李乃洋

[摘? 要] 為了讓學(xué)生能夠更好地理解概念、應(yīng)用概念，在概念教學(xué)中要摒棄簡單的“照本宣科”，應(yīng)多帶領(lǐng)學(xué)生體驗概念的形成過程，從而讓學(xué)生獲得更好的數(shù)學(xué)理解，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

[關(guān)鍵詞] 概念教學(xué);形成過程;學(xué)習(xí)能力

數(shù)學(xué)概念是對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的高度概括，是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)和核心，是數(shù)學(xué)知識發(fā)展的落腳點和生長點，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)的著力點和切入點，其在數(shù)學(xué)知識體系中的地位是不言而喻的[1]. 筆者參加的一節(jié)公開課“弧度制”中，主講教師帶領(lǐng)學(xué)生親身體驗了概念引入、發(fā)展、深化、內(nèi)化、強化等過程，取得了較好的教學(xué)效果，現(xiàn)共享出來，以期共鑒.

[?]教學(xué)實錄

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了“任意角”，打破了我們對角的傳統(tǒng)認(rèn)識，今天我們所學(xué)的內(nèi)容將再次打破我們對角的認(rèn)識. （學(xué)生投來了期待的目光）

師：觀察表1，看看你有哪些發(fā)現(xiàn). （教師用PPT展示表1）

生1：226 cm是姚明的身高.

師：哇，看來你是一個“籃球粉”. 不過這個課我們不研究籃球，看看還有沒有其他的發(fā)現(xiàn).

生2：在不同的國家有著不同的度量衡.

師：說得很好. 結(jié)合生活實際說一說你知道哪些長度單位和質(zhì)量單位.

生3：長度單位有千米、米、厘米、毫米.

師：很好，生3根據(jù)國際公制給出了長度單位，那么你知道中國市制中的長度單位是什么嗎？

生3：寸、尺、丈等.

師：說得很好！那么再說一說質(zhì)量在國際公制和中國市制中常用的單位又有哪些. （在教師的帶領(lǐng)下，學(xué)生又復(fù)習(xí)了質(zhì)量單位：千克、克、斤、兩、錢等）

設(shè)計意圖：借助長度和質(zhì)量這些學(xué)生比較熟悉的內(nèi)容，為接下來認(rèn)識角的單位埋下伏筆.

師：角度也是生活中常用的單位之一，那么對于角的單位你知道哪些？角度的換算單位又是什么呢？

生4：角的單位是度、分、秒，其中1度=60分，1分=60秒.

師：很好，以上是我們熟悉的角度制. 既然長度和質(zhì)量都有其換算進制，那么角度有沒有呢？

生5：應(yīng)該有，而且是我們今天要研究的重點. （學(xué)生故意模仿老師的語氣，大家都笑了）

設(shè)計意圖：借助學(xué)生已有知識和已有經(jīng)驗，通過對比的方法引入新知，點燃學(xué)生對角度換算進制的探究熱情.

2. 聯(lián)系舊知，發(fā)展新知

師：回憶一下，在角度制中何為1度呢？

生6：將圓周平均分為360份，其中的一份為1度.

師：之前我們學(xué)過弧長公式，大家還記得嗎？在半徑為r的圓中，圓心角為1度的扇形所對應(yīng)的弧長是多少？

生7：1度圓心角所對應(yīng)的弧長為=.

師：那圓心角為n°的扇形所對應(yīng)的弧長又是多少呢？

生8：l=.

師：很好！如圖1所示，如果圓心角的度數(shù)不變，改變r的大小，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生9：弧長l隨著r變大而逐漸變大.

師：思考一下弧長與半徑的比，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

生10：我發(fā)現(xiàn)比值為一個定值，因為=，=.

師：很好，那么也就是說當(dāng)∠AOB不變時，的值是唯一確定的.

師：我們來驗證一下到底是不是這樣的. （用幾何畫板演示這一變化過程）

師：結(jié)合實驗我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠AOB不變時，的值是唯一確定的;當(dāng)?shù)闹挡蛔儠r，∠AOB也是唯一確定的. 如圖1所示，若∠AOB=40°15′，那么它是多少度呢？（思考片刻，學(xué)生給出了答案）

生11：將15除以60得0.25，所以40°15′=40.25°.

師：很好，不過有人在計算時提出了異議，即計算時先除以60，再轉(zhuǎn)化為十進制，這樣顯然會給運算帶來不便，是否可以創(chuàng)建新的度量角的單位，使之不再需要除以60，直接可以進行十進制計算呢？如何定義才合理呢？（教師預(yù)留時間讓學(xué)生思考）

生12：根據(jù)上面我們驗證的結(jié)果，如果的值不變，圓心角∠AOB是唯一確定的，那么是不是可以用半徑來度量角呢？

師：說得很好，你的想法竟然和數(shù)學(xué)家的想法不謀而合，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——弧度制.

接下來教師介紹了提出弧度制概念的數(shù)學(xué)家，并明確給出了弧度制的定義，這樣在問題的引領(lǐng)下讓弧度制的定義多了幾分精彩，為后面的實驗操作奠定了堅實的基礎(chǔ).

設(shè)計意圖：通過觀察發(fā)現(xiàn)的值為固定值，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到用來刻畫角的大小，為弧度制的引出奠定了基礎(chǔ). 同時在概念生成中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注運算中的“不便”，為接下來的“創(chuàng)新”埋下了伏筆. 由“不便”誘發(fā)學(xué)生去創(chuàng)新，從而使新的進制與十進制直接接軌，讓學(xué)生感悟引入弧度制的必要性和合理性.

3. 動手實驗，深化新知

師：如果只有圓規(guī)和細(xì)線，你能畫出一個大小為1 rad的角嗎？（預(yù)留時間讓學(xué)生動手畫角）

生13：可以. 如圖2所示，以r為半徑畫一個圓，根據(jù)定義我們知道1 rad的角的弧長與半徑相等，于是用細(xì)線測量出半徑r后，再在圓周上截取弧AB等于r，則∠AOB就是1 rad的角.

師：是這樣嗎？（教師用幾何畫板重現(xiàn)生13的操作過程，以幫助學(xué)生加深理解）

師：如果要畫一個大小為2 rad的角呢？

生14：重復(fù)生13的操作過程，在圓周上截取弧AC等于2r，則∠AOC就是2 rad的角.

師：那么是否可以畫出-3 rad的角呢？

生14：只要在圓周上順時針截取弧AD等于3r，則∠AOD就是-3 rad的角. （用幾何畫板演示）

師：通過上面的操作，相信大家已經(jīng)對弧度制有了深刻的理解，那么弧度制和角度制都是可以用來刻畫角的大小的，現(xiàn)在你們最想探究的是什么內(nèi)容呢？

生齊聲答：如何換算.

師：說得很好，在長度單位中有1米等于3尺，在質(zhì)量單位中有1斤等于500克. 那么“一角兩制”中的“兩制”該如何換算呢？如果給你一個量角器，你能量嗎？（教師話音一落，學(xué)生立馬開始了實驗）

生15：根據(jù)測量，1 rad大約為57°.

師：你們測量出的結(jié)果與生15的結(jié)果是否相同呢？（學(xué)生紛紛點頭表示贊成）

設(shè)計意圖：借助“畫”讓學(xué)生進一步理解弧度制的概念，通過“量”引導(dǎo)學(xué)生進行“兩制”換算，為接下來“兩制”互化奠定了基礎(chǔ).

4. “兩制”互化，內(nèi)化新知

師：剛剛大家是通過“量一量”來驗證的，那么如果利用“算一算”，你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生16：由公式=可知，當(dāng)==1（rad）時，n=≈57.3，即圓心角n°≈57.3°.

師：太棒了，現(xiàn)在我們就知道了1 rad=

°;那么反過來，1度等于多少弧度呢？

生17：1°= rad.

師：聯(lián)想整個圓周角，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

生18：半徑為r的圓的周長C=2πr，由弧度制的定義可知，==2π，故360°=2π rad，即1°= rad，1 rad=

°.

師：很好！在角度制中我們知道圓周角為360°，所以1°角是圓周角的;同樣，在弧度制中，我們知道圓周角為2π rad，也就是360°=2π rad，所以1°= rad，1 rad=

°.

設(shè)計意圖：借助動手實驗讓學(xué)生對“兩制”的轉(zhuǎn)化形成初步認(rèn)識，接下來引導(dǎo)學(xué)生利用公式來驗證結(jié)論，從而用數(shù)學(xué)語言來刻畫“兩制”的換算關(guān)系，為新知的探究尋找新的生長點. 另外，借助特殊向一般轉(zhuǎn)化的思想，引導(dǎo)學(xué)生從圓周入手，利用圓周的直觀性和形象性來精確刻畫“兩制”的關(guān)系.

師：將下列角由弧度化成度，你會算嗎？（教師用PPT展示題目）

（1）;（2）3.

問題給出后，根據(jù)“兩制”換算的公式，學(xué)生輕松得出 rad=×=135°，3 rad=3×≈171.9°.

師：看來大家已經(jīng)可以輕松地將弧度化成度了，那么反過來，如果將度化成弧度，你會算嗎？

（1）22°30′;（2）0°;（3）-420°.

問題給出后，教師讓學(xué)生自己動手算一算，并點名讓一些學(xué)生到黑板板演.

生19：22°30′=22.5°=22.5×=.

生20：0°=0×=0.

生21：-420°=-420×=-.

師：大家都完成得很好，不僅熟練掌握了公式，而且運算也非常準(zhǔn)確. 現(xiàn)在大家來完成表2，并說一說你有什么發(fā)現(xiàn).

設(shè)計意圖：通過“兩制”互化促進新知內(nèi)化，同時通過表2中數(shù)值的對稱性引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R是一一對應(yīng)的關(guān)系.

5. 優(yōu)化公式，強化新知

師：因為α有正負(fù)，而≥0，于是α與弧之間的關(guān)系應(yīng)為α=. 如圖3所示，你能求出∠AOB的弧度數(shù)嗎？

生22：可以用量角器量出∠AOB的度數(shù)，由l=計算出對應(yīng)的弧長，根據(jù)α=可得∠AOB的弧度數(shù).

師：很好，那么還有沒有其他方法可以計算呢？

生23：量出∠AOB的度數(shù)后，可以直接根據(jù)1°= rad得∠AOB的弧度數(shù).

生24：還可以以O(shè)為圓心，以r為半徑畫圓，其與OA，OB分別交于C和D，計算弧CD除以r可得∠AOB的弧度數(shù).

師：通過上面的計算結(jié)果想一想，對于同一圓心角，的值與半徑大小是否有關(guān)呢？

生齊聲答：無關(guān).

師：很好，那么既然無關(guān)，作圓時可取r=1，則α=l，弧長即∠AOB的弧度數(shù)，這樣往往可以簡化計算.

設(shè)計意圖：通過兩次優(yōu)化，既讓學(xué)生領(lǐng)會了加絕對值符號的必要性，又引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了對同一個圓心角，的值是常數(shù)，其與半徑的大小無關(guān). 于是可以借助單位圓簡化計算，為后面利用單位圓探究學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ). 另外，教學(xué)中鼓勵學(xué)生用不同的方法得出∠AOB的弧度數(shù)，這樣既有利于拓展學(xué)生的思維，又能幫助學(xué)生強化新知，以此加深對問題的理解，提升學(xué)生的能力.

師：我們知道弧長公式為l=·πr，扇形的面積公式為S=·πr2;學(xué)習(xí)弧度制后，我們知道α=. 那么，將上面兩個公式進行變形，弧長公式會變成什么？扇形的面積公式又會變成什么呢？

生25：學(xué)習(xí)弧度制后，弧長公式為l=αr，扇形的面積公式為S=lr.

師：很好，轉(zhuǎn)化后運算變簡單了. 對于扇形的面積公式有沒有似曾相識的感覺呢？

生26：感覺扇形的面積公式與三角形的面積公式很像. 如果扇形AOB很小，是不是可以把扇形AOB看作三角形AOB，把弧AB看作三角形AOB的底邊，把半徑r看作三角形AOB的高呢？

師：很好的想法，這就是數(shù)學(xué)直覺，現(xiàn)在我們一起來研究一下.

師：如圖4所示，將扇形分成n份，當(dāng)n趨向無窮大時，這時每一份扇形都近似于一個等腰三角形，其半徑為等腰三角形的高，弧長為等腰三角形的底，所以扇形的面積為S=l1r+l2r+…+lnr=（l+l+…+l）r=lr. 可見，將扇形的面積看作三角形的面積不僅便于記憶，而且用極限分割的數(shù)學(xué)思想進行推理，是科學(xué)的、合理的.

師：大家來看一下，這個問題該如何求解：已知扇形的周長為8 cm，圓心角為2 rad，求扇形的面積.

生27：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則2r+l=8，

l=2r，解得r=2，

l=4，故扇形的面積為S=lr=4（cm2）.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生進行扇形的弧長公式和面積公式的“兩制”轉(zhuǎn)化，通過對比讓學(xué)生體驗兩者的關(guān)聯(lián)性，突出了弧度制的優(yōu)越性. 同時，啟發(fā)學(xué)生由弧度制下的扇形面積公式S=lr聯(lián)想到三角形的面積公式，帶領(lǐng)學(xué)生體會到極限分割思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

[?]教學(xué)反思

從教學(xué)實錄可以看出，教師通過生活情境、動手實驗、啟發(fā)聯(lián)想等，有效地激發(fā)了學(xué)生的參與積極性，學(xué)生的思維在教師問題的引領(lǐng)下盤旋上升. 其實，教學(xué)中若想收獲好的教學(xué)結(jié)果，教師應(yīng)該在“四個理解”上下功夫，從而創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生發(fā)展的、質(zhì)量高的數(shù)學(xué)課堂.

1. 理解數(shù)學(xué)

若想組織好教學(xué)，打造好課堂，教師首先要將教學(xué)內(nèi)容理解到位，如在本節(jié)課教學(xué)中要知道為什么要引入弧度制、如何引入弧度制、如何引導(dǎo)學(xué)生將角度與弧長統(tǒng)一起來……教師只有把這些關(guān)系厘清了、理透了，達到了如指掌的程度，才能抓住核心知識，做好教學(xué)設(shè)計.

2. 理解學(xué)生

教師在設(shè)計教學(xué)活動、制定教學(xué)目標(biāo)時，只有真正地理解學(xué)生、立足學(xué)生，才能設(shè)計出適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)方案[2]. 如角度制下的弧長公式是學(xué)生已經(jīng)掌握的內(nèi)容，教師從學(xué)生的認(rèn)知出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生利用公式計算圓心角相同、半徑不同的弧長，接下來啟發(fā)學(xué)生對弧長公式進行變形，從而得出為固定值. 這樣以舊知為立足點，通過巧妙的引導(dǎo)，為新知創(chuàng)造了生長點;這樣以舊知為出發(fā)點既有利于學(xué)生理解和接受新知，又為新知的探究奠基了堅實的基礎(chǔ)，讓學(xué)生通過“兩制”互化，理解并掌握了教學(xué)的重難點.

3. 理解教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)并不是簡單的知識講授，更多的是培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力和自主解決問題的能力，因此理解和掌握教學(xué)的重難點不能靠教師“灌輸”，而應(yīng)該通過創(chuàng)設(shè)合理的情境、巧妙的問題，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去探究. 比如，教師從長度、質(zhì)量的進制換算入手，誘發(fā)學(xué)生關(guān)注角的進制換算. 又如，通過填寫表2，啟發(fā)學(xué)生將角的集合與實數(shù)集建立聯(lián)系. 在教學(xué)過程中，教師要給學(xué)生一定的思考空間，讓學(xué)生體會到獲得的數(shù)學(xué)知識是自己探究的結(jié)果，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，彰顯學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

4. 理解技術(shù)

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，為數(shù)學(xué)課堂帶來了新氣息、新發(fā)展. 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)善于利用多媒體技術(shù)有效地整合教學(xué)內(nèi)容，通過適時演示給學(xué)生以啟示，從而優(yōu)化教學(xué). 如教師讓學(xué)生通過圓規(guī)和細(xì)線作出1 rad，2 rad，-3 rad的角的同時，運用幾何畫板進行了演示，加深了學(xué)生的直觀感受，實現(xiàn)了知識深化.

總之，在教學(xué)過程中，教師以“四個理解”為出發(fā)點，借助實驗、探究等數(shù)學(xué)活動引導(dǎo)學(xué)生理解引入新知的合理性和必要性，以此激發(fā)學(xué)生探究新知的熱情，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻：

[1]? 徐兆洋. 數(shù)學(xué)理解型教學(xué)及其課例設(shè)計[J]. 數(shù)學(xué)通報，2012，51（01）：41-44.

[2]? 徐輝. 有效追問讓初中數(shù)學(xué)課堂走向深入[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（18）：65-68.