朱曉琳

（青海師范大學(xué) 青海西寧 810016）

引言

近年來，學(xué)科核心素養(yǎng)成為高中教育領(lǐng)域、教育研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)話題。由于自身的性質(zhì)和特點(diǎn)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)被概括為六個方面：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。在價值方面，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)[1]。需要注意的是，在課程標(biāo)準(zhǔn)的附錄1中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個方面又被劃分為了程度依次遞進(jìn)的水平一、水平二、水平三三個水平，各個素養(yǎng)的不同水平也有相對應(yīng)的文字說明。這是我們下面進(jìn)行習(xí)題研究的依據(jù)。

隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的再次修訂以及新版教材的問世，此方面的研究也需要在原有的基礎(chǔ)上加以更新。本文根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)中闡述的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)涵及三種水平，對新人教A版和北師大版高中數(shù)學(xué)教材中的“三角函數(shù)”一章習(xí)題進(jìn)行對比研究，主要探討兩個問題：一是兩版教材習(xí)題在體現(xiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)類型上的差異；二是兩版教材習(xí)題在體現(xiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平上的差異。

一、研究設(shè)計

1.研究對象

根據(jù)現(xiàn)行教材的使用分布情況，本研究選取2019年教育部審定通過的人民教育出版社（簡稱“新人教A版”）出版的高中數(shù)學(xué)教材和北京師范大學(xué)出版社（簡稱“北師大版”）出版的高中數(shù)學(xué)教材“三角函數(shù)”一章（本章位于“新人教A版”高中數(shù)學(xué)教材必修第一冊第五章，“北師大版”高中數(shù)學(xué)教材必修第二冊第一章）全部習(xí)題，包括：“練習(xí)”“習(xí)題”和“復(fù)習(xí)題”（或“復(fù)習(xí)參考題”）的全部題目?！靶氯私藺版”高中數(shù)學(xué)教材“三角函數(shù)”一章習(xí)題總數(shù)為199，“北師大版”高中數(shù)學(xué)教材“三角函數(shù)”一章習(xí)題總數(shù)為155。

2.研究設(shè)計

（1）研究假設(shè)

本研究假設(shè)研究對象中的每道題目至少蘊(yùn)含一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。從圖形或者實際情境中抽象出三角函數(shù)模型解決相關(guān)問題涉及數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；借助三角函數(shù)圖象判斷任意角三角函數(shù)值的正負(fù)性等問題涉及直觀想象素養(yǎng)；弧度制與角度制之間的轉(zhuǎn)換，利用誘導(dǎo)公式和三角恒等變換求解式子和證明等式涉及邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；利用函數(shù)模型解決現(xiàn)實情景問題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)與“三角函數(shù)”部分沒有明顯聯(lián)系，故不考慮該核心素養(yǎng)。綜上分析可見，本研究的假設(shè)是成立的。

（2）對習(xí)題核心素養(yǎng)類型的劃分

對習(xí)題核心素養(yǎng)類型的劃分標(biāo)準(zhǔn)是課程標(biāo)準(zhǔn)中闡述的各素養(yǎng)的內(nèi)涵。在界定本章習(xí)題素養(yǎng)類型的時候，我們發(fā)現(xiàn)，部分題目蘊(yùn)含兩種及以上核心素養(yǎng)。究其原因，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間是相互聯(lián)系的。對于這種情況，本文進(jìn)行說明：在確定習(xí)題數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)類型時，根據(jù)題目的性質(zhì)優(yōu)先選擇重點(diǎn)考查的核心素養(yǎng)，對于綜合考查多種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的題目，可以同時選取多個核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)類型劃分示例：

此題需要借助函數(shù)圖象判斷兩函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)，其中，t不是確定值，是需要進(jìn)行討論的。所以，本題體現(xiàn)了直觀想象與邏輯推理兩種核心素養(yǎng)。

（3）對習(xí)題核心素養(yǎng)水平的劃分

在確定了題目的核心素養(yǎng)類型之后，接下來就是需要確定題目體現(xiàn)的核心素養(yǎng)類型所處的水平。這里，本文需要再次作出說明：某習(xí)題的核心素養(yǎng)總體水平確定為本題所涉及的多個核心素養(yǎng)類型中水平的最高值。

本題只需要正確運(yùn)用正切的誘導(dǎo)公式展開：

考查對正切誘導(dǎo)公式的簡單應(yīng)用，所以將此題歸結(jié)為數(shù)學(xué)運(yùn)算的水平一范疇。

本題需要根據(jù)學(xué)生從頂角余弦出發(fā)，選擇合適的誘導(dǎo)公式、三角恒等變換以及倍角公式設(shè)計運(yùn)算過程解答，所以將此題歸結(jié)歸結(jié)為數(shù)學(xué)運(yùn)算的水平二范疇。

3.編碼與數(shù)據(jù)統(tǒng)計方法

（1）編碼方法

分別用RA、BS代表新人教A版和北師大版高中數(shù)學(xué)教材，用數(shù)字1、2、3分別表示水平一、水平二、水平三。用RA1，RA2，…，RAn表示新人教A版教材的第1，2，…，n題；用BS1，BS2，…，BSn表示北師大版教材的第1，2，…，n題。

（2）數(shù)據(jù)統(tǒng)計方法

在核心素養(yǎng)類型上，統(tǒng)計出每版教材中體現(xiàn)各個素養(yǎng)的習(xí)題總數(shù)，然后除以該教材“三角函數(shù)”一章習(xí)題的總數(shù)，得到該教材習(xí)題在各個核心素養(yǎng)類型上的比重。

在核心素養(yǎng)水平上，從兩方面進(jìn)行統(tǒng)計。一方面，統(tǒng)計出每版教材中各個核心素養(yǎng)類型下不同水平的題目個數(shù)，然后除以對應(yīng)核心素養(yǎng)類型的習(xí)題總數(shù)；另一方面，分別統(tǒng)計出兩版教材中處于水平一、水平二、水平三的題目的數(shù)量，除以對應(yīng)教材“三角函數(shù)”一章習(xí)題總數(shù)，得到兩版教材“三角函數(shù)”一章習(xí)題在水平一、水平二、水平三上的數(shù)量比重。

二、數(shù)據(jù)結(jié)果

1.在核心素養(yǎng)類型上的統(tǒng)計結(jié)果

兩版教材“三角函數(shù)”一章習(xí)題在五個核心素養(yǎng)類型上的統(tǒng)計結(jié)果見表1及圖1。

表1 兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在核心素養(yǎng)類型上的題目數(shù)量及比重

圖1 兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在核心素養(yǎng)類型上的數(shù)量比重（%）

2.在核心素養(yǎng)水平上的統(tǒng)計結(jié)果

兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在五個核心素養(yǎng)水平上的統(tǒng)計結(jié)果見表2和表3。

表2 兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在各核心素養(yǎng)不同水平上的題目數(shù)量（個）

表3 兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在各核心素養(yǎng)不同水平上的題目比重（%）

兩版高中數(shù)學(xué)教材“三角函數(shù)”習(xí)題在三水平的比重見表4。

表4 兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在三水平上的題目數(shù)量及比重

三、研究結(jié)論

1.在核心素養(yǎng)類型上的結(jié)論

（1）兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)上的比重較高

根據(jù)表1和圖1，可以看出，兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)方面的比重相對較高。其中，在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)上的比重最高，新人教A版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)上的比重為71%，是兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在各核心素養(yǎng)類型上的最高比重。北師大版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)上的比重為63%。

兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)方面的比重相對較低。北師大版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)上的比重是最低的2%。

（2）兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在核心素養(yǎng)類型上存在差異

進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)方面，新人教A版教材的題目比重（71%）高于北師大版教材的題目比重（63%）?？梢姡氯私藺版教材更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生通過準(zhǔn)確運(yùn)算理解鞏固知識和解決問題的能力；在直觀想象素養(yǎng)方面，北師大版教材的題目比重（20%）明顯高于新人教A版教材的題目比重（8%）。

2.在核心素養(yǎng)水平上的結(jié)論

（1）兩版教材習(xí)題素養(yǎng)水平大都處于水平一、水平二，少數(shù)習(xí)題處于水平三

由表4可知，兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在核心素養(yǎng)水平上大都處于水平一和水平二，少數(shù)習(xí)題處于水平三，且在水平一上的比重均高于在水平二上的比重。在水平一、二上，北師大版教材“三角函數(shù)”習(xí)題的比重（97%）相對較高。在水平三上，新人教A版教材習(xí)題的比重（10%）相對較高。

（2）兩版教材習(xí)題在各核心素養(yǎng)的各水平上各有側(cè)重

在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)方面，兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在三水平上分布相對均衡。在水平一上，北師大版教材“三角函數(shù)”習(xí)題的比重（38%）相對較高。在水平二、三上，新人教A版教材“三角函數(shù)”習(xí)題的比重（31%和44%）相對較高。

在邏輯推理素養(yǎng)方面，兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題主要分布在水平一、二，且在水平二上的比重（54%和66%）最高。北師大版教材“三角函數(shù)”習(xí)題未涉及水平三。在水平一上，新人教A版教材“三角函數(shù)”習(xí)題（40%）的比重相對較高。在水平二上，北師大版教材“三角函數(shù)”習(xí)題的比重（66%）相對較高。

在數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)方面，新人教A版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在三水平上均有分布，且在水平三上的比重（50%）最高。北師大版教材“三角函數(shù)”習(xí)題均分布在水平二。

在直觀想象素養(yǎng)方面，新人教A版教材“三角函數(shù)”習(xí)題主要分布在水平一，北師大版教材“三角函數(shù)”習(xí)題主要分布在水平二。兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題均未涉及水平三。

在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)方面，兩版教材“三角函數(shù)”習(xí)題主要分布在水平一、二，且在水平一上的比重最大。在水平一上，北師大版教材“三角函數(shù)”習(xí)題的比重（73%）相對較高。在水平二上，新人教A版教材“三角函數(shù)”習(xí)題的比重（39%）相對較高。

四、結(jié)語

1.對新人教A版教材“三角函數(shù)”習(xí)題的編寫建議

（1）適當(dāng)提高體現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的習(xí)題比重

基于直觀想象素養(yǎng)方面，北師大版教材“三角函數(shù)”習(xí)題的題目比重顯著高于新人教A版教材“三角函數(shù)”習(xí)題的題目比重這種情況。對直觀想象的考查習(xí)題，主要分布在對三角函數(shù)的圖象的考查中，三角函數(shù)圖象相關(guān)內(nèi)容隸屬于三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于核心的考點(diǎn)[2]。對于新人教A版教材“三角函數(shù)”習(xí)題而言，建議適當(dāng)提高體現(xiàn)直觀想象的習(xí)題比重。

（2）適當(dāng)提高居于水平二的習(xí)題比重

基于新人教A版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在水平一上的比重高于在水平二上的比重這種情況，同時考慮到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平二是高考命題的依據(jù)。建議新人教A版教材在保證居于水平一的“三角函數(shù)”題目比重的前提下適當(dāng)提高本章居于水平二的體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)習(xí)題的比重，以此發(fā)展學(xué)生的相關(guān)核心素養(yǎng)。

2.對北師大版教材“三角函數(shù)”習(xí)題的編寫建議

（1）適當(dāng)提高體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的習(xí)題比重

基于在直觀想象素養(yǎng)方面，新人教A版教材“三角函數(shù)”習(xí)題的題目比重高于北師大版教材“三角函數(shù)”習(xí)題的題目比重這種情況。對于北師大版教材“三角函數(shù)”習(xí)題而言，建議適當(dāng)提高體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的習(xí)題比重，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。

（2）適當(dāng)提高居于水平二的習(xí)題比重

基于北師大版教材“三角函數(shù)”習(xí)題在水平一上的比重高于在水平二上的比重這種情況，同時考慮到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平二是高考命題的依據(jù)[3]。建議北師大版教材在保證居于水平一的“三角函數(shù)”題目比重的前提下適當(dāng)提高本章居于水平二的體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的習(xí)題比重，提高學(xué)生的抽象概括和運(yùn)算能力，幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識。