溫愛(ài)周

摘? 要：高等數(shù)學(xué)的知識(shí)大多晦澀難懂，蘊(yùn)含著較為復(fù)雜的邏輯性關(guān)系，因此在高等數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，需要運(yùn)用逆向思維。逆向思維也被稱為求異思維，指的是在進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題分析的過(guò)程中，通過(guò)反向思考的方式從不同的角度尋求問(wèn)題的答案。逆向思維打破了傳統(tǒng)的思維限制，高等數(shù)學(xué)中的許多知識(shí)點(diǎn)具有突變性和關(guān)聯(lián)性，在進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題解答的過(guò)程中，需要合理地運(yùn)用逆向思維尋求全新的解題途徑。該文主要探討了高等數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的運(yùn)用，希望能夠全面提高課堂教學(xué)成效，助力學(xué)生開(kāi)放性思維發(fā)展。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)教學(xué)? 逆向思維? 運(yùn)用分析? 開(kāi)放性思維

中圖分類號(hào)：G64? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3791（2021）05（b）-0186-03

Abstract： Most of the knowledge of advanced mathematics is obscure and contains complex logical relationship. Therefore， in the process of solving problems in advanced mathematics， we need to use reverse thinking. Reverse thinking is also known as difference thinking， which refers to seeking answers from different angles through reverse thinking in the process of analyzing mathematical problems. Reverse thinking breaks the limitation of traditional thinking. Many knowledge points in advanced mathematics have mutation and relevance. In the process of solving mathematical problems， we need to use reverse thinking reasonably to find a new way to solve problems. This paper mainly discusses the application of reverse thinking in advanced mathematics teaching， hoping to improve the effectiveness of classroom teaching and help students to think openly we need to maintain development.

Key Words： advanced mathematics teaching; Reverse thinking; Application analysis; Open mind

1? 培養(yǎng)學(xué)生逆向思維意識(shí)

逆向思維在在小學(xué)數(shù)學(xué)中就開(kāi)始使用，實(shí)際上就是逆推法，高等數(shù)學(xué)中也經(jīng)常使用，要樹(shù)立逆向思維的意識(shí)[1]。逆向思維在解題過(guò)程中的有效應(yīng)用，首先通過(guò)需要論證的結(jié)論，逐漸向問(wèn)題起始條件進(jìn)行分析，是一種逆向分析推敲的方式，通過(guò)逆向思維，能夠形成全新的解題思路，在高等數(shù)學(xué)證明題中得到了廣泛應(yīng)用。逆向思維能夠讓學(xué)生在問(wèn)題解答的過(guò)程中，從毫無(wú)關(guān)聯(lián)的問(wèn)題條件中找出解題突破口，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用逆向思維，可以提升學(xué)生的解題能力，幫助教師順利完成教學(xué)任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主動(dòng)探究的意識(shí)。正向思維是常規(guī)的思維方法，會(huì)運(yùn)用到基本概念和數(shù)學(xué)公式，由已知到結(jié)論，逆向思維則是通過(guò)反向推理的方式，學(xué)生不習(xí)慣使用，也不知道該在什么情況下使用，教師要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識(shí)，歸納總結(jié)一些用到逆向思維的類型題，尋找問(wèn)題的突破口。例如：證明某一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)就是通過(guò)逆向反證法得到的數(shù)學(xué)知識(shí)，從中可以看出逆向思維在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要性。

2? 提高學(xué)生逆向思維能力

2.1 改變學(xué)習(xí)方式

學(xué)生在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，首先要弄清楚問(wèn)題中所含有的條件、需要求的結(jié)論，進(jìn)而判斷論證結(jié)論與解題條件之間的關(guān)系，當(dāng)學(xué)生采用正向分析方法無(wú)法得到解題思路時(shí)，就需要考慮逆向思維是否可以解決，針對(duì)問(wèn)題條件進(jìn)行反向思考。學(xué)生在問(wèn)題解答的過(guò)程中遇到困難時(shí)，也可以通過(guò)逆向思維的方式反推解題條件，找出問(wèn)題解答的突破口。在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，若想有效應(yīng)用逆向思維模式，需要改變學(xué)生傳統(tǒng)的思維定式，學(xué)生也應(yīng)該在課堂上記錄教師的解題過(guò)程，通過(guò)反向思考加深對(duì)問(wèn)題的理解，從而達(dá)到培養(yǎng)自身逆向思維能力的目的。

2.2 創(chuàng)新教學(xué)模式

在高等數(shù)學(xué)問(wèn)題解答的過(guò)程中，需要分析現(xiàn)有的問(wèn)題條件，了解問(wèn)題產(chǎn)生的因果關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，當(dāng)正向思維不能解答問(wèn)題時(shí)，要運(yùn)用逆向思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度進(jìn)行問(wèn)題分析。例如：在進(jìn)行函數(shù)極限與連續(xù)問(wèn)題求解的過(guò)程中，通過(guò)教師的教學(xué)引導(dǎo)，讓學(xué)生明確函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的定義，從得到的問(wèn)題結(jié)論入手進(jìn)行思考方式的選擇，通過(guò)逆向思維讓學(xué)生明確：函數(shù)在這一點(diǎn)極限是存在且等于該點(diǎn)的函數(shù)值，極限存在又說(shuō)明了什么。通過(guò)逆向思維可以說(shuō)明函數(shù)在這一點(diǎn)左右極限是存在且相等的，所以證明函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)這一類問(wèn)題，要從求這一點(diǎn)的左右極限開(kāi)始。引導(dǎo)學(xué)生觀察分析的整個(gè)過(guò)程，厘清逆向思維的主要特點(diǎn)，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)連續(xù)性的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

2.3 改變思維習(xí)慣

隨著教育改革的不斷深入，高等數(shù)學(xué)教學(xué)需要堅(jiān)持以學(xué)生為主體，充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平、接受能力，教師積極引導(dǎo)，讓學(xué)生多角度進(jìn)行問(wèn)題思考，逐步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，就需要改變學(xué)生傳統(tǒng)的思維習(xí)慣。在進(jìn)行高等數(shù)學(xué)選擇題教學(xué)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，有些選擇題是有解題技巧的，有的學(xué)生缺乏解題思路無(wú)從下手，而好多學(xué)生會(huì)通過(guò)復(fù)雜的演算對(duì)問(wèn)題結(jié)論進(jìn)行證明找出正確答案，耗費(fèi)了大量的解題時(shí)間，而且難以保證演算結(jié)果的準(zhǔn)確性，這種古板的解題方式體現(xiàn)出了其思維習(xí)慣的不足。實(shí)際上，學(xué)生可以通過(guò)逆向思維的方式，將選擇題中給出的特殊值帶入到問(wèn)題中求解，同樣能夠得到想要的驗(yàn)證結(jié)果，節(jié)約復(fù)雜論證步驟推演的時(shí)間;而有些選擇題可以通過(guò)排除法得到正確答案，這里面也需要逆向思維。因此，教師需要改變學(xué)生的思維習(xí)慣，引導(dǎo)其靈活地運(yùn)用多樣化思維模式進(jìn)行問(wèn)題探究，并適應(yīng)逆向思維這一獨(dú)特的求解方式。

2.4 加強(qiáng)解題訓(xùn)練

教師在教學(xué)講解過(guò)程中，需要結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，選擇一些具有啟發(fā)性和探究性的逆向思考問(wèn)題，幫助學(xué)生養(yǎng)成逆向思維的習(xí)慣。在課堂上，為學(xué)生選擇一些典型逆向思維例題，教會(huì)其一些常用的方法，幫助其積累一定經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)引導(dǎo)，讓學(xué)生分別采用正面分析和逆向分析兩種思維方式進(jìn)行問(wèn)題求解。當(dāng)學(xué)生在正向分析過(guò)程中遇到困難時(shí)，教師要提出問(wèn)題引發(fā)學(xué)生思考：正向分析解題方式存在哪些弊端？為什么這個(gè)問(wèn)題運(yùn)用逆向思維更容易求出結(jié)果？學(xué)生們踴躍發(fā)言，了解逆向思維的重要性，學(xué)會(huì)用已知結(jié)論反推問(wèn)題條件得出正確答案，通過(guò)逆向思維解題法的有效應(yīng)用，讓學(xué)生將兩種解題思路進(jìn)行對(duì)比分析，看到用逆向思維解題的優(yōu)勢(shì)，從而提升學(xué)生的解題能力。

3? 教學(xué)中滲透逆向思維

在教學(xué)中，教師需要仔細(xì)分析高等數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，并將其作為教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的主要依據(jù)[2]。高等數(shù)學(xué)微積分知識(shí)結(jié)構(gòu)中的主要分析對(duì)象是初等函數(shù)，學(xué)習(xí)過(guò)程中需要運(yùn)用極限知識(shí)探索微分學(xué)和積分學(xué)領(lǐng)域，為了全面提高課堂教學(xué)成效，學(xué)生要熟練函數(shù)極限、連續(xù)等有關(guān)知識(shí)，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)要圍繞學(xué)生的學(xué)習(xí)思維方式展開(kāi)，分析微積分整體知識(shí)結(jié)構(gòu)與思維方式之間的互逆關(guān)系，為日常的知識(shí)學(xué)習(xí)帶來(lái)突破口[3]。例如：微積分知識(shí)中的導(dǎo)數(shù)和積分之間存在互逆關(guān)系，兩者作為微積分知識(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生在計(jì)算分析的過(guò)程中，通過(guò)逆運(yùn)算的形式求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)與定積分的問(wèn)題結(jié)論。再例如：一元函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)導(dǎo)數(shù)公式和定義的運(yùn)用進(jìn)行逆運(yùn)算，得到原函數(shù)和不定積分，從中可以看出導(dǎo)數(shù)與積分的知識(shí)計(jì)算呈現(xiàn)出互逆性和相對(duì)性的特點(diǎn)。高等數(shù)學(xué)中的辯證關(guān)系多種多樣，教師在進(jìn)行學(xué)生逆向思維培養(yǎng)的過(guò)程中，可以合理運(yùn)用多樣性的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，采用多元化的思維分析方式進(jìn)行問(wèn)題解答，教師在教學(xué)過(guò)程中也要有意識(shí)地滲透倒推法，特別是當(dāng)正向思維解決出現(xiàn)困難時(shí)，就需要變換思路，從結(jié)論出發(fā)往回倒推，明確需要證什么，又需要證什么，一環(huán)扣一環(huán)，直至推到已知條件上，問(wèn)題就可以得到解決，從而幫助學(xué)生深刻地了解反證法，提高解題能力。

4? 高等數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的運(yùn)用

4.1 基礎(chǔ)知識(shí)中的逆向思維

要想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中合理運(yùn)用逆向思維解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，就需要教師通過(guò)潛移默化的引導(dǎo)，全面提高學(xué)生的逆向思維能力，在高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)中運(yùn)用逆向思維更利于學(xué)生接受。教師在數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)定義、定理等知識(shí)講解的過(guò)程中，要培養(yǎng)學(xué)生逆向思維應(yīng)用意識(shí)，從不同的角度分析數(shù)學(xué)定義，判斷數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)定理中的可逆性，不定積分、導(dǎo)數(shù)等高等數(shù)學(xué)知識(shí)中逆向思維的運(yùn)用更加簡(jiǎn)便[4]。求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相對(duì)容易些，求不定積分對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度大些，求不定積分時(shí)將逆向思維和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)就容易解決。受傳統(tǒng)思維定式的影響，學(xué)生在高等數(shù)學(xué)問(wèn)題解題的過(guò)程中，會(huì)通過(guò)論證和計(jì)算等數(shù)學(xué)方法驗(yàn)證數(shù)學(xué)公式，忽視了逆向思維的重要性，教師需要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維運(yùn)用能力，開(kāi)展具有針對(duì)性的逆向思維解題訓(xùn)練，在幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，通過(guò)反正法的運(yùn)用分析基礎(chǔ)知識(shí)中的可逆性[5]。高等數(shù)學(xué)公式計(jì)算，學(xué)生會(huì)按照從左到右的驗(yàn)證順序進(jìn)行，對(duì)教師提出的逆向公式不了解，但逆向思維往往能夠取得良好的解題效果，因此要培養(yǎng)學(xué)生逆向思維分析習(xí)慣，節(jié)約解題時(shí)間、減少計(jì)算流程。高等數(shù)學(xué)教材中的一部分定理給出了逆定理，教師在教學(xué)講解的過(guò)程中，要向?qū)W生傳達(dá)逆向性分析的主要思路，引導(dǎo)學(xué)生形成逆向思維。例如：真假命題教學(xué)過(guò)程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生論證命題為何是假命題？真假命題的判別條件是什么？問(wèn)題的提出是為了讓學(xué)生主動(dòng)思考命題求證的過(guò)程中，讓學(xué)生通過(guò)逆向思維的方式進(jìn)行高等數(shù)學(xué)知識(shí)的思考。再如：在進(jìn)行多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，按照正向思維的模式，可以得出兩個(gè)多項(xiàng)式中其中一個(gè)為零，最終乘積為零的結(jié)論，學(xué)生在思考過(guò)程中運(yùn)用逆向思維的方式，可以得出兩個(gè)多項(xiàng)式積為零，則至少有一個(gè)多項(xiàng)式為零的結(jié)論，簡(jiǎn)化結(jié)論證明步驟，保證求證結(jié)果的準(zhǔn)確性。

4.2 論證方法中的逆向思維運(yùn)用

在進(jìn)行高等數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的過(guò)程中，會(huì)運(yùn)用多種論證方式，一元函數(shù)不等式證明的過(guò)程中，學(xué)生大多會(huì)采用微分算法進(jìn)行證明，但其他數(shù)學(xué)問(wèn)題求解同樣可以采用積分論證方法證明。學(xué)生在解題過(guò)程中遇到困難時(shí)，分別運(yùn)用多種思維方式進(jìn)行探究，提高論證方法的靈活性，就需要通過(guò)逆向思維的運(yùn)用，讓學(xué)生掌握逆向求解的解題技巧。解題過(guò)程中需要注重問(wèn)題證明的可逆性，在正面思維求解過(guò)程中受阻后，學(xué)生可以嘗試逆向思維的運(yùn)用。高等數(shù)學(xué)證明題中大多采用綜合論證法，從題中給出的已知條件中找出符合高等數(shù)學(xué)論證公式和定義的內(nèi)容，判斷問(wèn)題是否具有可逆性。例如：在進(jìn)行微分中值定理相關(guān)的命題證明過(guò)程中，就可以通過(guò)逆向思維的方式構(gòu)造輔助函數(shù)。

4.3 轉(zhuǎn)換證明中的逆向思維運(yùn)用

高等數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題，想要通過(guò)直接證明方式或者正向思維論證，得到想要的證明結(jié)果十分困難，因此教師需要幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，能夠自主的變換角度進(jìn)行問(wèn)題思考，嘗試采用間接證明法中的分析法、反推法進(jìn)行問(wèn)題解答，很可能發(fā)現(xiàn)忽略的問(wèn)題條件[6]。反推法在進(jìn)行命題真假判斷的過(guò)程中，需要先提出結(jié)論反面成立的假設(shè)，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行問(wèn)題引導(dǎo)，分析題中給出的已知條件，運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的公式、定理和定義，導(dǎo)出與之矛盾的結(jié)論內(nèi)容推翻假設(shè)結(jié)論，運(yùn)用全新的證明方法簡(jiǎn)化高等數(shù)學(xué)問(wèn)題處理過(guò)程;分析法的應(yīng)用需要先證明結(jié)果成立，從問(wèn)題中找出符合結(jié)果成立的條件。

4? 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，該文從基礎(chǔ)知識(shí)、論證方法、轉(zhuǎn)換證明這3個(gè)角度分析了高等數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的運(yùn)用。教師需要引導(dǎo)學(xué)生明確高等數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維運(yùn)用的重要性，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，使其了解高等數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與思維方式之間存在的互逆關(guān)系。

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