dǎo)致Pareto前沿搜索效率存在顯著的區(qū)域性差異。針對(duì)此問題，采用文獻(xiàn)[10]提出的目標(biāo)空間分區(qū)域優(yōu)化、搜索策略，即將目標(biāo)區(qū)域分為若干個(gè)子區(qū)域，每個(gè)子區(qū)域單獨(dú)地進(jìn)行遺傳運(yùn)算，確保目標(biāo)空間各區(qū)域獲得相似的搜索效率。

3.1 區(qū)間劃分方法

菱形HSLDS隔振器Pareto最優(yōu)解在目標(biāo)空間中分布并不具備對(duì)稱屬性，文獻(xiàn)[10]中所介紹的超球面分區(qū)方法，難以較均勻地分割解的分布空間?？紤]到三個(gè)目標(biāo)函數(shù)的關(guān)重差異性，可以采用降維的分區(qū)方法：以表征隔振性能的兩維數(shù)據(jù)進(jìn)行目標(biāo)空間劃分，如圖4所示。在一個(gè)空間象限中，依據(jù)角度，i等分歸一化數(shù)據(jù)所構(gòu)成的平面象限，并以平面角度將空間象限等分為i個(gè)子空間：Q1～Qi。子空間數(shù)目可根據(jù)數(shù)據(jù)分布情況確定，本應(yīng)用中選用6子空間劃分。

圖4 目標(biāo)空間分區(qū)示意圖Fig.4 Diagram of Object Space Partition

3.2 分區(qū)遺傳算法

第一步，數(shù)據(jù)初始化，設(shè)定總初始種群數(shù)N，并根據(jù)子區(qū)域數(shù)進(jìn)行等分，使每個(gè)子區(qū)域內(nèi)的種群個(gè)體數(shù)目一致。

第二步，每個(gè)子區(qū)域種群內(nèi)部進(jìn)行交叉、變異；對(duì)每個(gè)子區(qū)域i，隨機(jī)產(chǎn)生數(shù)量為當(dāng)前子種群數(shù)ni的20%的全局新個(gè)體，并隨機(jī)挑選子區(qū)域i內(nèi)的個(gè)體，與新產(chǎn)生的全局個(gè)體進(jìn)行交叉處理。

第三步，對(duì)所有新產(chǎn)生的個(gè)體進(jìn)行分區(qū)，與各子區(qū)域原有的個(gè)體合并，組成新的子區(qū)域種群。

第四步，對(duì)各子區(qū)域種群分別進(jìn)行非支配排序，挑選優(yōu)秀個(gè)體作為下一代種群個(gè)體。挑選一下代個(gè)體過程中，存在三種情況：

（1）子區(qū)域中的非支配個(gè)體數(shù)小于子區(qū)域初始個(gè)體數(shù)。

（2）子區(qū)域中的非支配個(gè)體數(shù)不小于子區(qū)域初始個(gè)體數(shù)，且第一級(jí)非支配層個(gè)體數(shù)不大于子區(qū)域初始個(gè)體數(shù)。

（3）子區(qū)域中第一級(jí)非支配層個(gè)體數(shù)大于子區(qū)域初始個(gè)體數(shù)。

①第1種情況，多出現(xiàn)于初始階段計(jì)算中，處理方法是：隨機(jī)產(chǎn)生新個(gè)體，保證該子區(qū)域內(nèi)的有效個(gè)體數(shù)不少于初始個(gè)體數(shù)。

②第2種情況，處理方法與經(jīng)典NSGA-Ⅱ算法一致。

③第3種情況，當(dāng)該子區(qū)域內(nèi)第一級(jí)非支配層個(gè)體數(shù)不大于2N時(shí)，保留第一級(jí)非支配層的所有個(gè)體；當(dāng)?shù)谝患?jí)非支配層個(gè)體數(shù)大于2N時(shí)，則對(duì)個(gè)體進(jìn)行擁擠度排序，挑選間距較大的2N個(gè)第一級(jí)非支配層個(gè)體進(jìn)入下一代，避免計(jì)算規(guī)模過大。

第五步，遺傳代數(shù)如未達(dá)到指定代數(shù)，轉(zhuǎn)入第二步，否則輸出當(dāng)前代數(shù)據(jù)。

算法采用實(shí)數(shù)編碼方式，交叉處理采用正態(tài)交叉算子[11]，交叉概率為0.9；變異處理采用多項(xiàng)式變異算子[12]，變異概率為0.1。

4 優(yōu)化分析算例

某應(yīng)用，隔振負(fù)載為12kg，在該負(fù)載作用下，主隔振器的諧振頻率13Hz，隔振平臺(tái)最大相對(duì)位移≥12mm。拉簧參數(shù)選用標(biāo)準(zhǔn)[9]附例中的公式計(jì)算，設(shè)定拉簧為碳素彈簧鋼材質(zhì)，材料的切變模量G=7.9×104MPa，初始拉力f0=0。

初始方案參數(shù)，如表1所示。

表1 初始方案參數(shù)Tab.1 Initial Parameters

對(duì)上述應(yīng)用進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化分析，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，如式（11）所示。拉簧選擇標(biāo)準(zhǔn)[9]中線徑為(3～5)mm對(duì)應(yīng)的所有型號(hào)，拉簧有效段圈數(shù)n的步進(jìn)調(diào)節(jié)量為0.5圈；連桿采用鋁合金材料，根據(jù)形狀設(shè)定質(zhì)量因子η=0.7g/mm。

設(shè)定總初始種群數(shù)N=300，經(jīng)過300 代計(jì)算后得到Pareto最優(yōu)解集，如圖5所示。

圖5 Pareto最優(yōu)解圖示Fig.5 Diagram of Pareto Optimal Solutions

圖6 Par eto最優(yōu)解-Kc平面投影圖Fig.6 Pareto Optimal Solutions Projection on -Kc Plan e

5 參數(shù)選擇分析

獲得Pareto最優(yōu)解集后，需要從中選擇一個(gè)可以應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)的參數(shù)。為確定參數(shù)選擇策略，在Pareto最優(yōu)解中選取三個(gè)有代表性的參數(shù)點(diǎn)，如圖6、表2所示。其中，A點(diǎn)的及B點(diǎn)的Kc分別與初始方案對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)相等，C點(diǎn)為Pareto最優(yōu)解中最小的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

表2 Pareto最優(yōu)解數(shù)據(jù)Tab.2 Pareto Optimal Solutions Data

采用MSC.ADAMS 軟件對(duì)上述參數(shù)的隔振性能進(jìn)行分析。鑒于HSLDS隔振器的非線性特征，分析方法是：將諧波振動(dòng)施加于振動(dòng)基座，采集振幅穩(wěn)定后、一段時(shí)間內(nèi)的隔振平臺(tái)位移量值，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行均方根處理，得到隔振輸出，并以絕對(duì)位移傳遞率作為隔振性能評(píng)價(jià)參數(shù)。

設(shè)定主隔振器阻尼為0.19N.s/mm，輸入擾動(dòng)加速度幅值為1.4g，對(duì)多頻點(diǎn)進(jìn)行采樣，得到隔振器位移傳遞率圖譜，如圖7所示。諧振點(diǎn)參數(shù)，如表3所示。從中不難看出，Pareto最優(yōu)解集中A、B、C三組方案對(duì)應(yīng)的隔振性能均優(yōu)于初始方案，其中方案C，零位剛度最小，隔振優(yōu)化效果最佳，說明零位剛度在兩種隔振性能評(píng)價(jià)參數(shù)中起主導(dǎo)作用；在相同零位剛度條件下，較小的零位曲率可以獲得更好的隔振性能，方案A與初始方案參數(shù)曲線，如圖7所示。

圖7 隔振器位移傳遞率圖Fig.7 Isolator Displacement Transfer Rate Diagram

6 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)采用等效方式進(jìn)行：隔振載荷為6kg，主隔振器與有效負(fù)剛度機(jī)構(gòu)數(shù)量均縮減為2個(gè)且對(duì)稱分布，另一對(duì)不含拉簧的菱形連桿機(jī)構(gòu)，起約束運(yùn)動(dòng)、實(shí)現(xiàn)無角位移垂向隔振的作用。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，如圖8所示。加速度幅值為1.4g的掃頻曲線，如圖9所示。其中ɑ、b、c、d、e分別對(duì)應(yīng)主隔振器、初始方案、方案A、方案B以及方案C的掃頻數(shù)據(jù)，諧振點(diǎn)參數(shù)，如表3所示。

表3 諧振點(diǎn)參數(shù)Tab.3 Resonance Point Parameters

圖8 隔振實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.8 Vibration Isolation Experimental Platform

圖9 掃頻位移傳遞率曲線Fig.9 Displacement Transfer Rate Curves of Sweep Frequency Vibration

諧振頻率的實(shí)驗(yàn)與仿真數(shù)據(jù)吻合得較好。諧振頻率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)小于仿真數(shù)據(jù)是由兩部分因素導(dǎo)致的：（1）拉簧存在一定初始應(yīng)力，使實(shí)際零位剛度小于計(jì)算數(shù)據(jù)；（2）負(fù)剛度機(jī)構(gòu)質(zhì)量對(duì)隔振存在影響。初始方案至方案A、B、C的傳遞率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比仿真數(shù)據(jù)依次降低，說明隨著負(fù)剛度拉簧力的增加，負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的內(nèi)部摩擦力對(duì)隔振影響逐漸顯著，相關(guān)內(nèi)容將在后續(xù)論文中進(jìn)行討論。

7 結(jié)論

分區(qū)搜索的NSGA-Ⅱ算法，可以有效應(yīng)用于參數(shù)不連續(xù)、分布不均的多參數(shù)優(yōu)化問題，較好地獲得菱形HSLDS隔振器參數(shù)的Pareto最優(yōu)解集；采用動(dòng)力學(xué)仿真方法對(duì)最優(yōu)隔振參數(shù)的選擇進(jìn)行分析，并以實(shí)物樣機(jī)驗(yàn)證了所提方法的有效性。得出以下結(jié)論：在表征隔振性能的兩參數(shù)中，零位剛度起主導(dǎo)作用，零位剛度越小，或零位剛度一致情況時(shí)，零位曲率越小，隔振器低頻段隔振性能越好；同時(shí)，選擇較小零位剛度，可兼顧降低負(fù)剛度機(jī)構(gòu)所產(chǎn)生的附加質(zhì)量。

所提出的分析方法，不僅可應(yīng)用于菱形HSLDS隔振器設(shè)計(jì)優(yōu)化，對(duì)其他類似非線性隔振器的工程設(shè)計(jì)及優(yōu)化也較好的參考價(jià)值。