嚴(yán)步勝

【摘要】高中數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題較為抽象，掌握一定的解題技巧，可迅速找到解題思路，提高解題正確率.本文主要介紹捆綁法、插空法、隔板法、間接法、特殊元素法在解題中的具體應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 排列組合;解題思路;解題策略

1 常見(jiàn)問(wèn)題以及原因分析

1.1 理論知識(shí)薄弱

現(xiàn)階段，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，針對(duì)排列組合主要存在理論知識(shí)薄弱的問(wèn)題，想要了解排列組合，必須要明白“排列”和“組合”這兩種問(wèn)題的聯(lián)系和區(qū)別，兩者所涉及到的思維和計(jì)算公式存在比較大的區(qū)別，對(duì)此，教師利用傳統(tǒng)的教學(xué)方法，會(huì)直接導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)審題不清晰的情況，不能正確認(rèn)識(shí)到問(wèn)題類(lèi)型，從而導(dǎo)致在計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)公式錯(cuò)誤的現(xiàn)象，長(zhǎng)期以往，便會(huì)形成錯(cuò)誤的思維觀(guān)念，使其計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.

1.2 計(jì)算不當(dāng)

數(shù)學(xué)知識(shí)自發(fā)展以來(lái)，排列組合便是重要的知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生的綜合能力和思維能力，但是，由于其計(jì)算層面過(guò)于單一，沒(méi)有涉及到新的方法，學(xué)生便會(huì)出現(xiàn)粗心的現(xiàn)象，從而經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)計(jì)算以及數(shù)據(jù)遺漏等問(wèn)題，在這種狀態(tài)下，在進(jìn)行考試時(shí)，學(xué)生對(duì)經(jīng)常出現(xiàn)丟分等問(wèn)題.

1.3 重要條件遺漏

在排列組合知識(shí)教學(xué)中，題目條件是保證解題正確與否的重要環(huán)節(jié)，由于在常見(jiàn)的問(wèn)題中，所涉及到的情境比較復(fù)雜多變，所體現(xiàn)出來(lái)的題目形式也變化多端，對(duì)此，學(xué)生在進(jìn)行求解時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)可能一個(gè)符號(hào)的改變將會(huì)直接影響到計(jì)算條件，從而導(dǎo)致整個(gè)計(jì)算過(guò)程出現(xiàn)偏移.學(xué)生在審題過(guò)程中，如果不能將題目中現(xiàn)有的信息進(jìn)行整理，那么將會(huì)直接導(dǎo)致其判斷失誤，最終無(wú)法得到正確結(jié)果.

2 相關(guān)方法和思想刨析

2.1 捆綁法

例1 用1～8共8個(gè)數(shù)字組成不重復(fù)的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3和4相鄰，7和8不相鄰，則這樣的八位數(shù)有個(gè)__________.

解析 1和2相鄰可將其捆綁成一個(gè)元素M，兩者之間可進(jìn)行全排共有A²₂種排法;同理，3和4相鄰捆綁成一個(gè)元素N，也有有A²₂種排法;則M、N、5、6全排有A⁴₄種排法;排好的元素形成5個(gè)空隙，將7和8插入空隙中有A²₅中方法.則可組成八位數(shù)的個(gè)數(shù)為A²₂A²₂A⁴₄A²₅=2×2×4×3×2×1×5×4=1920個(gè).

2.2 插空法

例2 5個(gè)女孩和6個(gè)男孩圍成一個(gè)圈，任意2個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩，則不同的排法有種________.

解析 女孩有5個(gè)，男孩有6個(gè)且任意2個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩，則有且僅有2個(gè)男孩站在一起.先將5個(gè)女孩站成一個(gè)圈，共有排法5！/5=24種;此時(shí)形成5個(gè)空隙，將6個(gè)男孩按照1、1、1、1、2分成5組，有C²₆=15種分法;將男孩插入到空隙中有A⁵₅=120種方法;站在一起的男孩有2種站法，因此，不同的排法有：24×15×120×2=86400種排法.

2.3 隔板法

例3將15個(gè)三好學(xué)生名額分給1、2、3、4共4個(gè)班級(jí)，其中1班至少2個(gè)名額，2班、4班每班至少3個(gè)名額，3班最多2個(gè)名額，則共有________種不同分配方案.

解析 3班最多有2個(gè)名額，因此，可分為2個(gè)名額、1個(gè)名額、0個(gè)名額三種情況進(jìn)行討論.（1）當(dāng)3班有2個(gè)名額時(shí)，給1班分1個(gè)名額，2班和4班每班2個(gè)名額，還剩余8個(gè)名額;（2）8個(gè)名額有7個(gè)空隙，插入2個(gè)隔板分層三組，1班、2班、4班各分得一組，共有分法C²₇種;（3）當(dāng)3班有1個(gè)名額時(shí)，給1班分1個(gè)名額，2班和4班每班2個(gè)名額，剩余9個(gè)名額有8個(gè)空隙，插入2個(gè)隔板分層三組，1班、2班、4班各分得一組，共有分法C²₈種;當(dāng)3班沒(méi)有名額時(shí)，給1班分1個(gè)名額，2班和4班每班2個(gè)名額，在10個(gè)名額的9個(gè)空隙中插入2個(gè)隔板分層三組，1班、2班、4班各分得一組，共有分法C²₉種;綜上共有分配方案C²₇+C²₈+C²₉=21+28+36=85種.

2.4 間接法

例4 派遣6為老師到甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)校開(kāi)展支教活動(dòng)，其中甲、乙學(xué)校各派遣1人，剩余兩個(gè)學(xué)校各派遣2個(gè)人，要求李老師和王老師不能派遣到一個(gè)學(xué)校，則可能的方案有多少種？

解析 可先不考慮兩位老師的特殊要求，對(duì)名額進(jìn)行全排，而后減去兩位老師派遣到一個(gè)學(xué)校的情況.從6位老師選取一位到甲學(xué)校，有C¹₆種選法;在剩余5位老師中選取一位到乙學(xué)校，有C¹₅種選法，剩余4位教師平均分成兩組，派遣到剩余兩個(gè)學(xué)校，共有C²₄C²₂/A²₂×A²₂種排法;將李老師和王老師派遣到一起，到丙學(xué)?；蛘叨W(xué)校，共有2種可能;在剩余4為老師中選出一位到甲學(xué)校，有C¹₄種方法;在剩余3位老師選出一位到乙學(xué)校共有C¹₃種方法.最后兩位老師均到同一所學(xué)校，有1種可能.綜上滿(mǎn)足題意的方案有C¹₆×C¹₅×C²₄C²₂/A²₂×A²₂-2C¹₄C¹₃=180-24=156種.

2.5 特殊元素法

例5 用0～5共6個(gè)數(shù)字，組成能夠被5整除且不重復(fù)的五位數(shù)有多少個(gè)？

解析 先分析被5整數(shù)的五位數(shù)有什么特點(diǎn)，即，個(gè)數(shù)數(shù)是0或5，而后在進(jìn)行分類(lèi)分析.當(dāng)末尾數(shù)為0時(shí)，則從1～5位數(shù)數(shù)字選取4個(gè)全排，共有A⁴₅=120個(gè);當(dāng)末尾數(shù)為5時(shí)，則首位不能為0，首位有C¹₄種選法，中間數(shù)字無(wú)限制，共有排法A³₄種.綜上滿(mǎn)足題意的五位數(shù)有A⁴₅+C¹₄A³₄=120+96=216個(gè).

2.6 分類(lèi)討論法

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類(lèi)討論法是比較常見(jiàn)的數(shù)學(xué)方法，其主要核心是在解題過(guò)程中結(jié)合現(xiàn)有對(duì)象存在的差異進(jìn)行劃分類(lèi)別，同時(shí)，要保證在分類(lèi)時(shí)明確分類(lèi)原則的確定.只有在解題過(guò)程中充分利用分類(lèi)討論法，將題目中存在的條件等因素進(jìn)行分類(lèi)討論，這樣才能夠在解決排列組合問(wèn)題時(shí)，避免出現(xiàn)重復(fù)和數(shù)據(jù)遺漏等問(wèn)題，

例6 箱子中有8個(gè)大小完全相同的小球，其中5個(gè)小球的顏色相同，而剩下3個(gè)小球分別為紅、黃、綠，這三個(gè)小球代表優(yōu)秀獎(jiǎng)、先進(jìn)獎(jiǎng)和進(jìn)步獎(jiǎng)，顏色相同的小球?yàn)楣膭?lì)獎(jiǎng)，現(xiàn)將這些小球放入箱子中，安排4位學(xué)生進(jìn)行抽取，試討論獲獎(jiǎng)情況.

解析 由現(xiàn)有條件可知，每個(gè)學(xué)生可以得到兩個(gè)小球，對(duì)此，可以對(duì)其進(jìn)行以下分類(lèi)：

由已知條件可知，每個(gè)人會(huì)得到兩個(gè)小球，可以進(jìn)行如下分類(lèi)：首先，如果一個(gè)人獲得兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，一個(gè)人獲得一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，剩下的學(xué)生沒(méi)有獲得獎(jiǎng)項(xiàng).其次，如果其中四個(gè)人中有三人個(gè)人分別獲得獎(jiǎng)項(xiàng)，那么剩余一人沒(méi)有獎(jiǎng)項(xiàng).按照這種方式，進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)，便要充分將這兩種情況納入到計(jì)算中來(lái)，可以有效對(duì)每一種類(lèi)別進(jìn)行計(jì)算.對(duì)此，在計(jì)算中，需要從有獎(jiǎng)的小球中進(jìn)行挑選，放到A位置，其中有C²₃=3（種）可能，那么剩下的小球便有各有一個(gè)無(wú)獎(jiǎng)和有獎(jiǎng)，在其他位置中，各有兩個(gè)無(wú)差別的無(wú)獎(jiǎng)小球;接著從其他角度出發(fā)，現(xiàn)已知有獎(jiǎng)的為A、B，從四位學(xué)生中隨機(jī)抽選出兩位學(xué)生進(jìn)行抽獎(jiǎng)，在此期間，要保證結(jié)構(gòu)存在差異性，對(duì)此，將其問(wèn)題轉(zhuǎn)換為排列問(wèn)題，其中A=12，那么共有36種情況.另外一種方法，便是從四人中選出三人去抽獎(jiǎng)，最后一位學(xué)生在其余三人抽獎(jiǎng)結(jié)束后進(jìn)行，對(duì)此，在這種方法下，共有24種情況，從上述分析中，可以發(fā)現(xiàn)總共有60種情況.

綜上所述，排列組合不同的解題技巧有著對(duì)應(yīng)的適用情境，因此，應(yīng)做好不同解題技巧適用題型的總結(jié)，把握相關(guān)解題技巧的特點(diǎn)，搞清楚各解題技巧之間的區(qū)別與聯(lián)系，尤其認(rèn)真分析各解題技巧應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)以及細(xì)節(jié)，并靈活應(yīng)用于解題中，促進(jìn)解題能力的進(jìn)一步提高.