曹冠軍

【摘? ?要】聚焦問題解決過程，引導學生采用“四自評價”的學習方式，明白所要解決的問題，找到解決問題的策略，反思解決問題的結果，總結解決問題的經驗，提高學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，讓學生真正成為學習的主人，學會學習。

【關鍵詞】問題解決;四自評價;能力發(fā)展

在數(shù)學教學中教師要引導學生學會自問，學會自我評價，組織學生經歷自理、自探、自省、自悟的“四自評價”學習過程，逐漸提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

一、“理”題意

能否正確理解題意是問題解決的關鍵，教師應引導學生自問：我知道了什么？通過自我評價學會簡化、提煉題目信息，對關鍵信息展開聯(lián)想，實現(xiàn)信息的延伸。

（一）我會簡化

【案例1】分段收費

某市出租車計費方法如下：3km以內10元;超過3km的部分，1km1.5元（不足1km的按1km計算）。媽媽打出租車行駛的里程是8km，需要付多少錢？

層次一：我會用列表法和圖示法簡化題目信息（如圖1）。

層次二：基價費+超量計價費=總金額，分段收費和“部分+部分=總數(shù)”的結構相似（如圖2）。

層次三：生活中的電費、水費、停車費也會用到這樣的數(shù)學結構。

學生用直觀的數(shù)學語言來理解和表述題意，還原知識的本意，概括出數(shù)學知識的結構，實現(xiàn)實際問題與數(shù)學問題模型的轉化。

（二）我能聯(lián)想

【案例2】圓柱與圓錐的練習

一個圓柱的體積和底面積分別于一個圓錐的體積和底面積相等，圓柱的高是9cm，圓錐的高是（? ? ）。

層次一：等底等高的圓柱和圓錐體積比是3∶1，圓錐的底面積不變，體積要擴大3倍，只能高擴大3倍（如圖3）。

層次二：我能用列表法（如圖4）解題，圓柱和圓錐的體積和底面積都相等，所以我用等號把它們連接起來，假設圓柱的底面積是1cm2，通過它們的關系可以求出其他未知的量。

通過梳理，將文字轉化成圖形和表格等形式，學生就能很快厘清圖形間的數(shù)量關系，很好地將關注點由“如何通過計算去求得未知數(shù)”轉向“相關信息之間的關系分析”。這樣通過信息間的聯(lián)想，培養(yǎng)學生計算前“想圖形”的意識，發(fā)展空間觀念。

二、“探”策略

學生理解題意后，教師應引導學生自問：我會怎么解答？通過自我評價把題目中的關系用線段圖等可視化工具表征出來，把內隱的關系外顯化，厘清數(shù)量關系。

（一）我會用圖示表征

【案例3】小數(shù)加減法

有一筐蘋果，連筐重76千克，賣出一半后，連筐重38.8千克，原來蘋果和筐各重多少千克？

層次一：我知道76÷2表示什么。把一筐蘋果“劈”成兩半，76÷2表示半筐蘋果和半個筐的重量之和（如圖5）。

層次二：我會用圖示表征找到其中的數(shù)量關系（如圖6），我發(fā)現(xiàn)賣出的蘋果是原來蘋果的一半，剩下的蘋果也是原來的一半，賣出的蘋果的數(shù)量等于剩下的蘋果的數(shù)量。

層次三：我能借助圖式的有序變化發(fā)現(xiàn)新的數(shù)量關系，比較兩個數(shù)量關系，通過相互抵消求出另一個量（如圖7）。

層次四：我會創(chuàng)編題目（如圖8），倒出前后的質量差就是倒出的幾份，可以求出倒出的一份是多少。

學生通過自探，分析產生錯誤的原因，強化對單位“1”的理解。借助直觀圖式，厘清數(shù)量關系，從具體形象思維慢慢向抽象邏輯思維發(fā)展。

（二）我能多元表征

【案例4】分數(shù)乘法的意義

3/4×1/3表示什么意思？

各層次表述如表1所示。

矩形圖、線段圖是常見的數(shù)量關系多元化的表征方法，教師需要引導學生圍繞相關概念的本質，對不同的表征進行合理、科學的分類和歸納，實現(xiàn)深度學習。

三、省“結果”

學生解決問題后，教師應引導學生自問：我解答得正確嗎？通過自我評價不斷強化學生自我檢驗和反思的能力，從而積累大量的學習經驗，逐漸形成嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。

（一）我會一題多解

【案例5】組合圖形的面積

老師計劃在客廳（如圖9）鋪地板。請幫老師計算需要多少平方米的地板。

層次一：我知道求組合圖形面積的一般方法——割和補。我能找到轉化后圖形的條件，并利用面積公式求出其面積（如圖10）。

層次二：我還能利用倍積變形方法來求組合圖形的面積（如圖11）。

層次三：我能利用分割后兩個圖形的寬相等，把兩個圖形轉化成一個大長方形（如圖12）。

學生通過自省，不僅能夠檢驗答案的合理性，也可以發(fā)現(xiàn)解題策略的多樣性。學生不僅掌握了求組合圖形面積一般的方法，還想到了倍積變形，充分利用條件，進行轉化。最后完成對思路的整合：不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形。

（二）我能解釋答案

【案例6】用字母表示數(shù)

三個連續(xù)的自然數(shù)，最小的是N，最大的是（? ? ），這三個數(shù)的和是（? ? ），它們的平均數(shù)是（? ? ）。

第三個填空學生利用平均數(shù)=總數(shù)÷個數(shù)，列出了算式（3N+3）÷3，教師引導學生自問：還能繼續(xù)化簡（3N+3）÷3嗎？

層次一：我能夠利用圖示法，移多補少，求平均數(shù)（如圖13）。

層次二：我把3N和3看作兩部分：字母和數(shù)字，結合圖式，先把3N平均分成3份是N，再把3平均分成3份是1（如圖14）。

層次三：結合圖式，3N+3相當于3個N+1，相當于利用乘法分配律提取公因數(shù)3（如圖15）。

學生能夠借助求平均數(shù)最原始的方法——移多補少，直觀形象地展示出結果，借助圖示表征，把抽象的數(shù)學知識、運算定律和直觀的圖形結合起來，實現(xiàn)多角度分析數(shù)學知識，從不同層次進行數(shù)學理解，驗證結果的合理性。

四、“悟”思想

學生解決問題后，教師應引導學生自問：我解決了什么問題？幫助學生認識到知識背后的數(shù)學實質，感悟知識所蘊含的數(shù)學思想和方法，讓知識變薄，讓思維變厚。

（一）我會舉三反一

【案例7】列方程解決問題（如圖16）

層次一：我可以將①②題轉化成類似④⑤題中的矩形圖和線段圖來進行表征。

層次二：我把①②④⑤歸為一類，可以用ax+bx=c的模型表示，x表示a和b兩者之間相同的量。

層次三：我認為它們的數(shù)量關系都是“部分+部分=總量”，可以用ax+by=c的模型表示，只是有些x和y相等，有些x和y不相等。

學生通過自悟，加強知識和方法間的聯(lián)系，將知識和方法進行分類，實現(xiàn)知識和方法整體性的建構，完成了從特殊到一般模型ax+by=c的歸一，很好地揭示了知識的本質，有效地鍛煉了學生整體把握知識和方法的能力。

（二）我能舉一反三

【案例8】組合

甲、乙、丙、丁四人進行乒乓球比賽，每兩人之間只比一場，一共要進行多少場比賽？

層次一：我能用連線、枚舉、搭配等方法（如圖17）計算出3+2+1=6（場），發(fā)現(xiàn)總場次數(shù)等于每人比的場次數(shù)依次連加（如表2）。

層次二：如果有32人進行比賽，計算過于麻煩。用表格法記錄比賽場次（如表3），我發(fā)現(xiàn)其中有一半是重復的，所以4×3÷2=6（場），我可以歸納出簡潔的方法：總場次=人數(shù)×場次÷2（如表4），4個量中只要知道其中1個量就能推導出其他3個量。

層次三：這個規(guī)律與打電話問題、握手問題以及“圖形與幾何”中有幾個頂點可以連幾條線的現(xiàn)象是一樣的（如圖18）。

層次四：數(shù)線段、數(shù)角、等差數(shù)列等問題也可以用這種方法解決（如圖19）。

鏈接1：數(shù)線段問題? 鏈接2：排列問題? 鏈接3：等差數(shù)列

借助“同構關系”的算式，讓隱性的計算方法顯性化。借助直觀的列表法，通過觀察、分析，歸納出簡潔的方法：總場次=人數(shù)×場次÷2，并發(fā)現(xiàn)4個量之間的關系，深化對規(guī)律的理解。激活鏈接，體會知識方法、策略中的不變，實現(xiàn)舊認知到新認知的自然貫通，幫助學生及時總結學習經驗。

總之，在問題解決的過程中，教師要培養(yǎng)學生自主學習的能力，引導學生學會自問，學會自我評價自己的思維過程和結果，及時地進行反思和總結，不斷地提高數(shù)學素養(yǎng)。學生學會自問、學會自我評價是一個循序漸進的過程，只要教師在教學中足夠重視，并不斷地總結經驗，完善策略，學生自主學習的能力一定會得到長足的發(fā)展。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)臨江新城實驗小學? ?311200）