華志遠(yuǎn)

摘要：數(shù)學(xué)文化校本選修課，可以選擇承載較多數(shù)學(xué)文化的知識(shí)內(nèi)容（課題），與新授課同步，讓學(xué)生及時(shí)了解相關(guān)的數(shù)學(xué)史，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與社會(huì)、生產(chǎn)、生活的聯(lián)系，從而理解相關(guān)內(nèi)容在數(shù)學(xué)以及人類文化中的地位和作用;通過一些經(jīng)典案例中問題的解決，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的價(jià)值;通過相關(guān)人物事跡的了解，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的迂回曲折，感受數(shù)學(xué)家的探索精神以及理性思維的重要價(jià)值。以《函數(shù)與數(shù)學(xué)文化》一課為例，呈現(xiàn)其基本樣態(tài)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化;校本課程;教學(xué)樣態(tài);函數(shù)

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度重點(diǎn)資助課題“以高中數(shù)學(xué)為主導(dǎo)的跨學(xué)科教學(xué)研究”（編號(hào)：Ba/2020/02/47）的階段性研究成果?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在“課程結(jié)構(gòu)”中提出“數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容”，并說明“數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)”。

為了更好地在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，我校自2019年起，主要面向高一學(xué)生，開設(shè)數(shù)學(xué)文化校本選修課：選擇承載較多數(shù)學(xué)文化的知識(shí)內(nèi)容（課題），與新授課同步，讓學(xué)生及時(shí)了解相關(guān)的數(shù)學(xué)史，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與社會(huì)、生產(chǎn)、生活的聯(lián)系，從而理解相關(guān)內(nèi)容在數(shù)學(xué)以及人類文化中的地位和作用;通過一些經(jīng)典案例中問題的解決，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的價(jià)值;通過相關(guān)人物事跡的了解，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的迂回曲折，感受數(shù)學(xué)家的探索精神以及理性思維的重要價(jià)值。

下面以《函數(shù)與數(shù)學(xué)文化》一課為例，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)文化校本選修課的基本樣態(tài)。

一、解決現(xiàn)實(shí)問題，引出知識(shí)主題

因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)在新授課上學(xué)過相關(guān)知識(shí)，所以數(shù)學(xué)文化選修課的一開始，可以通過現(xiàn)實(shí)問題引出本節(jié)課的知識(shí)主題?，F(xiàn)實(shí)問題能讓學(xué)生感受到知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)能讓以歷史文化為主的課堂獲得現(xiàn)代感，實(shí)現(xiàn)歷史與現(xiàn)實(shí)的交融。

《函數(shù)與數(shù)學(xué)文化》一課，筆者首先通過兩個(gè)現(xiàn)實(shí)問題，讓學(xué)生感知函數(shù)模型的實(shí)際存在與現(xiàn)實(shí)應(yīng)用。這兩個(gè)問題中的函數(shù)關(guān)系分別可以與不可以用解析式表示，能讓學(xué)生充分體會(huì)函數(shù)的本質(zhì)是兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

【教學(xué)片段1】

（教師出示問題1：“學(xué)校游泳池長(zhǎng)50米、寬21米，使用時(shí)水深1.8米以上。上課時(shí)，當(dāng)我們問管理老師游泳池蓄水多少時(shí)，為什么他只要看一下水面的高度，就能報(bào)出蓄水量？”）

生因?yàn)橛斡境匦钏縴是關(guān)于水深 h的函數(shù)。

師你能將該函數(shù)表示出來嗎？

生y=50×21×h，即y=1050h，h>0。

師實(shí)際問題要注意單位。

生y的單位是立方米，h的單位是米。

（教師出示問題2：“如果今天記作第一天，第n天走路的步數(shù)記為y，則y是否為關(guān)于n的函數(shù)？如果是，如何表示？”）

生第n天走路的步數(shù)是確定的，故y是關(guān)于n的函數(shù)。一般來說，這一函數(shù)很難用解析式表示，而可以用列表法或圖像法表示。

師函數(shù)模型可以描述兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，常用解析式、列表法和圖像法來表示。本節(jié)課，讓我們穿越時(shí)空隧道，經(jīng)歷函數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展之旅，領(lǐng)略數(shù)學(xué)家、科學(xué)家們的勵(lì)志故事，探索函數(shù)概念的本質(zhì)，體驗(yàn)函數(shù)在社會(huì)、生產(chǎn)、生活以及科學(xué)技術(shù)中的廣泛應(yīng)用，了解函數(shù)對(duì)我們今后的學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生的影響。

二、選取典型材料，體現(xiàn)歷史脈絡(luò)

數(shù)學(xué)文化選修課的教學(xué)要讓學(xué)生了解有關(guān)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的歷史。為此，可以梳理、重構(gòu)歷史過程，選取典型的背景材料，體現(xiàn)歷史的大致脈絡(luò);同時(shí)，可以設(shè)計(jì)有關(guān)問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，提升學(xué)生的參與度，幫助學(xué)生充分理解歷史背景，感受文化底蘊(yùn)。

《函數(shù)與數(shù)學(xué)文化》一課，筆者通過四段典型的背景材料，帶領(lǐng)學(xué)生回到第一次工業(yè)革命時(shí)代，經(jīng)歷函數(shù)形態(tài)從曲線、一個(gè)解析式到多個(gè)解析式、對(duì)應(yīng)關(guān)系的發(fā)展過程，深刻體驗(yàn)函數(shù)概念不斷抽象和升華的發(fā)展過程，并且領(lǐng)悟數(shù)學(xué)應(yīng)用是推動(dòng)函數(shù)概念內(nèi)涵和外延發(fā)展的原動(dòng)力，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合、對(duì)應(yīng)等是形成函數(shù)概念的核心思想。

【教學(xué)片段2】

（教師出示背景材料1：“隨著工業(yè)的發(fā)展，到了17世紀(jì)，為了尋找原料、尋求通商，歐洲人已經(jīng)從事大規(guī)模、長(zhǎng)距離的航海。在沒有GPS導(dǎo)航的年代，航海家們?cè)诿Ｃ４蠛Ｖ锌床坏饺魏螛?biāo)識(shí)，只能通過觀測(cè)日月星辰來判斷位置，從而決定航向。這需要更精確地測(cè)定經(jīng)緯度、測(cè)量時(shí)間，而現(xiàn)在的經(jīng)典幾何和代數(shù)很難解決當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)和自然科學(xué)提出的眾多新問題?！比缓蟪鍪締栴}3：“在地圖上，如何表示出東偏南60°且離港口100海里的船只？在數(shù)學(xué)上，如何研究船只航行時(shí)形成的曲線？”）

生將港口抽象為坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)地圖上約定的“上北下南，左西右東”，以正東為x軸正方向、正北為y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則船只的位置可看成從原點(diǎn)出發(fā)、在第四象限、與x軸正半軸夾角為60°的射線上的點(diǎn)，于是可用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（坐標(biāo)）來表示，船只航行時(shí)形成的曲線可用一個(gè)二元方程來表示。

師很好！同學(xué)們用坐標(biāo)，即解析幾何的思想描述了這一幾何問題。其實(shí)，一般來說，如果將二元方程寫成用一元（一個(gè)變量）表示另一元（另一個(gè)變量）的形式，就得到了函數(shù)的解析式。

[教師出示背景材料2：“在17世紀(jì)，函數(shù)概念沒有被充分認(rèn)識(shí)之前，多數(shù)函數(shù)是被當(dāng)作曲線研究的。而法國數(shù)學(xué)家、科學(xué)家和哲學(xué)家笛卡兒創(chuàng)建了解析幾何，將代數(shù)和幾何聯(lián)系在了一起，為利用函數(shù)思想研究曲線提供了可能性。后來，由于17世紀(jì)的科學(xué)家們致力于運(yùn)動(dòng)的研究，如炮彈的初速度對(duì)高度和射程的影響，船只及天體的位置等，尤其是德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1692年使用fuction（作用）表示隨曲線的變化而改變的幾何量，如坐標(biāo)、切線等，極大地推動(dòng)了函數(shù)概念及思想的形成與發(fā)展。1718年，萊布尼茨的學(xué)生瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利強(qiáng)調(diào)了函數(shù)要用公式表示?！盷

師由此，問題1中的變量關(guān)系是函數(shù)嗎？

生是的。

師那問題2中的呢？

生不是。

師可見，這樣的定義仍具有一定的局限性。

[教師出示背景材料3：“1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉抽象地指出，‘如果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們就將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)’，并將函數(shù)記作‘f（x）’，拓展了函數(shù)的意義。但是，他在《無窮小分析引論》中仍強(qiáng)調(diào)了公式的重要性，并明確規(guī)定：一個(gè)給定的函數(shù)在它的整個(gè)定義域內(nèi)只能由一個(gè)解析式來表示?！比缓蟪鍪締栴}4：“無錫市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：3 km以內(nèi)（含3 km）的路程，按起步價(jià)10元收費(fèi);超過3 km的路程，按2.8元/km收費(fèi)。問：收費(fèi)額y是否為路程x的函數(shù)？如果是，怎樣表示？”]

生y是x的函數(shù)。當(dāng)03時(shí)，y=10+2.8（x-3）。即y=10，0

2.8x+1.6，x>3。

師這里的變量關(guān)系用到了幾個(gè)解析式來表示？

生2個(gè)。

師可見，歐拉的定義仍具有一定的局限性。

[教師出示背景材料4：“在當(dāng)時(shí)的背景下，數(shù)學(xué)家們不接受這類分段函數(shù)。但是，對(duì)物理弦振動(dòng)問題的研究引發(fā)了數(shù)學(xué)家們對(duì)函數(shù)概念的爭(zhēng)論，迫使他們接納了分段函數(shù)。1822年，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可以用曲線表示，也可以用一個(gè)或多個(gè)式子表示，從而將對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)又推進(jìn)了一個(gè)層次。1823年，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家柯西從定義變量開始，得出了更為抽象的函數(shù)定義：若對(duì)x的每一個(gè)值，都有完全確定的y 值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是關(guān)于x的函數(shù)。隨著微積分研究的深入，到了18世紀(jì)末19世紀(jì)初，人們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)又向前推進(jìn)了。1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷利用“對(duì)應(yīng)說”徹底掙脫了解析式的束縛，其中特別強(qiáng)調(diào)了，只要有一個(gè)法則使得取值范圍中的每一個(gè)x都有一個(gè)確定的y和它對(duì)應(yīng)即可，無論該法則是用公式還是用圖像、表格等形式表示。該定義突出了函數(shù)的本質(zhì)——對(duì)應(yīng)思想。19世紀(jì)70年代以后，隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概念用更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募虾蛯?duì)應(yīng)語言表述，甚至推廣到“關(guān)系說”（集合函數(shù)），從而為研究函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用提供了更廣闊的思維空間?！?]

師函數(shù)概念在數(shù)學(xué)家們以運(yùn)動(dòng)的視野研究曲線的過程中誕生，一開始更多地用來表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系，是用代數(shù)方法研究幾何問題所采用的手段;社會(huì)、科學(xué)技術(shù)以及數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，尤其是微積分的應(yīng)用，推動(dòng)數(shù)學(xué)家通過不斷抽象和完善，深化對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，拓展函數(shù)思想應(yīng)用的領(lǐng)域。

三、研究經(jīng)典問題，領(lǐng)悟思想方法

有了“面”，還要有“點(diǎn)”。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)家不斷研究的過程。數(shù)學(xué)文化選修課的教學(xué)還要讓學(xué)生經(jīng)歷經(jīng)典案例中具體問題的解決過程，從中充分感受數(shù)學(xué)家原創(chuàng)性的思考，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。教師可以對(duì)經(jīng)典案例做適當(dāng)?shù)母木?，提出學(xué)生能夠解決的問題，體現(xiàn)基本的數(shù)學(xué)思想方法。

《函數(shù)與數(shù)學(xué)文化》一課，筆者選取拋物線的方程和狄利克雷函數(shù)兩個(gè)經(jīng)典案例，呼應(yīng)歷史脈絡(luò)中函數(shù)概念的“變量說”和“對(duì)應(yīng)說”，引導(dǎo)學(xué)生解決能夠解決的問題，深入體會(huì)函數(shù)思想。

【教學(xué)片段3】

[教師出示經(jīng)典案例1：“意大利科學(xué)家伽利略的近代力學(xué)著作《關(guān)于兩門新科學(xué)的對(duì)話》（1638年）從始至終貫穿著“變化”是自然界的本質(zhì)的思想。比如，書中他通過“自相似性”，得出了運(yùn)動(dòng)與位移之間的關(guān)系，并用文字?jǐn)⑹鋈缦拢簭撵o止?fàn)顟B(tài)開始以勻加速度下降的物體，其經(jīng)過的距離與所用的時(shí)間的平方成正比，用符號(hào)表示就是s=12gt2。因此，有人認(rèn)為他是創(chuàng)造函數(shù)概念的先驅(qū)之一?！比缓筇岢鰡栴}：利用運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，你能否證明扔出去的小石頭的飛行軌跡是二次函數(shù)表示的拋物線？]

生（同步板書符號(hào)與公式）記小石頭的初速度為v0，它與水平方向的夾角為θ，設(shè)初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)當(dāng)時(shí)間為t時(shí)，飛行軌跡上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則利用運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性和分解性，得x=v0tcos θ，y=v0tsin θ-12gt2，消去t，得y=-g2v20cos 2θx2+xtan θ，因此，小石頭的飛行軌跡是開口向下的拋物線。

師同學(xué)們用運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)嚴(yán)格論證了拋物線是二次函數(shù)曲線，溝通了數(shù)學(xué)與物理之間的聯(lián)系，也體會(huì)到函數(shù)中蘊(yùn)含的變量相關(guān)思想。

[教師出示經(jīng)典案例2：“狄利克雷的‘對(duì)應(yīng)說’定義掙脫了公式法的束縛，突出了函數(shù)概念的本質(zhì)——對(duì)應(yīng)思想，使之具有更加豐富的科學(xué)內(nèi)涵。他曾用對(duì)應(yīng)的語言描述了以下函數(shù)：當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為1;當(dāng)自變量取無理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為0。該函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，從形式上看，它是一個(gè)分段函數(shù)：D（x）=1，x為有理數(shù);

0，x為無理數(shù)?！比缓筇岢鰡栴}：（1）能否作出該函數(shù)的圖像？（2）試求出該函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性;（3）是否存在非零常數(shù)T，使得D（x+T）=D（x）恒成立？證明你的結(jié)論。]

生該函數(shù)的圖像作不出，但可以想象出類似于許多點(diǎn)構(gòu)成的“電子云”。該函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閧0，1};利用定義可以證明它是偶函數(shù)，但無單調(diào)性。同時(shí)，所有非零有理數(shù)都是符合題設(shè)要求的常數(shù)T。

師狄利克雷函數(shù)是一個(gè)非常特別的函數(shù)，它能幫助我們充分理解函數(shù)中蘊(yùn)含的對(duì)應(yīng)思想。

[教師出示變式練習(xí)：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，[x]是不超過x的最大整數(shù)，我們將y=[x]稱為高斯函數(shù)，試針對(duì)函數(shù)f（x）=x-[x]，研究上述三個(gè)問題。學(xué)生完成。]

四、了解研究故事，體會(huì)數(shù)學(xué)精神

數(shù)學(xué)研究的過程并不總是一帆風(fēng)順，經(jīng)常會(huì)遇到挫折、出現(xiàn)錯(cuò)誤，但是具有探索精神和理性思維的數(shù)學(xué)家們不會(huì)放棄或迷信，而會(huì)不斷研究，直到成功。讓學(xué)生了解經(jīng)典案例中曲折生動(dòng)的研究故事，特別是對(duì)那些學(xué)生目前還不能解決的問題，可以讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)精神的力量，獲得人生的啟迪。

《函數(shù)與數(shù)學(xué)文化》一課，筆者選擇懸鏈線方程的研究這一經(jīng)典案例，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)研究的艱難與堅(jiān)持。

【教學(xué)片段4】

師小石頭飛過天空，其軌跡是什么曲線？固定繩索的兩端，在重力場(chǎng)中讓繩索自然垂下，則繩索表示的懸鏈線是什么曲線？

生小石頭的軌跡是拋物線，懸鏈線形狀好像也是拋物線。

師同學(xué)們犯了一個(gè)科學(xué)家也犯過的直覺錯(cuò)誤。

（教師出示經(jīng)典案例3：“古希臘哲學(xué)家亞里士多德根據(jù)其‘有機(jī)目的觀’的物理學(xué)和哲學(xué)，得出地面上的‘自然運(yùn)動(dòng)’是直線運(yùn)動(dòng)，所以石頭飛出去的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線。兩千多年后，這一結(jié)論才由伽利略加以修正：軌跡的方程為二次函數(shù)y=ax2+bx+c。此時(shí)，伽利略從繩索的外表作出猜測(cè)：懸鏈線也是拋物線。1646年，荷蘭物理學(xué)家惠更斯經(jīng)由物理的論證發(fā)現(xiàn)伽利略的猜測(cè)有誤，但是他求不出正確答案。到了17世紀(jì)后半葉，牛頓與萊布尼茨分別獨(dú)立地發(fā)明了微積分。由此，可以將一條未知曲線“網(wǎng)”在一個(gè)微分方程式中，再利用積分法解開“網(wǎng)子”，求得未知曲線。1690年，瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利重提懸鏈線問題。第二年，惠更斯、萊布尼茨以及雅各布·伯努利的弟弟約翰·伯努利都利用微積分這一利器，求得正確答案為y=eax+e-ax2a。至此，懸鏈線的懸案才得以真正告破。”）

師可見，獲得真理常常是一個(gè)艱難的過程，大師也可能犯錯(cuò)，我們要有系統(tǒng)、有方法地去懷疑沒有確認(rèn)的判斷。數(shù)學(xué)和科技發(fā)展史表明：一切成功都是踏著錯(cuò)誤前進(jìn)的，科學(xué)方法就是“嘗試改錯(cuò)”;有時(shí)，前人的錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)往往對(duì)后人更具有啟發(fā)性與教育性。（稍停）就讓我們以一首有關(guān)函數(shù)的打油詩結(jié)束本課：我講課，你學(xué)習(xí)，你是我的定義域;我啟發(fā)，你思考，相互交流得值域;數(shù)學(xué)史，有情趣，學(xué)習(xí)熱情單調(diào)增;我搜集，你鉆研，數(shù)學(xué)文化有解析。

最后需要指出的是，在數(shù)學(xué)文化的教學(xué)中，應(yīng)注意思考性與故事性、系統(tǒng)性與情境性、真實(shí)性與趣味性、思維價(jià)值與人文價(jià)值等方面的有機(jī)統(tǒng)一，以增強(qiáng)教學(xué)效果，促進(jìn)文理貫通。

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