龔瓏

[摘? 要] 要促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，必須讓他們由“怎么做”轉(zhuǎn)變?yōu)椤霸趺聪搿保鰪?qiáng)他們的思考意識，并教給他們思考的方法. 文章結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，提出相應(yīng)的策略，讓學(xué)生從根本上消除機(jī)械模仿，逐漸由形象思維過渡到理性思維，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 怎么做;怎么想;追問;初中數(shù)學(xué)

學(xué)生講解試題時(shí)，僅能講出試題的解答過程，講不出是如何想的;教師往往只關(guān)注學(xué)生解答試題正確與否，而不關(guān)心他們的分析過程. 久而久之，學(xué)生的思維缺乏脈絡(luò)，解答試題一直處于模仿階段. 筆者以為，要促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，必須讓他們由“怎么做”轉(zhuǎn)變?yōu)椤霸趺聪搿?，增?qiáng)他們的思考意識，并教給他們思考的方法.

不斷追問，激起學(xué)生的思考欲望

追問是在學(xué)生回答問題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提問，以使學(xué)生做進(jìn)一步的思考. 當(dāng)學(xué)生只講解解答過程時(shí)，教師可以追問：題中的什么條件給了你啟發(fā)？你是從哪里入手的？從這一步到下一步的依據(jù)是什么？這樣的追問能促使學(xué)生展現(xiàn)思維過程，并解釋過程的合理性.

案例1如圖1所示，在矩形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作BD的平行線，過點(diǎn)D作AC的平行線，兩線交于點(diǎn)P.

（1）求證：四邊形CODP是菱形;

（2）若AD=6，AC=10，求四邊形CODP的面積.

師：哪位同學(xué)來講一下這道題怎么做？并說明理由.

生1：對于第（1）問，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，所以O(shè)D=OC. 因?yàn)镈P∥AC，CP∥BD，所以四邊形ODPC是平行四邊形. 所以四邊形CODP是菱形.

生2：對于第（2）問，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠ADC=90°. 因?yàn)锳D=6，AC=10，根據(jù)勾股定理，得DC=8，所以△ADC的面積=×8×6=24. 所以△ODC的面積=×△ADC的面積=12. 因?yàn)樗倪呅蜟ODP的面積=2×△ODC的面積，所以四邊形CODP的面積=24.

對于第（1）問，等學(xué)生完成試題的解答之后，教師可通過如下追問引導(dǎo)學(xué)生從矩形的對角線入手思考問題：判斷四邊形CODP是菱形時(shí)，你們采用的判定方法是什么？菱形的判定方法比較多，為什么要使用這一方法？這樣追問能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)矩形ABCD與菱形CODP之間的聯(lián)系，即菱形CODP相鄰的兩條邊（OC和OD）恰好是矩形ABCD對角線的一半，而矩形的對角線相等，所以O(shè)C=OD. 所以要證明四邊形CODP是菱形，可采用“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”這一判定方法.

對于第（2）問，教師可進(jìn)行如下追問：在求四邊形CODP面積的過程中，最關(guān)鍵的是哪一步？為什么求出△ODC的面積是最關(guān)鍵的一步？為什么△ODC的面積是△ADC面積的一半？為什么四邊形CODP的面積是△ODC面積的2倍？通過這一系列的追問，學(xué)生能逐漸厘清問題的轉(zhuǎn)化過程. 只有厘清了△ODC的面積、△ADC的面積和四邊形CODP的面積之間的關(guān)系，才能知道解決問題時(shí)應(yīng)先求什么、再求什么.

強(qiáng)化分析，讓學(xué)生掌握思考的方法

數(shù)學(xué)家喬治·波利亞強(qiáng)調(diào)解決數(shù)學(xué)問題分四步走：一是弄清題意;二是制訂做題計(jì)劃;三是實(shí)施計(jì)劃;四是回顧解答過程，進(jìn)行檢驗(yàn). 如果學(xué)生只會做，那么解答問題就直接從第三步開始. 其實(shí)，弄清題意是最基礎(chǔ)的一環(huán)，在這一環(huán)節(jié)，學(xué)生能知道試題的已知條件是什么，由哪個(gè)條件可以推理出什么結(jié)論，將若干個(gè)條件結(jié)合起來又會產(chǎn)生什么新結(jié)論，以及試題所求是什么，要完成所求需要滿足什么條件. 作為教師，應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生分析問題，并在教給他們分析問題的方法的同時(shí)，讓他們掌握思考問題的策略.

1. 想已知條件，由因?qū)Ч?，培養(yǎng)正向思維

從已知條件出發(fā)，由因?qū)Ч?，這種思考問題的方法就是綜合法. 采用綜合法時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生讀懂試題有幾個(gè)條件，分別是哪幾個(gè)條件，并讓他們逐條列出來，一個(gè)都不能少. 接著，讓學(xué)生根據(jù)這些條件推一些結(jié)論，逐步進(jìn)入問題的核心，從而培養(yǎng)學(xué)生的正向思維品質(zhì).

案例2如圖2所示，已知A（0，4），B（0，-6），C為x軸正半軸上一點(diǎn)，且滿足∠ACB=45°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______.

思路1如圖3所示，因?yàn)椤螦CB=45°，要讓45°這一特殊銳角發(fā)揮作用，就必須構(gòu)造直角三角形，所以應(yīng)先構(gòu)造等腰直角三角形AHC（∠HAC=90°），然后構(gòu)造“一線三直角全等模型”（EF∥OC，且HF⊥EF，CE⊥EF），利用三角形全等，即△ACE≌△HAF，得到FH=AE，再利用△OCB∽△DHB（HD⊥AB），得到BD與OC的關(guān)系，最后求出點(diǎn)C的坐標(biāo).

思路2如圖4所示，因?yàn)椤螦CB=45°是固定角度的角，∠ACB的對邊AB=10也是固定的長度，根據(jù)定邊定角必有隱圓，可以作出△ABC的外接圓☉P. 根據(jù)圓周角定理，得∠BPA=90°，可求得PE，PA，PB的長（PE⊥AB），進(jìn)而可求得OF，PF的長（PF⊥OC），接著在Rt△PCF中根據(jù)勾股定理求得FC的長，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo).

思路3如圖5所示，因?yàn)閳D形已經(jīng)有一個(gè)45°的角，所以可以再構(gòu)造一個(gè)45°的角（∠CDA=45°，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上），以產(chǎn)生Rt△ODC和“母子型相似”結(jié)構(gòu). 然后設(shè)OC=x，利用相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，通過建立方程求出x的值，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo).

學(xué)生只有講出分析過程，才能把每個(gè)條件的作用理解得透徹，也才能在不斷的聯(lián)想中發(fā)現(xiàn)不同的解題思路，從而產(chǎn)生智慧的火花. 此外，對比不同的解題方法，還能明晰解題方法的簡與繁. 讓學(xué)生由已知開始，有條理地聯(lián)想與想象，有利于其思維的發(fā)展.

2. 想問題解決，執(zhí)果索因，培養(yǎng)逆向思維

解題時(shí)，如果從已知條件出發(fā)思維受阻，學(xué)生此時(shí)不妨執(zhí)果索因，想一想要解決的問題是什么、目標(biāo)是什么、解決問題需要什么條件，順著思路一步一步往前走，最終回到已知條件，實(shí)現(xiàn)問題的解決.

案例3民間流傳李白買酒的歌謠：李白街上走，提壺去買酒;遇店加一倍，見花喝一斗;三遇店和花，喝完壺中酒. 試問酒壺中，原有多少（斗）酒. 你能回答這個(gè)問題嗎？寫出具體的求解過程.

思路從“三遇店和花，喝完壺中酒”往回逆推，知三遇店時(shí)有酒（1÷2）斗;那么，二遇花時(shí)有酒（1÷2+1）斗，二遇店有酒[（1÷2+1）÷2]斗;于是一遇花時(shí)有酒[（1÷2+1）÷2+1]斗，一遇店時(shí)即壺中原有酒的數(shù)量，應(yīng)列式為[（1÷2+1）÷2+1]÷2=（斗）. 所以酒壺中原有酒斗.

從問題出發(fā)，逆向思考，實(shí)施的是正難則反的策略. 從案例3不難看出，有時(shí)通過逆推能輕松地解決問題. 這說明正難則反的策略在代數(shù)式化簡、幾何證明中均有重要的作用.

重視積累，夯實(shí)思考的基礎(chǔ)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)，學(xué)習(xí)過程是學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上獲得新的經(jīng)驗(yàn). 學(xué)生原來的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是思考的基礎(chǔ)，是產(chǎn)生解題思路與方法的本源性經(jīng)驗(yàn)，只有具有一定的知識儲備，才能構(gòu)建問題與所求結(jié)論的聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)重組與優(yōu)化.

案例4已知方程組x+y=-7-a，

x-y=1+3a 的解x為非正數(shù)，y為負(fù)數(shù).

（1）求a的取值范圍;

（2）化簡a-3+a+2;

（3）在a的取值范圍中，當(dāng)a為何整數(shù)時(shí)，不等式2ax+x>2a+1的解為x<1？

師：如何解答此題？

生1：先解方程組，求出x，y的值，再根據(jù)x為非正數(shù)，y為負(fù)數(shù)，建立不等式組，通過解不等式組求得a的取值范圍.

生2：根據(jù)第（1）問求出的a的取值范圍，可以去掉第（2）問中的絕對值的符號，從而化簡代數(shù)式.

生3：因?yàn)?ax+x>2a+1可以變形為（2a+1）x>2a+1，要使不等式的解為x<1，必須滿足2a+1<0，并結(jié)合第（1）問中求出的a的取值范圍，得到a的最終取值范圍，最后取整數(shù)值.

師：從本題的解答中，你們獲得了什么解題經(jīng)驗(yàn)？

生4：求方程組中字母的取值范圍，要把問題轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組.

生5：在有關(guān)不等式的問題中，要求字母的整數(shù)值，需要先求出字母的取值范圍，再取取值范圍內(nèi)的整數(shù)值.

學(xué)生在解答本題時(shí)，將所求問題與方程組、不等式組的相關(guān)知識進(jìn)行關(guān)聯(lián)，通過解方程組、建立不等式組、解不等式組，解決了問題. 需要注意的是，在解題中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷與積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，如代數(shù)中的代入法、配方法、待定系數(shù)法、方程思想、函數(shù)思想等，幾何圖形中的圖形變換思想、手拉手模型、“一線三直角”模型、軌跡思想等.

其實(shí)“怎么做”與“怎么想”之間并不矛盾，學(xué)生既要做好“怎么做”，更要做好“怎么想”. 只有弄清了思考的來源，才能獲得解題的策略，懂得破題之道，從而從根本上消除機(jī)械模仿，逐漸由形象思維過渡到理性思維，而這也是數(shù)學(xué)教學(xué)之所求.