劉新泉

摘 ?要：在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，易錯(cuò)題是最值得關(guān)注的一類問題。平面幾何以其考察能力廣，數(shù)學(xué)思維要求高，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中占有重要地位。所以對(duì)平面幾何易錯(cuò)題的研究利用對(duì)于提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力有著深遠(yuǎn)的意義。本文試圖從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，淺析幾何易錯(cuò)題的有效利用方法。

關(guān)鍵詞：初中幾何;易錯(cuò)題;教學(xué)實(shí)踐

初中幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生在解題過程常出現(xiàn)錯(cuò)誤是不可避免的，這對(duì)學(xué)生和老師來講，都是很頭痛的事。但這些錯(cuò)誤的出現(xiàn)，給老師在課堂教學(xué)和研究中提供了絕好的素材。充分挖掘易錯(cuò)題這個(gè)寶藏，對(duì)老師的日常教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)都有著積極的促進(jìn)作用。以下談?wù)劰P者在教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出的幾個(gè)觀點(diǎn)供大家參考。

一、巧用“易錯(cuò)題”，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣

在上糾錯(cuò)習(xí)題課堂上，我先把學(xué)生所做錯(cuò)題投在黑板上，讓大家找出其中的錯(cuò)誤之處。結(jié)果學(xué)生七嘴八舌地指出他證明中的各種錯(cuò)，我一一板書總結(jié)，漸漸的沒有回答的同學(xué)了，我又問：還有錯(cuò)誤嗎？學(xué)生觀察思考后才回答：題目中的結(jié)論“四邊形ABCD是平行四邊形”是不能用圖形符號(hào)的。而且沒有菱形的圖形符號(hào)。而很多學(xué)生都會(huì)有這種隨意書寫的壞習(xí)慣。我在強(qiáng)調(diào)后，讓學(xué)生寫出正確的證明過程。然后點(diǎn)評(píng)。最后告訴學(xué)生：數(shù)學(xué)最重要的特點(diǎn)就是嚴(yán)謹(jǐn).通過對(duì)錯(cuò)題的分析和點(diǎn)評(píng)，要求學(xué)生反復(fù)檢查每一歩推理的正確性和表達(dá)準(zhǔn)確性，培養(yǎng)學(xué)生慎重思考，仔細(xì)推理的良好習(xí)慣。

二、研究“易錯(cuò)題”，對(duì)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備進(jìn)行查漏補(bǔ)缺

在錯(cuò)題收集過程中，我發(fā)現(xiàn)有六，七個(gè)同學(xué)的證明過程出現(xiàn)如圖所示的三角形全等的證明判定不會(huì)，對(duì)已知條件不能正確運(yùn)用，圓中的性質(zhì)不會(huì)用等錯(cuò)誤。通過錯(cuò)題的研究，從學(xué)生出錯(cuò)的頻率情況，我發(fā)現(xiàn)了班級(jí)學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備和欠缺的知識(shí)以及對(duì)新知識(shí)的掌握情況，找到大家沒有掌握好的知識(shí)點(diǎn)，然后進(jìn)行針對(duì)性的反復(fù)強(qiáng)化訓(xùn)練和檢測(cè)，對(duì)個(gè)別學(xué)生一對(duì)一輔導(dǎo)，直到學(xué)生掌握為之。也讓學(xué)生看到自已的不足之處，從而進(jìn)行更高效的進(jìn)行學(xué)習(xí)。

三、挖掘“易錯(cuò)題”成因，發(fā)現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)

在分析上面這道錯(cuò)題時(shí)，我們不難發(fā)現(xiàn)，它重點(diǎn)考察了“90°的圓周角所對(duì)的是圓的直徑，直徑所對(duì)的圓周角是90°”的性質(zhì)，和正方形的判定定理。而判斷AC，BD是圓的直徑是要證明的。另外，巧妙地運(yùn)用圓的半徑和直徑的關(guān)系，來證明四邊形ABCD是平行四邊形，最后我們還要清楚四邊形是正方形的的所有判定定理。這道綜合題，通過老師分析錯(cuò)因，層層剝筍，可以有效幫助學(xué)生分析理解圓的概念性質(zhì)的內(nèi)涵和外延，激發(fā)學(xué)生的探究解決綜合題題的興趣，增強(qiáng)問題意識(shí)，拓展思路，加深學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的理解。有效地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)各知識(shí)點(diǎn)之間的融會(huì)貫通。

四、利用“易錯(cuò)題”，培養(yǎng)學(xué)生思維能力

在本題的點(diǎn)評(píng)中，我提問學(xué)生：“有幾種方法可證明四邊形ADCB是正方形？”點(diǎn)評(píng)完后，請(qǐng)學(xué)生們重新設(shè)計(jì)已知條件，仍可證明四邊形ABCD是正方形。

于是學(xué)生給出了以下的設(shè)計(jì)：

已知：在⊙O中，AB=BC=CD=AD，證明四邊形ABCD是正方形.

已知：在⊙O中，弦AC，BD是直徑，且AC⊥BD，證明四邊形ABCD是正方形.

已知：在⊙O中，弦AC⊥BD，且∠ADC=90°證明四邊形ABCD是正方形.

從這些學(xué)生設(shè)計(jì)中，也可以看出學(xué)生對(duì)本節(jié)糾錯(cuò)題課內(nèi)容的理解掌握情況。通過這一教學(xué)過程的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生找錯(cuò)誤的源頭并發(fā)展該問題，從而引導(dǎo)學(xué)生積極整理思維過程，使之條理化，精確化，慎密化，概括化。進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生舉一反三，分析歸納和發(fā)散性思維能力。

五、巧用“易錯(cuò)題”，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維

在錯(cuò)題課堂上，學(xué)生出錯(cuò)率最高的是下面這一題的第二問，“判斷△PAE的形狀”，很多學(xué)生通過證明很容易得出“△PAE是等腰三角形”這一錯(cuò)誤結(jié)論。具體題目如下：

如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接PA，PC。

求證：∠PAB=∠PCB

在BC邊上取一點(diǎn)E，使得PE=PC，連接AE，試判斷△PAE的形狀，并說明理由。

學(xué)生證明如下：

（1）證明：∵正方形ABCD

∴AB=BC ? ?∠ABP=∠CBP

在△PAB和△PCB中

AB=BC

∠ABP=∠CBP

BP=BP

∴△PAB≌△PCB （SAS）

∴ ∠PAB=∠PCB

（2）△PAE是等腰三角形，

∵△PAB≌△PCB

∴PA=PC

又∵PE=PC ? ? ∴PA=PE

∴△PAE是等腰三角形。本題第2問，學(xué)生對(duì)△PAE的形狀判斷是錯(cuò)誤的，學(xué)生思考很簡(jiǎn)單，由PE=PC，聯(lián)想到由三角形全等，得出PA=PC，但忽略了第一問證明的結(jié)論∠PAB=∠PCB，更深入思考：第一問證明的結(jié)論和第二問有關(guān)系嗎？通過分析知道：有關(guān)系。由結(jié)論：∠PAB=∠PCB

又∵PE=PC ∴ ∠PEC=∠PCB

∴ ∠PAB=∠PEC ? ? ?又∵∠PEC+∠PEB=180°

∴∠PAB+∠PEB=180°又∵正方形ABCD

∴ ∠ABC=90°

在四邊形ABEP中 ∠APE=360°-（∠PAB+∠PEB+ ∠ABC）=90°再結(jié)合學(xué)生已證明得PA=PE

∴△PAE是等腰直角三角形。這才是一個(gè)完整的答案。

這反映了學(xué)生在幾何題證明方面缺乏全面，深入細(xì)致的分析和推理。也反映了教師在教學(xué)中對(duì)這一類型的習(xí)題沒有系統(tǒng)的思想指導(dǎo)，（例如，有兩小問的題目，如果第一問的結(jié)論是由題目已知推理得出，那么第二問的證明是可以用第一問的證明結(jié)論的。）因此大多數(shù)題目1，2問是有關(guān)聯(lián)的。學(xué)生的創(chuàng)新思維體現(xiàn)在把所證明的邊的相等，以及角的轉(zhuǎn)化從而證明頂角是90°，歸納得出△PAE是等腰直角三角形的正確結(jié)論。在教學(xué)過程中，學(xué)生不斷出現(xiàn)的錯(cuò)誤是再所難免，它反映了學(xué)生的真實(shí)想法和思維能力。這其中包涵了學(xué)生知識(shí)上的漏洞和老師教學(xué)上的不足。 ? 因此，教師應(yīng)當(dāng)善于運(yùn)用“錯(cuò)題”，善于發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤被后隱藏的教學(xué)價(jià)值。 ?把“錯(cuò)誤”巧妙地運(yùn)用到日常教學(xué)中。彌補(bǔ)教學(xué)上的不足。此外，還要引導(dǎo)學(xué)生利用錯(cuò)題記錄本，整理所有出錯(cuò)的題目，分析出錯(cuò)原因。

六、辯析數(shù)學(xué)概念，深入挖掘“易錯(cuò)題”的內(nèi)涵，運(yùn)用正確的幾何解題策略

在2021年的中山市中考數(shù)學(xué)試題中有這樣一道填空題：在△ABC 中，∠ABC =90°，AB=2 ，BC =3.點(diǎn) D 為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ADB =45°， 則線段CD 長(zhǎng)度的最小值為——。

這道題沒有圖，考查學(xué)生根據(jù)題意正確畫出圖（下轉(zhuǎn)第4頁）（上接第2頁）形，學(xué)生要正確畫出圖形就要弄明白三個(gè)問題：

①動(dòng)點(diǎn)D在平面內(nèi)的什么圖形上運(yùn)動(dòng)？和圓有關(guān)系嗎？

②這個(gè)圓以什么為圓心？什么為半徑？

③點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段CD最小？

要回答第一個(gè)問題，就需要深刻理解概念“在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等”。本題中，點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持∠ADB =45°，說明∠ADB是圓周角，并且頂點(diǎn)D在圓周上運(yùn)動(dòng)。

對(duì)第二個(gè)問題的解答，本題挖了一個(gè)很大的坑，很多同學(xué)認(rèn)為∠ABC =90°，所以這個(gè)圓是以AC為直徑的圓，從而成功掉到坑里。事實(shí)上，仔細(xì)觀察研究圓周角：∠ADB =45°，不難得出這個(gè)圓是以等腰三角形ABE的斜邊AE為直徑，AE的中點(diǎn)O為圓心的圓。

對(duì)于第三個(gè)問題，學(xué)生在成功畫出圖形后又犯難了，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到圓周的什么位置時(shí)，線段CD才會(huì)最小呢？這里又出現(xiàn)兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：a.當(dāng)CD為切線段時(shí)最短;b.直角三角形ABC的斜邊AC與圓的交點(diǎn)D時(shí)，線段CD最小;c.連接OC，與☉O的交點(diǎn)為在，此時(shí)CD最短。這三個(gè)答案，究竟誰對(duì)誰錯(cuò)？又考察了兩個(gè)重要公理：①垂線段最短②兩點(diǎn)之間線段最短。該用哪一個(gè)呢？，將三種情形畫圖如下所示：

仔細(xì)思考，只有c圖是對(duì)的，考查了圓外一點(diǎn)與圓心的連線與圓的交點(diǎn)最短。不難計(jì)算出CD最小值的正確答案為 5 - 2 。好象a圖和b圖也有道理，但經(jīng)不起概念的深入挖掘和推演，a圖中的CD長(zhǎng)為 3 ，b圖中的CD長(zhǎng)為 ? ? ? ，顯然 5 - 2 ?比—的值大，通過比較三個(gè)結(jié)果，易得出正確結(jié)論，但通過仔細(xì)思考辯析三個(gè)相近的概念，也會(huì)得出圓外一點(diǎn)與圓心的連線與圓的交點(diǎn)最短。

在教學(xué)過程中，面對(duì)不同層次的學(xué)生，他們的知識(shí)儲(chǔ)備有不同的深度和廣度，有不同的思維水平和解題技能，出現(xiàn)五花八門的解題錯(cuò)誤不可避免。我們教師只有在課堂教學(xué)中對(duì)概念教學(xué)要深挖，批改作業(yè)時(shí)不要忘記搜集學(xué)生的典型錯(cuò)誤，及時(shí)進(jìn)行成因的分析，整理，記錄，并制定出有效的矯正策略，充分發(fā)揮“易錯(cuò)題”的積極作用。培養(yǎng)學(xué)生明辨析，深挖掘，勤反思的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，不斷提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【本文系廣東省中山市教育科研立項(xiàng)課題“基于幾何易錯(cuò)題成因分析進(jìn)行反思性教學(xué)的實(shí)踐研究”的階段性成果（課題編號(hào)：C2018099）】

參考文獻(xiàn)：

[1]陸微微.初中數(shù)學(xué)典型易錯(cuò)題的分析與思考[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2021（10）：47-48.

[2]楊紅云.初中數(shù)學(xué)“易錯(cuò)題”的有效利用方法[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2020（24）：46-48.

[3]朱銘.初中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題的成因及解決對(duì)策[J].數(shù)學(xué)大世界（中旬），2020（12）：12.

[4]張建金.淺談初中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題的成因及教學(xué)策略[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2020（11）：58.

注釋：

由于本文素材來源于教學(xué)實(shí)際，故采取照片形式繪圖。

（作者單位：中山一中西區(qū)中學(xué)，廣東 ?中山 ?528400）