顧維維

圍繞知識(shí)“生成”提高課堂實(shí)效——以《等差數(shù)列的前項(xiàng)和》為例

顧維維

（江蘇省蘇州市吳中區(qū)木瀆金山高級(jí)中學(xué)，江蘇蘇州215128）

課堂教學(xué)是學(xué)生知識(shí)生成、思想鍛煉、技能習(xí)得的主陣地，圍繞知識(shí)“生成”，關(guān)注過程性教學(xué)，讓學(xué)生“親”經(jīng)歷“真”思考，參與其中又“樂”在其中，提高課堂教學(xué)實(shí)效。

等差數(shù)列；首尾配對(duì)

高效課堂教學(xué)的一個(gè)重要特點(diǎn)是在教與學(xué)的過程中讓知識(shí)真實(shí)、自然地生成，對(duì)關(guān)鍵問題的細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)往往是“成敗”的關(guān)鍵。筆者通過聽課學(xué)習(xí)有感而發(fā)，結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，以《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》為載體，闡述教學(xué)應(yīng)如何圍繞知識(shí)生成而設(shè)計(jì)，進(jìn)而從根本上提高課堂實(shí)效。

一、問題的提出

二、教學(xué)問題診斷與策略

如何讓“倒序相加”的思想在學(xué)生腦海里自然生成？首先高斯算法需要“配對(duì)”，當(dāng)項(xiàng)數(shù)不定時(shí)，就要討論項(xiàng)數(shù)的奇偶性，討論起來就比較煩瑣，是否有簡(jiǎn)便的算法成為客觀需求，這是需求鋪墊。其次，通過問題情境建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)置問題1和問題2及其變式，讓學(xué)生深刻理解高斯算法的關(guān)鍵就是“配對(duì)”以及具體如何配對(duì)。這是知識(shí)與技能鋪墊。最后借助問題情境中“三角形數(shù)”模型的幾何直觀，同時(shí)結(jié)合“數(shù)的首尾配對(duì)”，學(xué)生容易想到“形的首尾配對(duì)”，即圖形的“倒置、拼補(bǔ)”思想萌芽就自然形成了，從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度突破難點(diǎn)。

三、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘研究數(shù)學(xué)問題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子表示數(shù)。一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，這樣的數(shù)被稱為“三角形數(shù)”，如下圖所示。

那么第100堆的石子數(shù)是多少？

教師：這個(gè)題目蘊(yùn)含了哪些我們前面學(xué)過的知識(shí)？請(qǐng)同學(xué)們回憶一下。

教師：第100堆的石子數(shù)是多少呢？

學(xué)生：第100堆有100層，若記最上面一層為第1層，那么第1層1個(gè)，第2層2個(gè)，第3層3個(gè)……第100層是100個(gè)，所以第100堆的石子數(shù)是1+2+3+4+……+98+99+100=？

教師：觀察這組數(shù)的求和有什么特點(diǎn)？

學(xué)生：這是一個(gè)首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列的前100項(xiàng)之和。

設(shè)計(jì)意圖：第一，對(duì)于“三角形數(shù)”模型，學(xué)生在前面學(xué)習(xí)數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)已學(xué)習(xí)，使得學(xué)生能夠快速抓住關(guān)鍵問題，引出本節(jié)所要解決的問題。同時(shí)結(jié)合教師引導(dǎo)，學(xué)生能夠內(nèi)化前面學(xué)的等差數(shù)列的相關(guān)概念。第二，“三角形數(shù)”模型是本節(jié)課的主要載體，貫穿于整個(gè)課堂教學(xué)活動(dòng)。第三，模型本身拉近了與學(xué)生之間的距離，營(yíng)造了輕松的學(xué)習(xí)氛圍，體現(xiàn)了情境引入的人文價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。

（二）探索質(zhì)詢，追根溯源

情境中的所求問題可以表示為：

教師：怎樣快速求出其和？

學(xué)生：考慮“首尾配對(duì)”，1+100=2+99=3+98=……=50+51。

教師：漂亮！你的想法很有創(chuàng)意，計(jì)算起來非常簡(jiǎn)便。

巧合的是，德國(guó)著名數(shù)學(xué)高斯在他10歲的時(shí)候就解決了這樣一個(gè)問題，和這位同學(xué)想法一致，通過對(duì)應(yīng)首尾配對(duì)，將不同數(shù)的求和問題轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和問題，即100=1＋2＋3＋……＋100＝（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50+51）＝101×50＝5050.

教師：這種解法非常好，但是有沒有什么弊端？

學(xué)生：不是都能配對(duì)的，比如項(xiàng)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)。

教師：很好！請(qǐng)同學(xué)們看問題2。

問題2：計(jì)算99=1+2+……+99的值。

教師：此時(shí)又如何解決呢？

學(xué)生1：99＝（1+2+……+99+100）－100=100－100＝4950。

教師：厲害！通過加一項(xiàng)減一項(xiàng)實(shí)現(xiàn)部分配對(duì)，化奇為偶，從而找到“相同數(shù)”，有沒有其他解法了呢？

學(xué)生2：99=（1＋2＋……＋98）＋99＝98＋99＝99×49＋99＝4950。

學(xué)生3：99=1＋（2＋……＋99）＝1＋101×49＝4950。

學(xué)生4：99＝（0+99）＋（1＋98）＋……＋（49＋50）＝99×50＝4950。

設(shè)計(jì)意圖：首先給出一個(gè)連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)和的求和，理解首尾配對(duì)求和的原理和方法，然后通過問題2引導(dǎo)學(xué)生對(duì)連續(xù)奇數(shù)項(xiàng)和的求解問題的思考，進(jìn)而更深層次地理解高斯求和的精髓和局限性，為后面倒序相加法的使用做出鋪墊。

問題3：以上我們僅僅是從數(shù)的角度構(gòu)造“首尾配對(duì)”進(jìn)行研究，請(qǐng)同學(xué)們回到問題情境中去，能否從其他角度考慮問題1呢？（小組合作討論）

小組代表：對(duì)圖形也進(jìn)行“首尾配對(duì)”。

教師：你能畫出草圖嗎？

學(xué)生展示。

設(shè)計(jì)意圖：高斯算法需要“配對(duì)”，當(dāng)項(xiàng)數(shù)不定時(shí)，那么就要討論項(xiàng)數(shù)的奇偶性。為了改進(jìn)算法的同時(shí)引出倒序相加原理就設(shè)置了問題3，前面研究的“首尾配對(duì)”求和是從數(shù)的角度，借助情境中的幾何模型求和的。此時(shí)學(xué)生容易想到從“形”的角度考慮“圖形首尾配對(duì)”，即圖形的“倒置、拼補(bǔ)”思想萌芽就自然形成了。緊接著，學(xué)生經(jīng)過小組合作探究，動(dòng)手試驗(yàn)，畫出草圖，得出結(jié)果。

問題4：如果將問題1中的100改為n，請(qǐng)計(jì)算S=1＋2＋3＋……＋.

教師：比一比誰算得既快又準(zhǔn)。

教師：很好，那么對(duì)上述解法，如何用數(shù)學(xué)語言表示出來？

兩式相加，得2S＝（＋1）＋（＋1）+……+（+1）＝（+1）

教師：這種算法妙在哪里？你能給它起個(gè)名字嗎？

學(xué)生：不用考慮項(xiàng)數(shù)的奇偶問題，“首尾配對(duì)相加法?！?/p>

教師：很好，抓住了本質(zhì)！

上述解法可以總結(jié)為兩步：首先倒序表示出S，然后兩式相加，所以在數(shù)學(xué)上稱這種解法為倒序相加法。

設(shè)計(jì)意圖：①根據(jù)問題3的討論，學(xué)生容易想到通過倒置配對(duì)，拼補(bǔ)成平行四邊形解決，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)倒序相加法理解和運(yùn)用；②避開了對(duì)項(xiàng)數(shù)奇偶的討論，使得教學(xué)活動(dòng)更加緊湊連貫，學(xué)習(xí)目標(biāo)更加清晰明確；③引導(dǎo)學(xué)生由圖形語言——數(shù)學(xué)語言——符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

教師：前面我們研究了100，S，都是從1開始加起來，能從其他數(shù)開始嗎？

問題5：根據(jù)問題情境，從第4行到第n行共有多少個(gè)石子？（小組合作探究并畫出草圖）

教師：都很棒，前面同學(xué)利用問題4的方法，將“梯形倒置”轉(zhuǎn)化為平行四邊形處理，后面同學(xué)使用“分割”手段，整體減去部分，在問題1結(jié)論的基礎(chǔ)上計(jì)算，兩種解法答案化簡(jiǎn)后是一致的，可謂“殊途同歸”?。◣缀萎嫲鍎?dòng)態(tài)展示，如下圖所示）

設(shè)計(jì)意圖：由三角形倒置拼補(bǔ)，類比研究梯形倒置拼補(bǔ)，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)倒序相加法原理的理解和運(yùn)用，為后面等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)奠定了基礎(chǔ)。

（三）自主探究，匯報(bào)交流

S＝1＋2＋3＋……＋a-2＋a-1＋a

S＝a＋a-1＋a-2＋……＋3＋2＋1

兩式相加得，2S=（1＋a）＋（2＋a－1）＋……＋（a＋1）=（a＋1）

S＝1＋2＋3＋……＋a=1＋（1＋）＋（1＋2）＋……＋[1＋（－1）]

S＝a＋a－1＋……＋1=a＋（a－）＋（a－2）＋……＋[a－（－1）]

兩式相加得2S＝（1＋a）＋（1＋a）＋（1＋a）＋……＋（1＋a）＝（1＋a）

S＝1＋（1＋d）＋（1＋2d）＋……[1＋（－1）]

＝1＋[1＋2＋……（－1）]

教師：（1）公式一和公式二是否相等？請(qǐng)給出嚴(yán)格證明；

（2）這兩個(gè)公式中共包含哪些量？如何選取合適公式進(jìn)行計(jì)算？

設(shè)計(jì)意圖：從問題3到問題5，讓學(xué)生經(jīng)歷特殊——一般——再一般的探究過程?；谏鲜龌顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，學(xué)生對(duì)問題6等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)變得水到渠成。在這個(gè)過程中放手讓學(xué)生自主推導(dǎo)，并交流成果，使學(xué)生對(duì)倒序相加法認(rèn)識(shí)得到了進(jìn)一步的升華。

四、反思與感悟

（一）以教材為方向，用“好”教材，精心設(shè)計(jì)問題情境

筆者參閱了各個(gè)版本的教材，深刻挖掘教材中所給情境的內(nèi)涵，以及它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，認(rèn)為問題情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)“源于課本，高于課本”，一般應(yīng)遵循適用性、目的性、科學(xué)性和趣味性原則。本文創(chuàng)設(shè)的問題情境是從學(xué)生熟悉的“三角形數(shù)”入手，引出“高斯算法”，讓學(xué)生理解其“配對(duì)”思想，為后面問題1和問題2的研究做了較好知識(shí)準(zhǔn)備；同時(shí)借助“三角形數(shù)”模型的幾何直觀，為后面問題4、5、6的研究做了思想、方法準(zhǔn)備，貫穿于整個(gè)教學(xué)活動(dòng)之中。

（二）以問題為主線，遵循知識(shí)生成、發(fā)展規(guī)律

教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)是基于“人”為前提，設(shè)計(jì)是“為人服務(wù)”的，應(yīng)遵循知識(shí)生成方式和發(fā)展的規(guī)律。尤其在重難點(diǎn)處的設(shè)計(jì)應(yīng)充分以學(xué)生為中心，站在學(xué)生的角度看待問題，想學(xué)生之所想，解學(xué)生之所惑。如何讓“倒序相加”的思想在學(xué)生腦海里自然生成？這就是本節(jié)課的難點(diǎn)，教學(xué)設(shè)計(jì)以問題串線貫穿始終，從問題情境到問題1，從問題1到問題6，始終秉持以自主探究、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、合作交流、成果展示、“查缺補(bǔ)漏”的方式讓學(xué)生參與進(jìn)來，問題設(shè)置上層層遞進(jìn)，分散問題難度，將重難點(diǎn)逐步“瓦解”。

（三）以重視“過程性教學(xué)”為原則，建構(gòu)高效教學(xué)活動(dòng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確提出學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)習(xí)結(jié)果，更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)過程。過程性教學(xué)的關(guān)鍵是要?jiǎng)?chuàng)造合適的條件將學(xué)生“融入”到教學(xué)活動(dòng)上來，讓學(xué)“親經(jīng)歷，真思考”。比如在前面問題探討時(shí)，學(xué)生會(huì)遇到不定項(xiàng)數(shù)連續(xù)等差數(shù)列求和時(shí)該怎么辦，是硬著頭皮分類討論算下去，還是“另尋出路”？教師應(yīng)留有一定時(shí)間讓學(xué)生經(jīng)歷這樣一個(gè)思維過程，而不是直接或間接說出結(jié)果，再或者“逼著”學(xué)生往這個(gè)結(jié)果上引導(dǎo)。本文適時(shí)給出了問題3，讓學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度同時(shí)考慮，此時(shí)的學(xué)生有了一種“恍然大悟”。有了這種思想萌芽，緊接著讓學(xué)生思考、試驗(yàn)，然后交流成果。讓學(xué)生真實(shí)經(jīng)歷了這樣一個(gè)自主探究的完整過程，從根本上提高了課堂教學(xué)的有效性。

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.

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