吳敏

【編者按】 復(fù)習(xí)課難上，極易陷入“走過(guò)場(chǎng)”“炒冷飯”“題海戰(zhàn)”的困境，整合多個(gè)單元內(nèi)容的綜合復(fù)習(xí)課教學(xué)則更具挑戰(zhàn)性。2021年12月舉辦的“蘇州市初教課改展示活動(dòng)（數(shù)學(xué)專場(chǎng)）”中，特級(jí)教師徐斌和兩位青年骨干教師參與了《小數(shù)四則運(yùn)算（復(fù)習(xí)）》的同課異構(gòu)活動(dòng)，各上了一節(jié)課。這一綜合復(fù)習(xí)課涉及五年級(jí)上冊(cè)三個(gè)單元的內(nèi)容，選擇這個(gè)高難度的課題，無(wú)異于挖了個(gè)“深坑”。三位教師如何在“深坑”中上下求索，尋得“富礦”？本期《專題研究》欄目，呈現(xiàn)執(zhí)教者的思考和觀摩者的評(píng)析。

摘要：一節(jié)有質(zhì)量的復(fù)習(xí)課，要做好三件事，即查漏補(bǔ)缺、織線成網(wǎng)、溫故知新。有人形象地將其比喻成“打補(bǔ)丁”“串珠子”“開窗子”?！缎?shù)四則運(yùn)算（復(fù)習(xí)）》一課教學(xué)，讓這三者協(xié)同推進(jìn)：創(chuàng)設(shè)氛圍，引發(fā)深度參與;縱橫聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)深度建構(gòu);注重回顧，促進(jìn)深度反思。

關(guān)鍵詞：小數(shù)四則運(yùn)算;復(fù)習(xí)課;溫故知新;深度學(xué)習(xí)

《小數(shù)四則運(yùn)算（復(fù)習(xí)）》一課的教學(xué)目標(biāo)確定為：（1）進(jìn)一步理解小數(shù)四則運(yùn)算的意義，能正確口算和筆算小數(shù)加、減法和乘、除法，能正確應(yīng)用小數(shù)計(jì)算解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。（2）進(jìn)一步認(rèn)識(shí)小數(shù)四則運(yùn)算的意義、方法與整數(shù)四則運(yùn)算之間的聯(lián)系和區(qū)別，加深對(duì)計(jì)算原理的理解，培養(yǎng)比較、概括等思維能力，提高小數(shù)計(jì)算的能力。（3）主動(dòng)參與運(yùn)算、比較、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，能主動(dòng)與他人交流，在學(xué)習(xí)中有所收獲，提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。本課教學(xué)過(guò)程與思考如下：

一、教學(xué)過(guò)程

（一）談話導(dǎo)入，明確目標(biāo)

師 同學(xué)們，今天我們來(lái)上一節(jié)復(fù)習(xí)課，猜一猜：復(fù)習(xí)什么內(nèi)容？（出示教材目錄，圈出復(fù)習(xí)內(nèi)容）我們?cè)诘?、中年?jí)學(xué)習(xí)了整數(shù)的四則運(yùn)算，這學(xué)期又重點(diǎn)研究了小數(shù)的四則運(yùn)算。那么，你們對(duì)小數(shù)的加、減、乘、除有哪些認(rèn)識(shí)呢？課前，同學(xué)們圍繞三個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了自主梳理?，F(xiàn)在，把你們的想法和同桌交流一下。

師小數(shù)四則運(yùn)算的意義是什么？如何進(jìn)行小數(shù)加、減、乘、除的計(jì)算呢？整數(shù)四則運(yùn)算和小數(shù)四則運(yùn)算的意義及計(jì)算有什么聯(lián)系呢？讓我們帶著這些問(wèn)題，進(jìn)一步研究小數(shù)的四則運(yùn)算。

[說(shuō)明：復(fù)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的一種重要方法。精心設(shè)計(jì)統(tǒng)領(lǐng)本課的三個(gè)問(wèn)題作為復(fù)習(xí)提綱，對(duì)復(fù)習(xí)內(nèi)容和目標(biāo)提出明確的要求，引導(dǎo)學(xué)生自主復(fù)習(xí)。學(xué)生通過(guò)有效的課前復(fù)習(xí)，喚起舊知，嘗試整理歸納，并帶著自己的理解和思考開啟本課學(xué)習(xí)。]

（二）追本溯源，溝通聯(lián)系

1.再認(rèn)四則運(yùn)算的意義

師看，昨天吳老師去買面包了。猜一猜：這個(gè)牛角包多少錢？我又挑了1個(gè)甜甜圈，猜一猜多少錢。最后買了1盒牛奶，再猜一猜多少錢。

出示問(wèn)題：（1）1個(gè)牛角包配1盒牛奶一共需要多少錢？1個(gè)甜甜圈配1盒牛奶呢？為什么都可以用加法計(jì)算？（看來(lái)，要解決把兩個(gè)部分合在一起的問(wèn)題，就可以用加法計(jì)算）（2）用10元買1個(gè)牛角包還剩多少錢？用10元買1個(gè)甜甜圈呢？為什么都可以用減法來(lái)計(jì)算呢？（可見，從總數(shù)里去掉一部分，都可以用減法計(jì)算）（3）買20個(gè)牛角包需要付多少錢？買20個(gè)甜甜圈呢？怎么都用了乘法？（是呀，求幾個(gè)幾相加是多少，可以用乘法計(jì)算）（4）180元可以買幾個(gè)牛角包？甜甜圈呢？你知道兩個(gè)問(wèn)題都用除法計(jì)算的理由嗎？（原來(lái)，只要是求一個(gè)數(shù)里有幾個(gè)幾，都可以用除法來(lái)計(jì)算）

師仔細(xì)觀察這些算式，你能把它們分成兩類嗎？說(shuō)說(shuō)你的想法。

師同學(xué)們，都說(shuō)溫故而知新，通過(guò)剛才解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，你們對(duì)小數(shù)四則運(yùn)算的意義有了怎樣的新認(rèn)識(shí)？

[說(shuō)明：意義，是四則運(yùn)算之“源”。因此，教學(xué)整數(shù)四則運(yùn)算的意義時(shí)，教師都會(huì)創(chuàng)設(shè)生活情境，引導(dǎo)學(xué)生理解運(yùn)算的意義。但是進(jìn)入第二學(xué)段，教學(xué)小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算時(shí)，往往會(huì)忽略運(yùn)算的意義。所以，學(xué)生對(duì)小數(shù)四則運(yùn)算的意義及其與整數(shù)四則運(yùn)算之間的聯(lián)系是不清晰的。本環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)了問(wèn)題情境，讓學(xué)生通過(guò)口算說(shuō)理、比較分類，理解小數(shù)四則運(yùn)算的意義，體會(huì)小數(shù)和整數(shù)四則運(yùn)算意義的一致性，在查漏補(bǔ)缺的同時(shí)溫故知新。]

2.復(fù)習(xí)四則運(yùn)算的方法

【片段1】 猜一猜，引出四則運(yùn)算

師今天老師帶來(lái)了兩個(gè)小數(shù)。（板書：6.12○0.6）我對(duì)這兩個(gè)小數(shù)進(jìn)行了一次運(yùn)算，得到一個(gè)答案，就藏在這個(gè)信封中?，F(xiàn)在請(qǐng)你猜一猜：我計(jì)算出的答案是多少呢？先把你猜的答案和組內(nèi)同學(xué)交流一下，說(shuō)說(shuō)你是怎么猜的。

教師根據(jù)學(xué)生的反饋，依次板書4個(gè)答案“6.72、5.52、3.672、10.2”及相應(yīng)的運(yùn)算符號(hào)。

師那到底誰(shuí)猜對(duì)了呢？想不想知道？

出示答案：3.672。

[說(shuō)明：復(fù)習(xí)課也應(yīng)注重設(shè)疑激趣，以趣味性的復(fù)習(xí)形式激發(fā)學(xué)生的積極性。本環(huán)節(jié)通過(guò)“猜一猜”游戲，讓學(xué)生主動(dòng)參與小數(shù)四則運(yùn)算，為接下來(lái)的復(fù)習(xí)做好充分準(zhǔn)備。]

【片段2】 辨一辨，厘清原理聯(lián)系

（1）小數(shù)加法、減法運(yùn)算

師如果對(duì)這兩個(gè)小數(shù)做加法或減法計(jì)算，這兩個(gè)答案對(duì)嗎？

展示學(xué)生的加、減法筆算豎式。

師我們已經(jīng)知道加法和減法的意義不同，但在計(jì)算中有沒(méi)有相同之處？或者，關(guān)于小數(shù)加、減法的運(yùn)算，你還有什么想和大家分享的？

預(yù)設(shè)：小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊（相同數(shù)位對(duì)齊）;加法計(jì)算最后結(jié)果中，小數(shù)末尾的0要去掉;減法計(jì)算時(shí)，被減數(shù)哪位上沒(méi)有數(shù)就填0來(lái)計(jì)算。

板書：小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。

師數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是講道理的，算法大家都說(shuō)得很清楚了，算法背后的道理究竟是什么？今天，我們不妨請(qǐng)出計(jì)數(shù)器，看看能否在計(jì)數(shù)器上講明白這個(gè)道理。

師（出示計(jì)數(shù)器和算式“6.12+0.6”）0.6應(yīng)該怎么撥？為什么？

預(yù)設(shè)：6個(gè)0.1和1個(gè)0.1相加，得7個(gè)0.1，所以結(jié)果是6.72。

師（出示變式“6.12+0.06”）0.06在計(jì)數(shù)器上怎么撥？為什么？

預(yù)設(shè)：6個(gè)0.01和2個(gè)0.01相加，得8個(gè)0.01，所以結(jié)果是6.18。

師 （出示變式“6.12-0.6”）再來(lái)看這道減法算式，這個(gè)0.6又該怎么撥？為什么？

預(yù)設(shè)：11個(gè)0.1去掉6個(gè)0.1，得5個(gè)0.1，結(jié)果就是5.52。

師（出示變式“612-6”）這個(gè)6在計(jì)數(shù)器上怎么撥？豎式怎么列？為什么？

預(yù)設(shè)：12個(gè)一去掉6個(gè)一，得6個(gè)一，所以結(jié)果是606;末尾對(duì)齊，低位算起。

師如果變成加法呢？

預(yù)設(shè)：也是末尾對(duì)齊，將2個(gè)一和6個(gè)一相加。

師同學(xué)們，溫故而知新，學(xué)到這里，你們對(duì)小數(shù)加、減法運(yùn)算有什么新的認(rèn)識(shí)或收獲？

預(yù)設(shè)：小數(shù)加、減法和整數(shù)加、減法計(jì)算的道理是一樣的，都要做到相同數(shù)位對(duì)齊，也就是相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加、減;小數(shù)加、減法和整數(shù)加、減法計(jì)算的道理都可以在計(jì)數(shù)器上講明白。

教師根據(jù)學(xué)生的回答，小結(jié)并逐步完善板書。

師是呀，剛剛我們借助計(jì)數(shù)器從計(jì)數(shù)單位的角度理解了加、減法計(jì)算的道理，發(fā)現(xiàn)小數(shù)加、減法和整數(shù)加、減法的道理是一樣的，都要做到相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加、減。

板書：相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加、減。

[說(shuō)明：本環(huán)節(jié)直接從小數(shù)加、減法算法之間的共同點(diǎn)著手，先引導(dǎo)學(xué)生比較豎式，得到小數(shù)加、減法算法的一致性;接著，通過(guò)“算法背后的道理究竟是什么？”這一設(shè)問(wèn)，引發(fā)學(xué)生積極思考，并借助計(jì)數(shù)器從計(jì)數(shù)單位的角度理解算理。通過(guò)三次變式，學(xué)生在比較中明理，不僅深度理解了小數(shù)加、減法的算理，而且溝通了小數(shù)加、減法和整數(shù)加、減法之間的聯(lián)系——都要做到“相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加、減”。最后，通過(guò)反思交流，學(xué)生在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上有所提升，再一次溫故知新。]

（2）小數(shù)乘法、除法運(yùn)算

師原來(lái)吳老師對(duì)這兩個(gè)小數(shù)進(jìn)行了乘法計(jì)算，又該怎么計(jì)算呢？誰(shuí)來(lái)介紹一下？

出示學(xué)生的乘法算式。

預(yù)設(shè)：豎式末尾對(duì)齊，先不看小數(shù)點(diǎn)，算612乘6等于3672，最后從右向左數(shù)出三位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

師同學(xué)們，此刻你們對(duì)小數(shù)乘法的計(jì)算有什么問(wèn)題要問(wèn)？

預(yù)設(shè)：小數(shù)乘法為什么不是小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，而是末尾對(duì)齊？為什么對(duì)最后的結(jié)果要數(shù)出三位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)？

師同學(xué)們的問(wèn)題都很有價(jià)值，吳老師也想知道答案，誰(shuí)能答疑解惑呢？

預(yù)設(shè)：小數(shù)點(diǎn)不看，就是先按整數(shù)乘法計(jì)算，所以只要末尾對(duì)齊。

預(yù)設(shè)：不看小數(shù)點(diǎn)，就是把6.12擴(kuò)大100倍，0.6擴(kuò)大10倍，積就擴(kuò)大1000倍。最后，要把積相應(yīng)地縮小，所以要從右向左數(shù)出三位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

師看來(lái)，小數(shù)乘法是根據(jù)積的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法來(lái)計(jì)算的。那么，如果也從計(jì)數(shù)單位的角度看，是否也能說(shuō)明白它的計(jì)算道理呢？

全班交流，教師同步出示課件，見圖1。

師最后還有同學(xué)猜吳老師進(jìn)行了除法計(jì)算，答案是10.2。（出示學(xué)生的除法算式）同學(xué)們，此時(shí)你們對(duì)小數(shù)除法的計(jì)算又有什么問(wèn)題要問(wèn)？

預(yù)設(shè)：商的小數(shù)點(diǎn)為什么要和轉(zhuǎn)化后被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊？是否也和計(jì)數(shù)單位有關(guān)？

師同學(xué)們真會(huì)學(xué)習(xí)，問(wèn)題越提越有價(jià)值，那誰(shuí)來(lái)發(fā)表一下自己的觀點(diǎn)？

預(yù)設(shè)：1.2表示12個(gè)0.1，除以6得到的2就表示2個(gè)0.1，所以要和轉(zhuǎn)化后61.2的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。

師看來(lái)，可以將除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法計(jì)算。計(jì)算時(shí)，每一步的思路都與整數(shù)除法相同，只要確定好商的小數(shù)點(diǎn)位置。

[說(shuō)明：本環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)方法的遷移，大膽提出想法或質(zhì)疑。重點(diǎn)圍繞學(xué)生提出的“小數(shù)乘法為什么要末尾對(duì)齊？”和“商的小數(shù)點(diǎn)為什么要和轉(zhuǎn)化后被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊？”這兩個(gè)核心問(wèn)題討論交流，從“積的變化規(guī)律”和“商不變的規(guī)律”的角度梳理小數(shù)乘、除法計(jì)算的依據(jù)，在轉(zhuǎn)化中找聯(lián)系。但這顯然不夠，因?yàn)檫€未觸及小數(shù)乘、除法計(jì)算背后的道理。因此，嘗試通過(guò)數(shù)形結(jié)合，也從計(jì)數(shù)單位的角度幫助學(xué)生理解小數(shù)乘法的算理。相比小數(shù)的加、減法，雖有難度，但大部分學(xué)生還是能借助圖形看到算理的本質(zhì)，這也是一種“新”得。而對(duì)于小數(shù)除法的算理，考慮到難度和時(shí)間，不宜面面俱到，需要合理取舍。]

3.縱橫結(jié)合找聯(lián)系

師通過(guò)剛剛的梳理，你對(duì)小數(shù)加、減、乘、除有了哪些更深入的理解或新的收獲？小數(shù)四則運(yùn)算和整數(shù)四則運(yùn)算之間有怎樣的聯(lián)系？

根據(jù)學(xué)生的回答，逐步完善板書。

[說(shuō)明：復(fù)習(xí)課最重要的功能，就是引導(dǎo)學(xué)生將零散的、孤立的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，串點(diǎn)連線，連線成網(wǎng)，使學(xué)生在梳理知識(shí)的過(guò)程中建構(gòu)知識(shí)體系。本環(huán)節(jié)，通過(guò)回顧梳理，使學(xué)生縱向、橫向或縱橫結(jié)合地找聯(lián)系，就像串珠子一樣，把一粒粒散落的珠子串成一條美麗的項(xiàng)鏈。珠子是舊的，項(xiàng)鏈?zhǔn)切碌?，溫故知新，讓知識(shí)得到深化。]

（三）鞏固應(yīng)用，融會(huì)貫通

師（出示算式，見圖2）找出得數(shù)相等的算式，并連一連。

師這里的小數(shù)乘法都是先算3×24，因此只要看乘數(shù)一共有幾位小數(shù)，如果位數(shù)相同，那么結(jié)果肯定相等;除數(shù)是小數(shù)的除法先轉(zhuǎn)換成除數(shù)是整數(shù)的除法，再計(jì)算。

師（出示“今日油價(jià)”，見圖3）吳老師的車加92號(hào)汽油，要加30升汽油，帶200元夠嗎？你是怎么想的？那200元究竟能加多少升油呢？得數(shù)保留一位小數(shù)。如果要換成同樣數(shù)量的95號(hào)汽油，大約多付多少錢？

[說(shuō)明：復(fù)習(xí)課不僅要對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理，還要注重知識(shí)的應(yīng)用，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。因此，教師要有針對(duì)性地設(shè)計(jì)練習(xí)，兼顧靈活性和綜合性，引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)的過(guò)程中整合數(shù)學(xué)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。]

（四）全課總結(jié)，拓展延伸

師同學(xué)們，這節(jié)課我們是怎樣復(fù)習(xí)的？你們有什么收獲？

師我們研究了整數(shù)、小數(shù)的四則運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)了兩者之間的緊密聯(lián)系。猜猜今后的學(xué)習(xí)中我們還將研究什么四則運(yùn)算？（板書：分?jǐn)?shù)）那么，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和整數(shù)四則運(yùn)算是否也會(huì)有聯(lián)系？和小數(shù)四則運(yùn)算呢？這些問(wèn)題有待同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中繼續(xù)研究。

[說(shuō)明：課尾，組織學(xué)生回顧反思復(fù)習(xí)過(guò)程，梳理復(fù)習(xí)方法，關(guān)聯(lián)整數(shù)與小數(shù)四則運(yùn)算的意義、算法、算理。這有助于學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的整體建構(gòu)。同時(shí)，引出分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，激起學(xué)生的思考，讓學(xué)習(xí)方法得到延伸。]

二、教學(xué)思考

一節(jié)有質(zhì)量的復(fù)習(xí)課，要做好三件事，即查漏補(bǔ)缺、織線成網(wǎng)、溫故知新。有人形象地將其比喻成“打補(bǔ)丁”“串珠子”“開窗子”。三者協(xié)同推進(jìn)，便是開展深度學(xué)習(xí)的路徑。據(jù)此，本節(jié)課的教學(xué)思路如下：

（一）創(chuàng)設(shè)氛圍，引發(fā)深度參與

深度參與是深度學(xué)習(xí)的前提。課始，從談話引入，讓學(xué)生同桌交流課前自主復(fù)習(xí)內(nèi)容，進(jìn)而明確本課學(xué)習(xí)任務(wù)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性;課中，創(chuàng)設(shè)“猜一猜”活動(dòng)，活躍課堂氛圍，吸引注意，有助于學(xué)生保持積極的復(fù)習(xí)狀態(tài)，從而主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)中來(lái)。

（二）縱橫聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)深度建構(gòu)

深度學(xué)習(xí)關(guān)注知識(shí)的結(jié)構(gòu)，注重培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維，而復(fù)習(xí)課則是培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的極佳載體。透過(guò)結(jié)構(gòu)化的視角引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)查漏補(bǔ)缺、歸納整理，能使學(xué)生把握知識(shí)的本質(zhì)，逐步形成數(shù)學(xué)知識(shí)的體系，凸顯整體性、一致性。首先，關(guān)注橫向聯(lián)系的結(jié)構(gòu)。本課教學(xué)抓住“計(jì)數(shù)單位”這個(gè)核心概念，借助計(jì)數(shù)器和圖形，引導(dǎo)學(xué)生深度理解小數(shù)四則運(yùn)算方法背后的道理，橫向溝通了小數(shù)加、減、乘、除運(yùn)算的本質(zhì)，也就是計(jì)算計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。其次，關(guān)注縱向聯(lián)系的結(jié)構(gòu)。本課教學(xué)注重引導(dǎo)學(xué)生比較小數(shù)運(yùn)算和整數(shù)運(yùn)算，在比較中尋找、體會(huì)共性。小數(shù)加、減法，從本質(zhì)上找聯(lián)系，即相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)直接相加、減;小數(shù)乘、除法從轉(zhuǎn)化中找聯(lián)系，都是轉(zhuǎn)化成相關(guān)的整數(shù)運(yùn)算。

（三）注重回顧，促進(jìn)深度反思

從復(fù)習(xí)的角度看，學(xué)生在深度建構(gòu)的過(guò)程中，需要通過(guò)深度反思理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，而學(xué)生的反思應(yīng)貫穿于全部數(shù)學(xué)活動(dòng)的始終。課中，基于“通過(guò)剛剛的梳理，你對(duì)小數(shù)加、減、乘、除有了哪些更深入的理解或新的收獲？”這個(gè)問(wèn)題，從梳理四則運(yùn)算的意義，到回顧小數(shù)加、減法的算法，再到回顧小數(shù)乘、除法的算法，最后到小結(jié)，都在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度反思，有助于學(xué)生從知識(shí)整體性、一致性的高度，用統(tǒng)整的思維，理解知識(shí)的本質(zhì)。