摘要： 本文中結(jié)合“平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示”的教學(xué)實(shí)踐，給出了五個(gè)主要教學(xué)環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)及其分析，最后從“三個(gè)理解”和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行總結(jié)和反思.

關(guān)鍵詞：三個(gè)理解;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)量積坐標(biāo)表示;問(wèn)題驅(qū)動(dòng);變式訓(xùn)練;案例分析

1 引言

辛丑孟春三月，市教研室專家馮斌一行來(lái)我校指導(dǎo)教學(xué)工作，學(xué)校安排筆者執(zhí)教調(diào)研課“平面向量基本定理及坐標(biāo)表示”. 本節(jié)課良好的教學(xué)效果給專家、教師留下了較為深刻的印象，現(xiàn)將這節(jié)課的課堂實(shí)錄與教學(xué)感悟整理成文，與同行共饗.

2? 教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)錄

2.1 復(fù)習(xí)回顧，推陳出新

師：同學(xué)們，我們先回顧一下上節(jié)課的內(nèi)容，請(qǐng)大家完成表格（表1）.

師：大家要注意兩點(diǎn).一是i，j的長(zhǎng)度均為1，而且是垂直正交關(guān)系;二是終點(diǎn)減去起點(diǎn)的向量坐標(biāo)和向量減法的區(qū)別.請(qǐng)問(wèn)我們一共學(xué)習(xí)了幾種向量運(yùn)算？

生1：兩類四種，分別是加法、減法、數(shù)乘三種線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算.

師：向量的加法、減法、數(shù)乘都有了坐標(biāo)表示，很自然地要問(wèn)，數(shù)量積有嗎？

設(shè)計(jì)意圖：孔子曰：“溫故而知新，可以為師矣.”由于數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)邏輯性、規(guī)律性較強(qiáng)，教材的編排又是按由淺入深，由易到難的原則編寫的，因此很多新知識(shí)都是建立在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上的.先復(fù)習(xí)與本節(jié)課有聯(lián)系的坐標(biāo)及加減、數(shù)乘的坐標(biāo)表示等舊知，再由舊知引出數(shù)量積的坐標(biāo)表示，水到渠成不突兀，順理成章很自然，而且有前面知識(shí)作為遷移，有利于學(xué)生更快地接受數(shù)量積的坐標(biāo)表示，加強(qiáng)了新舊知識(shí)間的聯(lián)系，同時(shí)也使得整節(jié)課結(jié)構(gòu)緊密.這里還強(qiáng)調(diào)i，j的模長(zhǎng)、垂直關(guān)系，以及兩種減法的區(qū)別等學(xué)生易混淆的知識(shí)點(diǎn)，為本節(jié)課內(nèi)容的有序展開打下基礎(chǔ)，做好鋪墊.

2.2 示范引領(lǐng)，探究發(fā)現(xiàn)

師：平面向量的數(shù)量積能否用坐標(biāo)表示？

問(wèn)題1已知a=x1，y1，b=x2，y2，怎樣用a與b的坐標(biāo)表示a·b呢？

問(wèn)題2我們給出的結(jié)果是符號(hào)語(yǔ)言，你能用文字語(yǔ)言表述此結(jié)論嗎？

設(shè)計(jì)意圖：教材中直接讓學(xué)生探求兩個(gè)向量的數(shù)量積與這兩個(gè)向量的坐標(biāo)的關(guān)系，學(xué)生不容易想到用i，j表示a，b.因此，在問(wèn)題1下方補(bǔ)充向量a的坐標(biāo)表示的示意圖（如圖1），一來(lái)為學(xué)生的困難之處指明方向，二來(lái)也體現(xiàn)向量集數(shù)形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性，用它研究問(wèn)題時(shí)可以實(shí)現(xiàn)形象思維與抽象思維的有機(jī)結(jié)合的特點(diǎn).《述而》云：“不憤不啟，不悱不發(fā).”先引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，嘗試推導(dǎo)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示形式，體會(huì)知識(shí)的形成過(guò)程.接著， 針對(duì)問(wèn)題1解決的關(guān)鍵——運(yùn)用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算a·b=x1i+y1j·x2i+y2j（*），以及i·i=1，j·j=1，i·j=0，點(diǎn)撥學(xué)生突破難點(diǎn).在學(xué)生的參與下板書推導(dǎo)過(guò)程， 師生共同分享成果， 從而形成知識(shí)的自主建構(gòu)，達(dá)到新知識(shí)的自然過(guò)渡.問(wèn)題2旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化能力，由符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言，強(qiáng)調(diào)“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，幫助學(xué)生加深對(duì)公式的記憶.

2.3 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，交流討論

師：我們已經(jīng)得到平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，請(qǐng)同學(xué)們先獨(dú)立思考，然后分小組討論，完成以下4個(gè)問(wèn)題后再交流結(jié)果.

問(wèn)題3若a=x，y，你能根據(jù)所學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出a的長(zhǎng)度嗎？

問(wèn)題4若表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1，y1，x2，y2，則a=??????? ，a=??????? .

問(wèn)題5已知a=x1，y1，b=x2，y2，怎樣用向量

a，b的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量垂直的條件？

問(wèn)題6已知a=x1，y1，b=x2，y2，怎樣用向量的坐標(biāo)表示這兩個(gè)平面向量夾角的余弦值？

追問(wèn)：從邏輯關(guān)系上講，x1x2+y1y2=0是a⊥b的什么條件？

在學(xué)生交流討論的過(guò)程中，教師巡視指導(dǎo)，觀察發(fā)現(xiàn)他們書寫所暴露出來(lái)的問(wèn)題，如向量箭頭未加、a·b點(diǎn)乘符號(hào)遺漏、求模長(zhǎng)未開根號(hào)等，并及時(shí)針對(duì)這些細(xì)節(jié)強(qiáng)調(diào)說(shuō)明，分別就四個(gè)問(wèn)題請(qǐng)四位同學(xué)回答，教師補(bǔ)充完善.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、掌握技能以及獲取信息固然重要，但更重要的是要“學(xué)會(huì)思考”“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”，懂得如何掌握與運(yùn)用知識(shí)、技能和信息，在“學(xué)會(huì)”中達(dá)到“會(huì)學(xué)”.因此，教師在課堂教學(xué)中要為學(xué)生搭設(shè)合理的平臺(tái)和“腳手架”，指導(dǎo)學(xué)生攀爬探索，從而真正成為為學(xué)生開啟知識(shí)大門的引路人.數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程是數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，也是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程.讓學(xué)生“動(dòng)起來(lái)”是產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的關(guān)鍵，而學(xué)生活動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力就來(lái)源于問(wèn)題.此環(huán)節(jié)中筆者采用問(wèn)題串的形式展開教學(xué)，圍繞著平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)計(jì)了4個(gè)具有一定思維價(jià)值的問(wèn)題組成問(wèn)題串，以問(wèn)題為載體呈現(xiàn)并作為任務(wù)驅(qū)動(dòng)，學(xué)生在分析問(wèn)題、探究問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)、吸收、應(yīng)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示新知識(shí)，使教學(xué)變“告訴”為“探索”，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的“自然生成”.

2.4 深入探索，實(shí)踐應(yīng)用

例1已知向量a=2，-1，b=1，-1.

（1）a·b=??????? ;

（2）向量a與b的夾角的余弦值等于 ;

（3）a+2b·a-3b=????? ;

（4）3a+b=????? ;

（5）若向量a+λb與a垂直，則λ= .

設(shè)計(jì)意圖：此例為筆者自擬.北師大鐘善基先生把數(shù)學(xué)題目按其作用分為七類，其中兩類分別為“單純?yōu)槭箤W(xué)生熟悉新學(xué)到的公式、法則、作圖法的使用對(duì)象和使用條件以及運(yùn)用技能的題目”“新舊知識(shí)結(jié)合運(yùn)用的計(jì)算題和作圖題”.本題前兩問(wèn)就屬于前一類，直接運(yùn)用相關(guān)結(jié)論即可;后三問(wèn)既要用到向量加減、數(shù)乘的坐標(biāo)表示等舊知，又要用到向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，稍微綜合一些，屬于后一類.在實(shí)際教學(xué)中，有部分學(xué)生對(duì)第（3），第（4）問(wèn)采取先展開后用坐標(biāo)計(jì)算從而形成新的解法，比如第（4）問(wèn)，先對(duì)3a+b平方，再開根號(hào)得3a+b=65;也有部分學(xué)生直接運(yùn)用數(shù)量積的定義式計(jì)算，從而在計(jì)算夾角的余弦值時(shí)“遭受挫折”，教師及時(shí)指明問(wèn)題癥結(jié)所在.本題設(shè)計(jì)問(wèn)題立足于學(xué)生的基礎(chǔ)，遵循循序漸進(jìn)的原則，由易到難.對(duì)于難度較大的問(wèn)題，先鋪墊一些類似“梯子”“緩坡”的問(wèn)題，可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，使他們更主動(dòng)地接受新知識(shí).

例2若點(diǎn)A1，2，B2，3，C-2，5，則△ABC是什么形狀？證明你的猜想.

變式訓(xùn)練（1）若AB·AC<0，則△ABC是什么形狀？

（2）若AB·AC>0，則△ABC是什么形狀？

問(wèn)題7已知a，b均為非零向量，辨析判斷：

（1）若a·b=0，則向量a與b的夾角為直角;

（2）若a·b>0，則向量a與b的夾角為銳角;

（3）若a·b<0，則向量a與b的夾角為鈍角.

設(shè)計(jì)意圖：例2為筆者根據(jù)教材中的例10改編，屬于利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷平面圖形的形狀問(wèn)題.教師先引導(dǎo)學(xué)生作出草圖，進(jìn)行直觀判定，再去證明.學(xué)生證明此三角形為直角三角形主要是利用AB，AC的數(shù)量積為零，或者先計(jì)算三條邊對(duì)應(yīng)向量的模長(zhǎng)，再利用勾股定理進(jìn)行證明.變式訓(xùn)練和問(wèn)題7主要針對(duì)學(xué)生可能會(huì)犯“由AB·AC>0得到△ABC為銳角三角形”等錯(cuò)誤而設(shè)計(jì)的.明代學(xué)者陳獻(xiàn)章說(shuō)過(guò)：“學(xué)起于思，思源于疑.”對(duì)于學(xué)生易錯(cuò)、易混淆的知識(shí)點(diǎn)，教師可以采用變式訓(xùn)練的方式將這些知識(shí)整合到一起進(jìn)行比較分析，在認(rèn)知沖突處誘導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生深層次思考，借錯(cuò)設(shè)問(wèn)，以問(wèn)糾錯(cuò)，以問(wèn)堵漏.通過(guò)教師設(shè)問(wèn)繼續(xù)深入挖掘探究，學(xué)生在新問(wèn)題的思考和解決中能夠更加深刻地理解并內(nèi)化概念或方法，從而達(dá)到觸類旁通，舉一反三的目的，也有助于培養(yǎng)質(zhì)疑品質(zhì)，進(jìn)而提高自主學(xué)習(xí)的能力.

2.5 文理交融，提升小結(jié)

師：請(qǐng)同學(xué)們完成下列表格（表2）.

師：我們驚奇地發(fā)現(xiàn)借助向量坐標(biāo)，既可以解決向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，也能夠表示向量共線、垂直及夾角等問(wèn)題，向量坐標(biāo)真是“威力無(wú)窮”.為此老師模仿唐朝詩(shī)人白居易寫了一首《憶坐標(biāo)》：

坐標(biāo)好，用處真不少.加減乘積皆好用，共線模角俱應(yīng)手.能不憶坐標(biāo)？

設(shè)計(jì)意圖：特級(jí)教師文衛(wèi)星老師說(shuō)過(guò)，上一節(jié)自己滿意的課，需要把握好“三個(gè)度”即“知識(shí)適度，思想高度，文化厚度”.教師傳授給學(xué)生的不僅是“知”，更重要的是“識(shí)”.下課前的小結(jié)用精練、優(yōu)美的語(yǔ)言把本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容、方法等提升了思想高度，發(fā)展學(xué)生對(duì)向量坐標(biāo)表示的整合、詮釋的能力，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，既能緩解緊張、沉悶的課堂氣氛，讓學(xué)生在輕松愉悅的環(huán)境下學(xué)習(xí)，還可以幫助學(xué)生理解、記憶所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，潛移默化、潤(rùn)物無(wú)聲中提高了學(xué)生的思想境界和文化修養(yǎng)，陶冶學(xué)生情操，達(dá)到以知促情，知情結(jié)合的目的.

3 教學(xué)反思感悟

3.1 優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)必須厚植“三個(gè)理解”

人教社章建躍先生提出“三個(gè)理解”，即理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué).理解數(shù)學(xué)就是要把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，特別是對(duì)教學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法要有深入理解.向量是近代數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，兼具幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，并且擁有一套優(yōu)良的運(yùn)算系統(tǒng)，即坐標(biāo)表示，成為溝通代數(shù)與幾何的“重要工具”和“橋梁”.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示就是運(yùn)用坐標(biāo)這一量化工具表達(dá)向量的數(shù)量積運(yùn)算，為研究平面中的距離、垂直、角度等問(wèn)題提供了全新的手段.理解學(xué)生就是要全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維規(guī)律，把握學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)、知識(shí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)方式和習(xí)慣.在本節(jié)課中，針對(duì)新授向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示內(nèi)容與學(xué)生已有加減、數(shù)乘的坐標(biāo)表示等舊知數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，設(shè)置復(fù)習(xí)導(dǎo)入環(huán)節(jié)，又根據(jù)當(dāng)前知識(shí)（平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示）與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的距離，在學(xué)生的思維“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)設(shè)置問(wèn)題1～7，從而激發(fā)學(xué)生求知欲、激活學(xué)生思維，使學(xué)生的心理保持積極的、適度的求知傾向，還聚焦學(xué)生向量書寫細(xì)節(jié)問(wèn)題，對(duì)易錯(cuò)、易混和疑惑點(diǎn)專門進(jìn)行強(qiáng)調(diào)和分析，有的放矢地進(jìn)行教學(xué).理解教學(xué)就是要把握教學(xué)的基本規(guī)律，按教學(xué)規(guī)律辦事.教學(xué)的本質(zhì)在于喚醒，教學(xué)的本體在于對(duì)話，教學(xué)的本然在于追求學(xué)生“自明”.數(shù)學(xué)教學(xué)離不開探究過(guò)程，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)讓學(xué)生在做中學(xué)、學(xué)中做，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，在本節(jié)課教學(xué)過(guò)程中也充分注意學(xué)生在獨(dú)立思考基礎(chǔ)上的合作交流，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，凡是學(xué)生自己能做的，大膽放手讓他們獨(dú)立完成，教師不可越俎代庖，包辦代替.

3.2 優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)必須篤行核心素養(yǎng)

特級(jí)教師渠東劍認(rèn)為教學(xué)設(shè)計(jì)要高屋建瓴：以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以思想方法為重點(diǎn)，以知識(shí)落實(shí)為載體.從學(xué)生學(xué)習(xí)角度看，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的建構(gòu)過(guò)程，主要體現(xiàn)出以下幾種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：（1）直觀想象——從向量a的坐標(biāo)表示的直觀示意圖中獲得靈感，將向量的坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)形式;（2）數(shù)學(xué)運(yùn)算——從數(shù)量積運(yùn)算，對(duì)（*）式的分析處理，只有正確掌握運(yùn)算法則，才能求得正確的運(yùn)算結(jié)果;（3）邏輯推理——從數(shù)量積的坐標(biāo)表示推理得出模長(zhǎng)、距離、垂直、夾角等一系列的結(jié)果.古人云：“授人以魚，不如授人以漁.”從某種意義上來(lái)說(shuō)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)比單純傳授知識(shí)重要，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)決定著他們的發(fā)展水平.在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，關(guān)鍵是讓學(xué)生參與到卓有成效的數(shù)學(xué)活動(dòng)中來(lái)，在關(guān)鍵的地方堅(jiān)持讓學(xué)生獨(dú)立思考，讓學(xué)生扎扎實(shí)實(shí)地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納演繹、討論分析、抽象概括、反思建構(gòu)等數(shù)學(xué)思維的基本過(guò)程.

正所謂“三個(gè)理解百般好，核心素養(yǎng)不可少.抽絲剝繭拓思維，直擊內(nèi)核顯真章”.

參考文獻(xiàn)：

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