朱建明 諸士金

摘要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中﹐展開（或者加強）代數(shù)推理，可以幫助學(xué)生：明依據(jù)，加深對代數(shù)知識的理解;懂操作，強化對推理方法的掌握;建系統(tǒng)，銜接代數(shù)推理的學(xué)程。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);代數(shù)推理;代數(shù)知識;推理方法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）特別指出：“初中數(shù)學(xué)中，在圖形與幾何領(lǐng)域有推理或證明的內(nèi)容，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域也有推理或證明的內(nèi)容以。”②這就要求初中數(shù)學(xué)教師展開（或者加強）代數(shù)推理，尤其是演繹推理（數(shù)學(xué)中的“證明”必須通過演繹推理完成）的教學(xué)，也即展開（或者加強）從一定的條件出發(fā)，依據(jù)代數(shù)定義、代數(shù)公式、運算法則、運算律、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等，得到具體數(shù)和代數(shù)式結(jié)構(gòu)、數(shù)量上的相等關(guān)系和不等關(guān)系等的教學(xué)。本文重點談一談初中代數(shù)推理的教學(xué)價值。

一、幫助學(xué)生明依據(jù)，加深對代數(shù)知識的理解

代數(shù)推理（尤其是演繹推理）可以分為運算推理和命題推理這兩種主要形式。加強運算推理的教學(xué)主要是加強算法、算技背后的算理、算律的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注運算推理的步步有序和步步有據(jù)；加強命題推理的教學(xué)主要是加強代數(shù)命題結(jié)構(gòu)的認識和結(jié)構(gòu)之間邏輯關(guān)系的演繹，幫助學(xué)生明白邏輯關(guān)系成立背后的代數(shù)道理和依據(jù)。由此可見，無論是哪一種代數(shù)推理的形式，都要關(guān)注代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的依據(jù)。因此，就要在代數(shù)有關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，進一步關(guān)注代數(shù)概念、法則、公式、性質(zhì)等依據(jù)的“再發(fā)現(xiàn)”過程。這有利于學(xué)生加深對代數(shù)知識的理解。

例如，蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級上冊《4.2解一元一次方程》第1課時的“等式的性質(zhì)”教學(xué)后，可提出如下問題：

說出下列等式變形的依據(jù)：（1）由x＋3＝—1，得x＝—4；（2）由3x＝—6，得x＝—2；1

說出等式變形的依據(jù)，就是運用等式性質(zhì)的過程，也是認識等式性質(zhì)的意義和適用范圍的過程，還是開展“言必有據(jù)”訓(xùn)練的有效載體。實際上，教學(xué)初中數(shù)學(xué)“數(shù)與式”內(nèi)容中的有關(guān)運算性質(zhì)時，均可進行這樣的說理活動，從而既關(guān)注學(xué)生對每一步依據(jù)的本質(zhì)理解，也培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯表達能力。

再如，蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級上冊《6.3一次函數(shù)的圖像》第2課時教學(xué)，在導(dǎo)入階段，可提出如下問題：

（1）已知一次函數(shù)y＝2x—5圖像上的任意兩點P（x1，y1）、Q（x2，y2），如果x1＜x2，判斷y1與y2的大小，并說明理由；

（2）已知一次函數(shù)y＝—2x＋3的圖像上任意兩點M（x3，y3）、N（x4，y4），如果x3＜ x1，判斷y3與y4的大小，并說明理由。

這兩個問題是對“一次函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)所做的鋪墊。學(xué)生既可以從一次函數(shù)的圖像上直觀地感受其單調(diào)性，又可以通過代數(shù)推理，包括先取兩個特殊點，發(fā)現(xiàn)它們縱坐標(biāo)的大小關(guān)系與橫坐標(biāo)的大小關(guān)系的關(guān)聯(lián)，再用演繹推理的方法證明。這兩個問題的教學(xué)可以讓學(xué)生經(jīng)歷一次函數(shù)性質(zhì)的探索過程，體會其合理性，以加深對函數(shù)性質(zhì)的理解，并體會代數(shù)推理的作用。

二、幫助學(xué)生懂操作，強化對推理方法的掌握

相對而言，在代數(shù)教學(xué)中，不少教師比較重視運算推理，因此，不少學(xué)生對作為依據(jù)的算理、算律并不陌生，對運算推理的操作路徑也很明晰。因此，我們應(yīng)該更重視代數(shù)命題推理的教學(xué)，在運算求解類問題之外，多設(shè)計一些命題證明類問題。由此引發(fā)的說理活動更具有推理的普遍特征，有利于學(xué)生強化對推理思維方法及其表達體系的掌握，包括對合情推理和演繹推理邏輯方法的掌握和對比較法、綜合法、分析法和反證法等證明方法的掌握。

例如，蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級下冊《12.2二次根式的乘除》教學(xué)，可以讓學(xué)生通過幾何意義（直角三角形的邊長和長方形的面積）得到一些具體的二次根式的乘積，再通過這些特例猜想二次根式乘法的運算性質(zhì)“a·b＝?ab（a≥0，b≥0）”，然后嘗試證明這一性質(zhì)。當(dāng)然，可以采用同樣的方式教學(xué)二次根式除法的運算性質(zhì)（a≥0，b>0）”。π=/

在這一過程中，將原本運算求解類的內(nèi)容（問題）轉(zhuǎn)換成命題證明類的內(nèi)容（問題），通過先猜后證，突出命題推理過程的形式化程序和命題推理的方法，使學(xué)生充分感受合情推理和演繹推理對研究問題的價值。

再如，蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級下冊《11.3不等式的性質(zhì)》教學(xué)，在思維拓展階段，可提出如下問題：

解決這幾個問題，可以使學(xué)生真切地感受到綜合法、分析法和比較法的作用，將它們內(nèi)化為代數(shù)命題證明問題的重要工具。這三種方法中，綜合法是重點和難點；分析法通常側(cè)重于分析證明思路，不用于獨立地呈現(xiàn)證明過程；比較法容易理解，其操作程序也容易固化，但在初始階段不易想到，其表達要求也相對較高。因此，在教學(xué)中，可以讓學(xué)生先學(xué)習(xí)綜合法，后學(xué)習(xí)比較法，同時，將分析法作為分析思路的手段貫穿始終。

又如，蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級下冊《11.4解一元一次不等式》第2課時教學(xué)，在思維拓展階段，可提出如下問題：

請你對此作出判斷并且說明理由。

本題是一個示錯糾錯的案例，可以從x+1_x+2出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)解不等3 4式，看看能否得到x＞2這個條件，從而作出判斷。這種方法是演繹推理中的分析法。當(dāng)然，解決本題也可以用比較法：將作差，利用運算法則與運算律得出結(jié)果，

然后根據(jù)條件比較結(jié)果與0的大小……本題可以讓學(xué)生真切地感受到幾種證明方法的作用。

三、幫助學(xué)生建系統(tǒng)，銜接代數(shù)推理的學(xué)程

初中階段的代數(shù)推理教學(xué)相對薄弱。與之形成鮮明對比的是，高中階段有著指向較為完整的代數(shù)推理體系的教學(xué)內(nèi)容，包括函數(shù)概念與性質(zhì)、基本初等函數(shù)、數(shù)列的概念與性質(zhì)、常見數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、常用不等式等知識與問題，指向各種函數(shù)、數(shù)列性質(zhì)以及不等關(guān)系的證明等。因此，加強初中代數(shù)推理的教學(xué)，可以幫助學(xué)生構(gòu)建良好的代數(shù)推理學(xué)習(xí)序列，系統(tǒng)地銜接代數(shù)推理的學(xué)程，讓學(xué)習(xí)螺旋上升、持續(xù)進階。這能進一步協(xié)調(diào)初高中對學(xué)生代數(shù)推理能力的培養(yǎng)。

例如，蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級下冊《8.3分式的加減》《8.4 分式的乘除》教學(xué)，可將教材例題、習(xí)題中的部分計算題改造為證明題：

再如，蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級上冊第1章《一元二次方程》教學(xué)，也可將教材例題、習(xí)題中的部分解方程題改造為證明題：

（1）求證：關(guān)于x的方程x2＋（2k—1）x—k—1＝0有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）求證：關(guān)于x的方程x2＋（2m＋1）x1有兩個相等的實數(shù)根；マ

（3）求證：關(guān)于x的方程（x—1）（x—2）＝k2有兩個不相等的實數(shù)根。

這樣的改造雖然呈現(xiàn)了原先計算、解方程的結(jié)果，但是提高了演繹推理的形式化要求，能夠改善學(xué)生代數(shù)學(xué)習(xí)中“會計算，不會說理”的狀況，為學(xué)生到高中接觸較多推理要求比較明顯的代數(shù)問題做好鋪墊。

參考文獻：

［1］史寧中．?dāng)?shù)學(xué)基本思想與教學(xué)［M］．北京：商務(wù)印書館，2018．