摘要 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，有助于學(xué)生思維的發(fā)展、學(xué)科核心素養(yǎng)的培育。課堂作業(yè)因反饋與評價的實時性，對促進(jìn)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想起著關(guān)鍵性作用。設(shè)計幫助學(xué)生突破數(shù)學(xué)思想本原問題的基礎(chǔ)性課堂作業(yè)、體驗數(shù)學(xué)思想多樣方法的開放性課堂作業(yè)、評價數(shù)學(xué)思想感悟水平的創(chuàng)造性課堂作業(yè)、促進(jìn)數(shù)學(xué)思想深度感悟的反思性課堂作業(yè)，能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想的潛意識、明朗化、深刻化、內(nèi)生化階段，逐步深化對數(shù)學(xué)思想的感悟。

關(guān) ?鍵 ?詞 數(shù)學(xué)思想 ?課堂分層作業(yè) ?基礎(chǔ)性作業(yè) ?開放性作業(yè) ?創(chuàng)造性作業(yè) ?反思性作業(yè)

引用格式 趙斌.促進(jìn)數(shù)學(xué)思想感悟的課堂分層作業(yè)設(shè)計[J].教學(xué)與管理，2022（23）：62-65.

數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)的一個特殊的、重要的要素就是數(shù)學(xué)思想。整個數(shù)學(xué)科學(xué)就是建立在數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上，并按照這些思想發(fā)展起來的[1]。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，有助于學(xué)生以更高的視角理解知識、掌握技能，提升學(xué)生在解決問題過程中運用知識和技能的自覺性、合理性、靈活性和創(chuàng)造性，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，培育學(xué)科核心素養(yǎng)。

課堂作業(yè)是教師在課堂教學(xué)中布置給學(xué)生完成的作業(yè)。由于這類作業(yè)可以穿插在新知識學(xué)習(xí)的過程中，其反饋的實時性可讓教師在第一時間診斷學(xué)情、評價引導(dǎo)、調(diào)整教學(xué)，有助于教師基于學(xué)生當(dāng)下體驗，促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)階、經(jīng)驗的累積與提煉，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想的潛意識、明朗化、深刻化、內(nèi)生化階段，形成對數(shù)學(xué)思想感悟的螺旋上升。因此，課堂作業(yè)設(shè)計與實施的科學(xué)性、實效性和層次性不僅直接影響著學(xué)生理解基礎(chǔ)知識、掌握基本技能、積累基本活動經(jīng)驗的效率，更在感悟數(shù)學(xué)基本思想這一目標(biāo)的達(dá)成中發(fā)揮著關(guān)鍵性作用。

本文以蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級下冊“解決問題的策略”第一課時中的轉(zhuǎn)化思想為例，通過課堂作業(yè)的設(shè)計與實施，幫助學(xué)生逐步掌握轉(zhuǎn)化技能、提煉轉(zhuǎn)化策略、感悟轉(zhuǎn)化思想，為教師提供促進(jìn)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的課堂作業(yè)設(shè)計策略。

課始首先呈現(xiàn)教材例題，組織學(xué)生基于已有經(jīng)驗獨立比較兩個不規(guī)則圖形的面積，再分層展示思維可視的學(xué)生作業(yè)（如圖1），組織開展交流、對比、評價等活動，引導(dǎo)學(xué)生理解圖形在分割、平移、旋轉(zhuǎn)過程中面積不變，并達(dá)成“兩個不規(guī)則圖形的面積相等”的共識。在此基礎(chǔ)上提煉出思考過程中所蘊(yùn)涵的轉(zhuǎn)化策略，初步感受轉(zhuǎn)化的價值。接著設(shè)計了四種不同層次的課堂作業(yè)，逐步深化對轉(zhuǎn)化思想的感悟。

圖1 學(xué)生作業(yè)

一、基礎(chǔ)性作業(yè)：突破數(shù)學(xué)思想的本原問題

對數(shù)學(xué)思想本原性問題的突破與理解，應(yīng)是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想感悟的前提與保障?；A(chǔ)性課堂作業(yè)的設(shè)計，要聚焦于本原性問題，引導(dǎo)學(xué)生思維快速收斂，表征出真實的思維路徑，凸顯甚至放大學(xué)生真實學(xué)習(xí)中可能存在的問題，引發(fā)認(rèn)知沖突，通過社會化共享、評價、交流等活動，讓學(xué)生在自省中突破、理解本原性問題。

轉(zhuǎn)化思想所蘊(yùn)涵的教學(xué)本原性問題是不變量及相應(yīng)的等量代換[2]。也就是說轉(zhuǎn)化不僅要尋求顯性的“變”，更要保持隱性的“不變”。轉(zhuǎn)化思想下具體方法的選擇必須保持所求量不變，這是對轉(zhuǎn)化思想的感悟在潛意識階段進(jìn)階為明朗化階段首先應(yīng)建立的理解。上一階段例題學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)初步感受了轉(zhuǎn)化策略的價值，積累了等積轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗，但對轉(zhuǎn)化中各種方法運用的背景、保持所求量不變的前提的理解并不深刻，甚至存在誤區(qū)。例題教學(xué)后，教師設(shè)計了聚焦轉(zhuǎn)化思想本原性問題的基礎(chǔ)性課堂作業(yè)（如圖2），組織學(xué)生獨立完成。

圖2 基礎(chǔ)性課堂作業(yè)

學(xué)生完成作業(yè)后，展示兩種典型作品：一是將圖形②右下角的小長方形分割后平移至左上角，轉(zhuǎn)化成邊長為4的正方形，得出“圖形①周長大一些”的結(jié)論;二是將圖形②的部分邊進(jìn)行平移，轉(zhuǎn)化成長6、寬4的長方形，得出“兩個圖形周長相等”的結(jié)論。兩位學(xué)生介紹時均打算運用轉(zhuǎn)化策略，將不規(guī)則圖形②轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，便于周長比較，這體現(xiàn)出學(xué)生轉(zhuǎn)化意識的形成以及對轉(zhuǎn)化價值的感悟，但也體現(xiàn)出對轉(zhuǎn)化思想本原性問題認(rèn)識的差異。之后組織學(xué)生對兩種作品開展自主辨析、評價活動?；顒又校瑢W(xué)生逐步達(dá)成“通過邊的平移使轉(zhuǎn)化前后圖形周長不變，才能比較原來兩個圖形的周長”的共識。最后，引導(dǎo)學(xué)生比較例題與基礎(chǔ)性課堂作業(yè)這兩類問題在思考過程中有什么相同、不同的地方，組織開展對比、反思、交流、概括等活動，學(xué)生逐步感悟到：運用轉(zhuǎn)化策略可將不規(guī)則的、復(fù)雜的圖形變成規(guī)則的、簡單的圖形，便于問題解決;在運用轉(zhuǎn)化策略時，所求量在轉(zhuǎn)化前后要保持不變。

圖2中的不規(guī)則圖形②既可等積轉(zhuǎn)化，也可等長轉(zhuǎn)化，這一設(shè)計既可以激活學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識，凸顯出轉(zhuǎn)化的價值，同時又直指轉(zhuǎn)化思想的本原性問題，引發(fā)學(xué)生在轉(zhuǎn)化方法運用方面的差異化表征，并在展示、評價、交流等活動中實現(xiàn)了對轉(zhuǎn)化思想本原性問題的理解。

二、開放性作業(yè)：體驗數(shù)學(xué)思想的多樣方法

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括。數(shù)學(xué)思想常常通過數(shù)學(xué)方法去體現(xiàn)，數(shù)學(xué)方法又常常反映了某種數(shù)學(xué)思想[3]。開放性課堂作業(yè)的設(shè)計主要體現(xiàn)解決問題方法的不唯一，教師要引導(dǎo)學(xué)生基于自身經(jīng)驗選用不同方法，表征多樣路徑，再通過社會化共享、交流、反思等活動，實現(xiàn)對多樣方法的再抽象，由數(shù)學(xué)方法的變化性上升到數(shù)學(xué)思想的穩(wěn)定性，從而感悟數(shù)學(xué)思想的一般性。

轉(zhuǎn)化思想在圖形問題的解決中的運用是多方面的，不僅包括前一環(huán)節(jié)中所用的平移、旋轉(zhuǎn)，還包括翻折等方法，有時也可以將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”來解決。缺乏對多樣方法的抽象，對轉(zhuǎn)化思想的感悟只能是空中樓閣;而要讓這種感悟更接地氣，更多的需要學(xué)生完成作業(yè)過程中的自主生成。接著上階段作業(yè)，教師設(shè)計了蘊(yùn)涵多種轉(zhuǎn)化思想方法的開放性課堂作業(yè)（如圖3），組織學(xué)生獨立完成。

圖3 開放性課堂作業(yè)

學(xué)生完成作業(yè)后組織集體交流。三種花圃形狀都是不規(guī)則圖形，學(xué)生已經(jīng)可以自覺運用轉(zhuǎn)化策略進(jìn)行面積比較，先將三幅圖中的陰影部分分別運用平移、旋轉(zhuǎn)、翻折轉(zhuǎn)化成正方形、三角形和長方形，但仍不能直接比較出陰影部分面積的大小。這時一部分學(xué)生再將圖形②的三角形分割、旋轉(zhuǎn)，將圖形③的長方形分割、平移，分別轉(zhuǎn)化成與圖形①平移后得到的正方形相同的圖形，最后得出三種設(shè)計方案面積相等;還有一部分學(xué)生認(rèn)為轉(zhuǎn)化后的正方形、三角形、長方形雖然形狀不同，但都是占整個長方形的，長方形面積相等，三種設(shè)計方案的面積也都相等。之后再次組織學(xué)生對兩種思路進(jìn)行剖析、對比、交流，發(fā)現(xiàn)兩種方法都運用了兩次轉(zhuǎn)化：第一部分學(xué)生兩次都是“形—形”的轉(zhuǎn)化，第二部分同學(xué)先是“形—形”轉(zhuǎn)化，然后是“形—數(shù)”轉(zhuǎn)化，最終都得出花圃面積相等的結(jié)論。

圖3中的三幅圖中包含了平移、旋轉(zhuǎn)、翻折三種常見的圖形轉(zhuǎn)化方法，能引發(fā)學(xué)生的多次轉(zhuǎn)化，同時還內(nèi)隱了“形—形”“形—數(shù)”兩種不同維度的轉(zhuǎn)化。這一設(shè)計既激發(fā)了學(xué)生靈活運用策略解決問題的意識，又引導(dǎo)學(xué)生自主生成多樣的可視化材料。利用這些材料開展對比反思、抽象概括等再學(xué)習(xí)活動，可以實現(xiàn)從方法到思想的遷躍，幫助學(xué)生體驗轉(zhuǎn)化思想之下數(shù)學(xué)方法的多樣性、靈活性，感悟數(shù)學(xué)方法之上轉(zhuǎn)化思想的穩(wěn)定性、一般性，對數(shù)學(xué)思想的感悟上升至明朗化階段。

三、創(chuàng)造性作業(yè)：評價數(shù)學(xué)思想的感悟水平

高階思維包括分析能力、創(chuàng)造能力和系統(tǒng)思維能力[4]。數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下的創(chuàng)造性活動，是數(shù)學(xué)思想感悟水平達(dá)到高階的表現(xiàn)。創(chuàng)造性課堂作業(yè)的設(shè)計，主要體現(xiàn)在創(chuàng)造結(jié)果符合要求且結(jié)論不唯一。通過作業(yè)引發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性活動，既能以此評價學(xué)生個體的數(shù)學(xué)思想感悟水平，又能以此為材料開展社會化共享、交流等活動，促進(jìn)學(xué)生群體對數(shù)學(xué)思想的深度感悟，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

轉(zhuǎn)化思想不僅能運用在比較、計算等問題的解決中，若能有意識地以此為工具進(jìn)行創(chuàng)造性活動，不僅能展現(xiàn)學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的感悟水平，更能體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想內(nèi)在邏輯的力量與價值。前一作業(yè)中，學(xué)生了解到轉(zhuǎn)化方法可以是多樣的、多次的，有時還可將形轉(zhuǎn)化成數(shù)來解決問題，緊接著上一作業(yè)中積累的經(jīng)驗，教師設(shè)計了評價學(xué)生轉(zhuǎn)化思想感悟水平的創(chuàng)造性課堂作業(yè)（如圖4），組織學(xué)生獨立開展創(chuàng)造性活動。

作品展示中，少部分學(xué)生設(shè)計了路寬2米的無需轉(zhuǎn)化的“L”形道路，更多學(xué)生設(shè)計了路寬2米的需一次轉(zhuǎn)化的“T”形，需多次轉(zhuǎn)化的“+”形道路，還有路寬1米的需多次轉(zhuǎn)化的“#”形道路，體現(xiàn)出多層次的創(chuàng)造性。之后教師請學(xué)生介紹自己作品，要求用盡量簡潔的方式，讓大家清楚看出草坪面積是15×10。學(xué)生有的介紹，有的邊介紹邊畫圖，自覺運用轉(zhuǎn)化策略說明自己作品中草坪的面積都可以轉(zhuǎn)化成長15米、寬10米的長方形。最后，引導(dǎo)學(xué)生對比反思：這些同學(xué)創(chuàng)造的作品中運用了什么策略。學(xué)生認(rèn)識到多樣作品中轉(zhuǎn)化策略的運用，感受到轉(zhuǎn)化思想在創(chuàng)造中的價值。

圖4 創(chuàng)造性課堂作業(yè)

如圖4這樣的創(chuàng)造性作業(yè)以圖形表征算式，且答案不唯一。這一設(shè)計再一次打通數(shù)、形之間的壁壘，培育學(xué)生數(shù)、形轉(zhuǎn)化的自覺性，同時給予學(xué)生開放的空間，引發(fā)學(xué)生不同水平層次的圖形表征活動，以此評價學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的感悟水平。而介紹作品時提出的跟進(jìn)要求，對展示學(xué)生而言是運用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行思維表征，對其他同學(xué)而言則是對轉(zhuǎn)化思想的更廣泛、更深入的認(rèn)識。這一作業(yè)讓學(xué)生個體在創(chuàng)造和表達(dá)中提升轉(zhuǎn)化技能，深化對轉(zhuǎn)化思想的感悟，通過社會化共享、交流，促進(jìn)學(xué)生群體轉(zhuǎn)化思想感悟水平的升階，將學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的感悟從明朗化推向深刻化階段。

四、反思性作業(yè)：促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的內(nèi)在自生

如果說數(shù)學(xué)知識的初步學(xué)習(xí)是一個認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織過程的話，那么更為重要的是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的再組織[5]，而反思是實現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)再組織必不可少的環(huán)節(jié)。設(shè)計反思性課堂作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生對一定階段的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行回顧與反思，將其中的知識、方法建立起系統(tǒng)關(guān)聯(lián)，能讓學(xué)生對顯性知識或方法的理解更深、更廣、更全，并對其中隱性數(shù)學(xué)思想的感悟更清、更深、更實。

轉(zhuǎn)化思想的價值不僅體現(xiàn)在具體問題的解決中，在整個數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的擴(kuò)展中也發(fā)揮著重要作用。很多新知識是在已有舊知識上生長出來的，而轉(zhuǎn)化在新、舊知識中起著關(guān)鍵的橋接作用。在一系列具體問題解決后，適時抽身，引導(dǎo)學(xué)生以轉(zhuǎn)化思想的視角回看知識發(fā)展過程，體驗轉(zhuǎn)化思想在知識結(jié)構(gòu)擴(kuò)展過程中的生長力，在完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同時，促成對轉(zhuǎn)化思想的感悟螺旋上升至內(nèi)生化階段。課堂的最后環(huán)節(jié)，教師設(shè)計了轉(zhuǎn)化思想視角下的反思性課堂作業(yè)（如圖5），組織學(xué)生小組回顧、交流、梳理。

圖5 反思性課堂作業(yè)

小組合作完成作業(yè)后組織集體交流。有的發(fā)現(xiàn)在近期學(xué)習(xí)的異分母分?jǐn)?shù)加、減法計算時將其轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加、減法，圓面積計算公式推導(dǎo)時將其轉(zhuǎn)化成長方形面積計算等;有的發(fā)現(xiàn)在以前學(xué)習(xí)平行四邊形面積計算公式推導(dǎo)時將其轉(zhuǎn)化為長方形面積計算，小數(shù)乘法計算時將其轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法等。這些小組通常采用文字表征的方式，回顧某幾個知識點中轉(zhuǎn)化思想的運用。還有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在圖形問題中平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積計算公式推導(dǎo)過程均體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，并用文字、圖形加符號的結(jié)構(gòu)圖表征出圖形面積之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。在學(xué)生充分交流的基礎(chǔ)上，教師將其進(jìn)一步結(jié)構(gòu)化，梳理出圖形與數(shù)計算中的轉(zhuǎn)化，在課件中以知識樹的方式動態(tài)呈現(xiàn)（如圖6），并引導(dǎo)學(xué)生再次反思：通過回顧，你對轉(zhuǎn)化策略又有怎樣的認(rèn)識？有學(xué)生回答，“我認(rèn)為轉(zhuǎn)化策略在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很重要，它讓我們不斷學(xué)到新的知識”，有學(xué)生回答，“今后我們遇到新的問題、難的問題時，可以先把它轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的問題再解決”……這時教師可以將話題進(jìn)一步延伸：“除此之外，數(shù)和形有時也可以相互轉(zhuǎn)化，讓問題變得便于解決，下節(jié)課我們將繼續(xù)研究。”進(jìn)一步拓展轉(zhuǎn)化的對象與方法，為下節(jié)課的學(xué)習(xí)作好鋪墊。

圖6 轉(zhuǎn)化思想樹狀圖

反思性課堂作業(yè)引導(dǎo)學(xué)生以轉(zhuǎn)化思想的視角，“俯視”以往的學(xué)習(xí)歷程。學(xué)生在回顧中或是發(fā)現(xiàn)點狀轉(zhuǎn)化思想的特殊運用，或是梳理出網(wǎng)狀轉(zhuǎn)化思想的普遍運用，走出本課內(nèi)容發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化方法的多樣性、轉(zhuǎn)化思想的普遍性。在此基礎(chǔ)上梳理出的樹狀圖，帶領(lǐng)學(xué)生穿行于知識結(jié)構(gòu)之中，深入體驗轉(zhuǎn)化思想的價值。這一作業(yè)涵蓋了以往數(shù)與形的內(nèi)容，通過小組合作、集體交流、教師助推等方式，幫助學(xué)生實現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)再組織的同時，直觀地、全面地感受轉(zhuǎn)化思想運用的一般性和內(nèi)在的生長力，使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的感悟進(jìn)一步深刻化、整體化。學(xué)生對轉(zhuǎn)化策略再認(rèn)識的回答更是體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化思想在學(xué)生心中的理性內(nèi)生。

數(shù)學(xué)思想的感悟是一個長期滲透、反復(fù)感悟、螺旋上升的過程，不是通過一節(jié)課的教學(xué)、幾項作業(yè)的完成就可以實現(xiàn)的，尤其是課堂作業(yè)的完成時間、交流時間有限，學(xué)生難以在課堂上進(jìn)行長時間思考，實踐性上也有所局限，悟的深度和廣度勢必會受到一定影響，這些問題需要課后作業(yè)予以補(bǔ)足。但精心設(shè)計課堂作業(yè)，精致組織以學(xué)為中心的、以課堂作業(yè)為載體的教學(xué)活動，無疑是引導(dǎo)學(xué)生減負(fù)增效，感悟數(shù)學(xué)思想的必要方式。

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[責(zé)任編輯：陳國慶]