張浩

【摘 要】隨著課程標(biāo)準(zhǔn)及高考評(píng)價(jià)體系的頒布，數(shù)學(xué)文化試題在高考數(shù)學(xué)中受到廣泛關(guān)注。文章從知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂(lè)和多元文化五個(gè)維度對(duì)兩道與圓有關(guān)的高考數(shù)學(xué)試題的內(nèi)涵進(jìn)行分析，追溯其背景，并以這兩道題為例對(duì)數(shù)學(xué)文化試題的賞析和運(yùn)用進(jìn)行闡述。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)文化試題；高考數(shù)學(xué)；割圓術(shù)；會(huì)圓術(shù)

數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出數(shù)學(xué)文化包括數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)［1］，并在命題原則中指出融入數(shù)學(xué)文化。在中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系中，數(shù)學(xué)文化與理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索一同作為高考數(shù)學(xué)學(xué)科的四大學(xué)科素養(yǎng)。近年來(lái)，高考數(shù)學(xué)試題在滲透數(shù)學(xué)文化方面做出了示范，關(guān)于數(shù)學(xué)文化試題的研究也受到廣泛關(guān)注。

數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵豐富多彩，汪曉勤教授和余慶純博士基于數(shù)學(xué)史將數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵分為五個(gè)維度——知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂(lè)和多元文化。知識(shí)源流指的是在某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的歷史演進(jìn)過(guò)程中，涉及的人物與事件、概念與術(shù)語(yǔ)、問(wèn)題與求解、命題與證明等；學(xué)科聯(lián)系指的是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的密切聯(lián)系；社會(huì)角色指的是數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的價(jià)值、貢獻(xiàn)與意義；審美娛樂(lè)指的是數(shù)學(xué)美（包括對(duì)稱美、奇異美、簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美等）與趣味數(shù)學(xué)，展現(xiàn)出人類對(duì)美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)、智力好奇、趣味娛樂(lè)的追求；多元文化指的是不同時(shí)期、不同文明、不同地域的數(shù)學(xué)家在同一數(shù)學(xué)課題上的貢獻(xiàn)，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)。［2-4］

圓是能展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美、體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的一個(gè)代表。在古代文明中，都可以找到對(duì)圓所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)的探索，如圓（或圓弧、扇形等）的周長(zhǎng)、面積或圓周率等。與圓、圓周率有關(guān)的試題在高考數(shù)學(xué)試卷中曾多次出現(xiàn)，如2010年湖北卷理科第7題、2017年浙江卷理科第11題、2020年北京卷第10題的命題背景與“割圓術(shù)”有關(guān)，2012年湖北卷理科第10題、2014年湖北卷理科第8題、2016年全國(guó)Ⅱ卷理科第10題與圓周率的近似值有關(guān)，2022年全國(guó)甲卷理科第8題的命題背景是“會(huì)圓術(shù)”。這些素材弘揚(yáng)了我國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

本文借鑒上述分類框架對(duì)其中兩道與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)文化高考試題的內(nèi)涵進(jìn)行分析，并對(duì)其中涉及的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行溯源，最后對(duì)數(shù)學(xué)文化試題的賞析和運(yùn)用進(jìn)行簡(jiǎn)要闡述。

一、兩道與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)文化試題的內(nèi)涵

例1 （2020年北京卷第10題）2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（[π] Day）。歷史上，求圓周率[π]的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似。數(shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長(zhǎng)和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2[π]的近似值。按照阿爾·卡西的方法，[π]的近似值的表達(dá)式是（? ）

A. 3n[sin30°n+tan30°n]

B. 6n[sin30°n+tan30°n]

C. 3n[sin60°n+tan60°n]

D. 6n[sin60°n+tan60°n]

該題的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵豐富，以全球首個(gè)國(guó)際數(shù)學(xué)日為背景，結(jié)合中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中的“割圓術(shù)”及數(shù)學(xué)家阿爾·卡西計(jì)算圓周率的方法，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)“近似計(jì)算”之美，將美育教育融入數(shù)學(xué)教育。

從知識(shí)源流方面來(lái)說(shuō)，自古以來(lái)，圓周率及其計(jì)算就是數(shù)學(xué)家們研究和探索的關(guān)注點(diǎn)。該題以數(shù)學(xué)史作為試題背景，介紹了中外歷史上求圓周率近似值的兩種不同方式，提及了中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”，其源頭在劉徽注《九章算術(shù)》中，而阿爾·卡西的算法源自其著作《論圓周》，這兩部著作在數(shù)學(xué)史上都具有重大意義。許多著作對(duì)“割圓術(shù)”進(jìn)行了詳細(xì)的介紹［5-9］。

從社會(huì)角色方面來(lái)說(shuō)，該題介紹了國(guó)際數(shù)學(xué)日。2011年3月14日，國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)宣布將每年的3月14日設(shè)為國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié)。2019年11月26日，聯(lián)合國(guó)教科文組織在第四十屆大會(huì)上正式宣布將每年的3月14日定為國(guó)際數(shù)學(xué)日。該項(xiàng)目由國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟（IMU）發(fā)起，每年確定一個(gè)主題，并號(hào)召全球在3月14日圍繞主題組織各項(xiàng)活動(dòng)來(lái)慶祝數(shù)學(xué)帶來(lái)的樂(lè)趣。2020年3月14日是首個(gè)國(guó)際數(shù)學(xué)日，其主題是“數(shù)學(xué)無(wú)處不在”，2021年國(guó)際數(shù)學(xué)日的主題是“數(shù)學(xué)讓世界更美好”，2022年國(guó)際數(shù)學(xué)日的主題是“萬(wàn)物皆數(shù)”。

從審美娛樂(lè)方面來(lái)說(shuō)，圓本身就極具美感，內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形具有對(duì)稱之美，在計(jì)算過(guò)程中還有相似之美，而劉徽的“割圓術(shù)”——“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”展現(xiàn)了極限之美，阿爾·卡西用高超的運(yùn)算能力構(gòu)造新的迭代算法，展現(xiàn)了計(jì)算之美。

從多元文化方面來(lái)說(shuō)，該題指出了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)由公元3世紀(jì)劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”與數(shù)學(xué)家阿爾·卡西計(jì)算圓周率的方法，既弘揚(yáng)了中國(guó)傳統(tǒng)文化，又引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注世界，學(xué)習(xí)世界燦爛的數(shù)學(xué)文化。阿爾·卡西的方法是用多邊形的周長(zhǎng)來(lái)逼近圓的周長(zhǎng)從而計(jì)算圓周率的近似值，阿基米德也利用類似“割圓術(shù)”的方法借助多邊形的周長(zhǎng)來(lái)求圓周率的近似值，而劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”是用圓的內(nèi)接正多邊形面積來(lái)逼近圓的面積從而計(jì)算圓周率的近似值，這也反映出在中國(guó)古代的幾何學(xué)中，重視考慮圖形的面積是一個(gè)突出的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)史專家卡爾·博耶認(rèn)為阿爾·卡西在求[π]的過(guò)程中使用的求解高次方程的方法可能源于中國(guó)。此外，從圓周率近似值的計(jì)算精度來(lái)看，阿爾·卡西在約1000年之后首次打破了由祖沖之計(jì)算出[π]為3.1415926的記錄。可惜的是，公元5世紀(jì)祖沖之所用的求法已經(jīng)散佚，李儼、錢寶琮等數(shù)學(xué)史學(xué)家認(rèn)為可能采用與劉徽“割圓術(shù)”相仿的辦法。［10］阿爾·卡西得到[π]的近似值首先是用六十進(jìn)制分?jǐn)?shù)表示的，后來(lái)將其轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制小數(shù)。十進(jìn)制小數(shù)是中國(guó)的傳統(tǒng)，六十進(jìn)制分?jǐn)?shù)則代表了巴比倫—希臘傳統(tǒng)［11］，這也反映了不同文化之間的聯(lián)系。

例2 （2022年全國(guó)甲卷理科第8題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖1，[AB]是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在[AB]上，CD⊥AB?！皶?huì)圓術(shù)”給出[AB]的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：s=AB+[CD2OA]。當(dāng)OA=2，∠AOB=60[°]時(shí)，s=（? ）

該題以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化為試題情境，具有積極的價(jià)值導(dǎo)向，考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與應(yīng)用能力，讓學(xué)生領(lǐng)略中華民族的智慧和數(shù)學(xué)研究成果，對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用形成更深刻的認(rèn)知，并能進(jìn)一步幫助學(xué)生樹(shù)立民族自信心和自豪感［12］。

從知識(shí)源流方面來(lái)說(shuō)，該題介紹了北宋時(shí)期科學(xué)家沈括在其晚年撰寫的科學(xué)巨著《夢(mèng)溪筆談》中的一個(gè)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)——“會(huì)圓術(shù)”，并給出了“會(huì)圓術(shù)”的現(xiàn)代表述?！皶?huì)圓術(shù)”是從計(jì)算田畝出發(fā)，考慮了圓弧、弦、矢的關(guān)系，提出了我國(guó)數(shù)學(xué)史上第一個(gè)由弦和矢求弧長(zhǎng)的簡(jiǎn)單實(shí)用的近似公式。

從學(xué)科聯(lián)系方面來(lái)說(shuō)，“會(huì)圓術(shù)”源于實(shí)際土地測(cè)量，有較大實(shí)用價(jià)值，且在天文計(jì)算中得到了應(yīng)用，是王恂、郭守敬進(jìn)一步探索圓、弧分割，開(kāi)辟通往球面三角學(xué)的起點(diǎn)。元代郭守敬在《授時(shí)歷》中使用的“弧矢割圓術(shù)”就用到了“會(huì)圓術(shù)”。

從社會(huì)角色方面來(lái)說(shuō)，沈括所著的《夢(mèng)溪筆談》被譽(yù)為中國(guó)科學(xué)技術(shù)史上的坐標(biāo)，內(nèi)容豐富，包括天文、歷法、數(shù)學(xué)、音樂(lè)、物理、化學(xué)、生物、地理、地質(zhì)、氣象、建筑、水利、醫(yī)學(xué)、軍事、科技發(fā)明等。在數(shù)學(xué)方面，他從實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)立了“隙積術(shù)”“會(huì)圓術(shù)”，并且這兩個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)在同一個(gè)筆記中。沈括影響了宋元數(shù)學(xué)的普及和提高，他創(chuàng)立的“隙積術(shù)”是楊輝、朱世杰發(fā)展高階等差數(shù)列求和的高次招差法的開(kāi)端。

二、兩道與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)文化試題的溯源

1. 重訪阿爾·卡西的算法

2020年北京卷第10題介紹了阿爾·卡西計(jì)算圓周率的方法，那么他到底是怎樣計(jì)算圓周率的？阿爾·卡西在計(jì)算圓周率時(shí)是否使用了三角函數(shù)？他把圓周率計(jì)算到多少位有效數(shù)字？在回答這些問(wèn)題之前，我們首先簡(jiǎn)單了解一下這位數(shù)學(xué)家。阿爾·卡西是15世紀(jì)初偉大的數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)學(xué)和天文學(xué)都做出了重要的貢獻(xiàn)。值得提及的是，他于1427年撰寫的著作《算術(shù)之鑰》中也出現(xiàn)了大家熟知的“賈憲—楊輝三角”，并且在歷史上首次給出了余弦定理的現(xiàn)代表述。

阿爾·卡西在其1424年完成的著作《論圓周》中，使用單位圓中互為相似的圓內(nèi)接正3[×]228邊形和外切正3[×]228邊形的周長(zhǎng)的算術(shù)平均值作為單位圓周長(zhǎng)的近似值，這個(gè)值是[2π]的近似值，其計(jì)算過(guò)程依賴于一個(gè)迭代公式和開(kāi)方算法，并非直接使用正弦函數(shù)和正切函數(shù)。在該書(shū)的第8節(jié)，阿爾·卡西給出了[2π]的近似值（6.2831853071795865）除以2得到圓周率[π=]3.1415926535897932，精確到小數(shù)點(diǎn)后16位。他給出的這個(gè)近似值比之前的數(shù)學(xué)家給出的更為精確，他還使用六十進(jìn)制和十進(jìn)制的形式給出了[2π]的近似值。

在西方，阿基米德就使用圓內(nèi)接多邊形和圓外切多邊形的周長(zhǎng)逼近圓周的方法來(lái)計(jì)算圓周率的近似值。與阿基米德不同的是，阿爾·卡西用幾何方式得到一種新的迭代算法，用現(xiàn)代符號(hào)表述如下。

如圖2，已知圓的直徑為AB，O為圓心，G0為半圓[AB]上一點(diǎn)，G1是弧[G0B]的中點(diǎn)，記半徑為r，則有AG12=r（2r+AG0）。

如圖3，若G2是弧[G1B]的中點(diǎn)，G3是弧[G2B]的中點(diǎn)，G4是弧[G3B]的中點(diǎn)，…，如此可以一直繼續(xù)下去使得Gn無(wú)限逼近點(diǎn)B，且弦AG1，AG2，AG3，…依次求出。在阿爾·卡西的著作《論圓周》中，迭代運(yùn)算是從圓內(nèi)接正6邊形開(kāi)始的。首先設(shè)弦AG0是圓內(nèi)接正6邊形的一條邊，在半徑為r的圓中，AG0=r，由此可用上面的方法依次迭代求出AG1，AG2，AG3，…的長(zhǎng)度。如圖4，BG0，BG1，BG2，…恰好是圓內(nèi)接正三角形、圓內(nèi)接正六邊形、圓內(nèi)接正十二邊形…的邊長(zhǎng)，這可以通過(guò)勾股定理得出，將其乘以邊數(shù)就得出圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)。當(dāng)Gn無(wú)限逼近B時(shí)，相應(yīng)的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)越接近圓的周長(zhǎng)。

根據(jù)阿爾·卡西的著作，他預(yù)設(shè)了所要求的圓周率的精度要求，即若有一個(gè)直徑為地球直徑600000倍的假想圓，使得通過(guò)此直徑所求得的圓周長(zhǎng)與真實(shí)值之間的誤差小于一根馬鬃的粗細(xì)。通過(guò)推算，阿爾·卡西得到如果用半徑為1的單位圓計(jì)算出滿足上述要求的圓周率必須精確到六十進(jìn)制分?jǐn)?shù)值的第9位，即60-9（相當(dāng)于10-16），在計(jì)算單位圓的內(nèi)接正3[×2n]邊形的邊長(zhǎng)[22-2+…+2+32]時(shí)，阿爾·卡西指出得到每次開(kāi)方都需要精確到60-18，隨后連續(xù)進(jìn)行28次開(kāi)方運(yùn)算，相當(dāng)于利用正3[×228]邊形來(lái)逼近圓周［13］。

我們可以追隨阿爾·卡西的算法思想，借助現(xiàn)代計(jì)算工具計(jì)算[π]的近似值，體驗(yàn)數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣。通過(guò)Python3進(jìn)行編程，在十進(jìn)制下，因?yàn)閘g60-18=-18lg60[≈]-32.006，所以每次開(kāi)方需要的精確度為小數(shù)點(diǎn)后33位。當(dāng)n=28時(shí)，程序給出的運(yùn)算結(jié)果為3.141592653589793221349237925199738，

小數(shù)點(diǎn)后前16位均正確，與阿爾·卡西給出的結(jié)果[π][≈]3.1415926535897932一致。

盡管用這種方法求圓周率近似值的效率比不上使用收斂級(jí)數(shù)算法的效率，但從歷史上看，圓周率的級(jí)數(shù)表達(dá)在16世紀(jì)末才由韋達(dá)首次提出，而阿爾·卡西的算法是利用經(jīng)典幾何與精巧開(kāi)方算法進(jìn)行計(jì)算的集大成者。這里依據(jù)史料用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)算法的原理進(jìn)行了“再創(chuàng)造”，借助信息技術(shù)重現(xiàn)了迭代算法。在教學(xué)中，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)類似問(wèn)題進(jìn)行探究，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生初步感受數(shù)值逼近這一數(shù)學(xué)思想，感悟?qū)W科魅力。

2.重訪沈括的“會(huì)圓術(shù)”

我國(guó)古代對(duì)圓的研究有輝煌的成就，沈括的“會(huì)圓術(shù)”給出了求弧長(zhǎng)的近似公式，為我國(guó)古代數(shù)學(xué)增添了新的光彩?！皶?huì)圓術(shù)”給出的近似公式是如何得到的呢？我們先看以下內(nèi)容。［14］

……履畝之法，方圓曲直盡矣，未有會(huì)圓之術(shù)。凡圓田既能拆之，須使會(huì)之復(fù)圓。古法惟以中破圓法拆之，其失有及三倍者。予別為拆會(huì)之術(shù)：置圓田，徑半之以為弦；又以半徑減去所割數(shù)，余者為股；各自乘，以股除弦，余者開(kāi)方除為句；倍之，為割田之直徑。以所割之?dāng)?shù)自乘，倍之，又以圓徑除所得，加入直徑，為割田之弧。再割亦如之，減去已割之弧，則再割之弧也。假令有圓田，徑十步，欲割二步，以半徑為弦，五步自乘得二十五，又以半徑減去所割二步，余三步為股，自乘得九，用減弦外，有十六，開(kāi)平方，除得四步為句，倍之，為所割直徑，以所割之?dāng)?shù)二步自乘為四，倍之得為八，退上一位為四尺，以圓徑除。今圓徑十，已足盈數(shù)，無(wú)可除，只用四尺加入直徑，為所割之孤，凡得圓弧八步四尺也。再割亦依此法。如圓徑二十步，求弧數(shù)，則當(dāng)折半，乃所謂以圓徑除之也。

此二類皆造微之術(shù)，古書(shū)所不到者，漫志于此。

上述文字可分三節(jié)：第一節(jié)是介紹“會(huì)圓術(shù)”的研究背景，第二節(jié)是敘述“會(huì)圓術(shù)”，第三節(jié)是給出“會(huì)圓術(shù)”的一個(gè)例子。

如圖6，所割數(shù)（弓形的高，即“矢”）為h=CD，圓徑（圓的直徑）為d，割田之直徑（弓形的底，即常說(shuō)的“弦”）為b=AB，割田之弧為s=[AB]，則“會(huì)圓術(shù)”得到的兩個(gè)公式為b=[2d22-d2-h2]，[s≈]b+[2h2d]。沈括在書(shū)中沒(méi)有給出這兩個(gè)公式究竟是如何得到的，但我們可以推測(cè)他的想法如下［15］。

第一個(gè)公式b=[2d22-d2-h2]就是勾股定理，在《九章算術(shù)》中出現(xiàn)過(guò)已知弓形的底（“弦”b）和弓形的高（“矢”h）求圓的直徑d的公式d=[b22h]+h，這里考慮的是其“反問(wèn)題”：已知圓的直徑d和弓形的高（“矢”h），求弓形的底（“弦”b）。

第二個(gè)公式[s≈]b+[2h2d]的主要思想是以直代曲，考慮弓形ADB，古代這種形狀的田地也被稱為“弧田”，《九章算術(shù)》第一章就記載了計(jì)算弧田面積的“弧田術(shù)”：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一，即S弓形ADB[≈][12bh+h2]。這個(gè)公式是經(jīng)驗(yàn)近似公式，劉徽給出了這個(gè)公式的解釋，即用圓內(nèi)接正十二邊形的面積代替圓的面積進(jìn)行近似計(jì)算，假設(shè)直徑為d的圓的外接正方形的面積為S外，其內(nèi)接正十二邊形的面積為S內(nèi)，因?yàn)镾內(nèi)[∶]S外=3[∶]4（可通過(guò)出入相補(bǔ)原理來(lái)得到，劉徽在注《九章算術(shù)》中提到的“析理以辭，解體用圖”正是數(shù)形結(jié)合方法的思想精髓，圖7只給出一種方式），而S外=[d2]，所以S內(nèi)=[34d2]。

因此，半個(gè)內(nèi)接正十二邊形的面積為[12][×][34d2]，這又可以寫成[12d×d2+d22]，將弧田近似看作是半圓時(shí)，把d當(dāng)作b，[d2]當(dāng)作h，就得到了弧田面積的近似公式S弓形ADB[≈][12bh+h2]。當(dāng)然，劉徽知道這種算法誤差較大，他又創(chuàng)造了新的算法，用類似“割圓術(shù)”中的極限思想來(lái)求弧田的面積。

我們將原文的表述用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行重述，在追溯背后的想法時(shí)，不難看出中國(guó)古代數(shù)學(xué)的一脈相承，尤其是可以看到古人對(duì)圓的不同角度的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用。此外，我們還能感受到沈括的創(chuàng)新思維：既然知道能從圓割出弓形，由弓形的弦和矢可以計(jì)算出圓的直徑，那么就可以反過(guò)來(lái)從圓的直徑和弓形的矢求出弓形的弦。他從反面考慮“拆”與“會(huì)”的關(guān)系，通過(guò)逆向思考發(fā)現(xiàn)了“會(huì)圓術(shù)”，對(duì)后續(xù)的中國(guó)古代天文學(xué)發(fā)展起到了重要作用。

三、數(shù)學(xué)文化試題的欣賞與運(yùn)用

1. 欣賞數(shù)學(xué)文化試題的三階段

好的數(shù)學(xué)文化試題如夜空中的星光，倘若投射在“題?！敝?，會(huì)愈發(fā)顯得明亮而耀眼。猶如康德的認(rèn)識(shí)三階段，欣賞這些試題也有不同層次的意趣。第一層是感性：直觀了解、感受其中的數(shù)學(xué)文化事實(shí)，對(duì)所涉及的背景有初步認(rèn)識(shí)，是認(rèn)識(shí)下一層次的基礎(chǔ)；第二層是知性：運(yùn)用數(shù)學(xué)思維對(duì)材料進(jìn)行推理分析，對(duì)其中的數(shù)學(xué)原理或背景有較深入的認(rèn)識(shí)，能解決題目中的問(wèn)題，這一層也是此類試題的考查重點(diǎn)；第三層是理性：這是更高一級(jí)的認(rèn)識(shí)，與以有限的和有條件的事物為對(duì)象的知性所不同，理性以無(wú)限的和無(wú)條件的事物為對(duì)象，它具有窮根究底的本性，這一層次意味著要主動(dòng)探究文化背景中深層次的內(nèi)涵，在探究時(shí)可以向各方向延伸，能發(fā)現(xiàn)和提出新的問(wèn)題，并能通過(guò)質(zhì)疑、反思，運(yùn)用批判性思維、創(chuàng)造性思維等分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，從而對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)文化形成更全面的認(rèn)識(shí)，感悟其科學(xué)價(jià)值、美學(xué)價(jià)值、人文價(jià)值，這也是數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)重要任務(wù)。而這正是數(shù)學(xué)文化最主要的內(nèi)涵［16］——一種理性思維方式在實(shí)踐過(guò)程中的不斷探索，形成的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神及其應(yīng)用。

一些賞析數(shù)學(xué)文化試題的論文大多偏向于對(duì)試題特征的分類統(tǒng)計(jì)，對(duì)試題的評(píng)析多與解題相關(guān)，提及的背景比較簡(jiǎn)略，對(duì)涉及的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)還有待加深，多處于感性和知性階段。部分師生會(huì)誤認(rèn)為數(shù)學(xué)文化試題中的數(shù)學(xué)文化僅是“穿靴戴帽”“貼標(biāo)簽”，去掉它們也不影響解題，進(jìn)而輕視題目背后的深刻用意。希望前文對(duì)這兩道與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)文化試題的內(nèi)涵闡述和溯源能啟發(fā)大家將欣賞數(shù)學(xué)文化試題的感性和知性上升為對(duì)其豐富內(nèi)涵的理性思考。

2.對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)文化試題的思考

數(shù)學(xué)文化要從多個(gè)方面融入課堂教學(xué)和評(píng)價(jià)等環(huán)節(jié)。課堂教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)文化試題，在認(rèn)識(shí)上要避免“狹隘化”，不能“重解題、輕素養(yǎng)”；在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)避免“點(diǎn)綴化”，不要把數(shù)學(xué)文化當(dāng)成識(shí)記的知識(shí)或僅有圖片、故事的“點(diǎn)綴”；在設(shè)計(jì)活動(dòng)時(shí)避免“孤立化”，類似的問(wèn)題可以整合在一起呈現(xiàn)，課堂上未解決的問(wèn)題也可以延伸至課后。

教師應(yīng)精選、研究可供課堂使用的數(shù)學(xué)文化試題，關(guān)注知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂(lè)和多元文化五個(gè)維度，從感性、知性、理性三個(gè)層次鑒賞問(wèn)題，在閱讀文獻(xiàn)的過(guò)程中積累素材，將背景相似或有聯(lián)系的內(nèi)容整合在一起形成專題或單元，整體規(guī)劃進(jìn)行主題式學(xué)習(xí)和探究。在課堂教學(xué)時(shí)，基于問(wèn)題創(chuàng)設(shè)情境，豐富和拓展數(shù)學(xué)文化試題的內(nèi)容，結(jié)合教材，將學(xué)科知識(shí)和技能融入其中，關(guān)注其中的數(shù)學(xué)思想，創(chuàng)新設(shè)計(jì)“啟發(fā)式”“開(kāi)放式”的學(xué)習(xí)探究問(wèn)題、活動(dòng)、任務(wù)、項(xiàng)目，供學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)。此外，還應(yīng)突破課堂的時(shí)空限制，鼓勵(lì)學(xué)生基于試題進(jìn)行主題化、項(xiàng)目式的學(xué)科融合的小組合作學(xué)習(xí)，通過(guò)查閱資料，從各個(gè)角度對(duì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行深入探索。例如，基于阿爾·卡西計(jì)算圓周率的題目，教師可以讓學(xué)生了解阿爾·卡西算法中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言、現(xiàn)代計(jì)算工具在短時(shí)間內(nèi)重新經(jīng)歷數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，讓學(xué)生親自體驗(yàn)做數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的熱情，還可以向?qū)W生展示中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)和西方數(shù)學(xué)在計(jì)算[π]的過(guò)程中經(jīng)歷的演變過(guò)程，從而認(rèn)識(shí)到這并非是某個(gè)人靈感閃現(xiàn)的結(jié)果，了解中外不同地區(qū)、不同時(shí)期的多元數(shù)學(xué)文化。在學(xué)習(xí)弧長(zhǎng)公式時(shí)，教師可以介紹沈括的“會(huì)圓術(shù)”，由此可以引出劉徽的“割圓術(shù)”等，讓學(xué)生直觀感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)家探究問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，了解數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程，幫助學(xué)生了解和領(lǐng)悟中華民族獨(dú)特的數(shù)學(xué)智慧，體會(huì)一代代數(shù)學(xué)家的追求精神，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

四、結(jié)語(yǔ)

在題目的探究過(guò)程中挖掘數(shù)學(xué)文化，在知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)文化，可以讓學(xué)生消除“數(shù)學(xué)概念、定理等數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都是數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)大師的深邃智慧，普通人無(wú)法輕易掌握”的誤解。對(duì)新穎的數(shù)學(xué)文化試題進(jìn)行溯源時(shí)，教師應(yīng)與學(xué)生共同研究、互相啟發(fā)，體驗(yàn)做數(shù)學(xué)的快樂(lè)。希望更多教師關(guān)注數(shù)學(xué)文化試題，充分發(fā)揮其育人功能，引導(dǎo)學(xué)生欣賞和探索數(shù)學(xué)，在文化氣息中品悟數(shù)學(xué)味道，提高數(shù)學(xué)審美，豐富數(shù)學(xué)想象力，激發(fā)數(shù)學(xué)創(chuàng)造力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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（責(zé)任編輯：陸順演）