陳曉霞，劉軍波，邢靜忠，姚云鵬

（1.天津工業(yè)大學 天津市現(xiàn)代機電裝備技術(shù)重點實驗室，天津 300387；2.天津工業(yè)大學機械工程學院，天津 300387）

諧波齒輪具有傳動比大、傳動精度高等優(yōu)點[1]，被廣泛應用于航空航天[2]、機器人[3]、精密儀表等領域。諧波齒輪作為機器人關(guān)節(jié)的核心部件，在高精度、高承載能力等方面有較高要求[4]。負載工況下輪齒的嚙合力分布及齒面接觸狀態(tài)對傳動性能有重要影響。

為提升傳動性能，姜歌東等[5]提出一種雙向共軛設計方法實現(xiàn)多點嚙合，提升嚙合性能。LI 等[6]建立波發(fā)生器優(yōu)化模型，降低柔輪的最大周向應力，使應力分布更均勻。為研究負載工況的嚙合力分布，姜世平等[7]通過實驗測量切向力和徑向力，獲得載荷分布方程，證明嚙合區(qū)載荷為非線性分布。崔博文等[8]以有限元初始側(cè)隙和柔度矩陣為條件，建立接觸模型，獲得嚙合力分布。Ma 等[9]針對柔輪嚙合區(qū)受載變形，研究了不同扭矩下嚙合齒對數(shù)和嚙合線長度。鄒創(chuàng)等[10]將嚙合力加載到嚙合輪齒節(jié)點，求解分析了柔輪應力和變形與負載的關(guān)系。馬南飛[11]通過有限元和數(shù)學方法求得雙圓弧齒廓的齒面載荷分布。Wu 等[12]計算了不同工況下雙圓弧齒形柔輪齒間的嚙合力分布。Sahoo 等[13]考慮到載荷與齒體變形成正比的關(guān)系，計算了接觸齒對所分擔的載荷。陳曉霞等[14]基于初始側(cè)隙和線性嚙合剛度矩陣，構(gòu)造了漸開線齒廓諧波齒輪傳動的嚙合力和側(cè)隙迭代算法。牛洪波[15]求解分析了漸開線齒廓諧波齒輪傳動的嚙合力沿軸向的分布，發(fā)現(xiàn)中截面嚙合力大，前截面和后截面的嚙合力小。通過徑向變位可以設置沿軸向的側(cè)隙分布，增大齒面接觸區(qū)[16-18]。三圓弧齒廓具有嚙合齒數(shù)多、嚙合側(cè)隙均勻和接觸面積大等優(yōu)點[19-20]。但齒廓設計理念是否有利于負載工況下的嚙合性能提升，需要構(gòu)建接觸分析模型，評估不同負載的嚙合狀態(tài)，驗證和改進齒廓設計方案及齒向修形措施，為齒廓設計和修形提供驗證手段。

為準確揭示三圓弧空間齒廓的多齒接觸狀態(tài)，本文建立實體單元三圓弧齒廓杯形柔輪有限元模型。定義齒面間的面-面接觸關(guān)系，對剛輪施加逐步增大的轉(zhuǎn)角位移來模擬不同負載。迭代求解不同負載下齒面間的嚙合狀態(tài)，提取接觸區(qū)大小及最高接觸壓力。通過沿輪齒周向、齒寬軸向和負載大小等3 個維度揭示三圓弧空間齒廓諧波齒輪的負載嚙合過程，為共軛齒廓設計、齒向修形及齒面磨損和效率分析提供依據(jù)。

1 諧波齒輪參數(shù)及建模

1.1 三圓弧空間齒廓柔輪參數(shù)及建模

1.1.1 柔輪結(jié)構(gòu)

以25-120 型諧波齒輪減速器為例，速比為120，柔輪齒數(shù)z1=240、剛輪齒數(shù)z2=242。柔輪結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要包括變厚度齒圈、筒體和杯底。

圖1 柔輪齒圈及柔輪整體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Overall structure diagram of tooth ring and flexspline

圖1 中：δf、δb分別為柔輪齒圈前后截面徑向修形量；b1為齒寬；齒體前倒角b2×45°；rb、rc分別為柔輪筒體內(nèi)、外壁半徑；r1、r4分別為齒圈后倒圓、杯底倒圓半徑；rn為螺栓孔中心的半徑定位尺寸；l 為柔輪總長。參數(shù)值如表1 所示。

表1 柔輪筒體結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of flexspline cylinder

1.1.2 柔輪齒廓

柔輪齒廓如圖2 所示。

圖2 中：齒廓段AF 由AB、BC、CD、DF 4 段圓弧通過相切關(guān)系光滑連接而成；G 點為柔輪齒體對稱線與半徑為r0的分度圓的交點；R1、R2、R3、R4分別對應自上而下各齒廓段圓弧半徑；h1、h2分別對應B、C 兩點至分度圓的徑向高度；ra、rf分別為齒頂圓和齒根圓的半徑；s 為柔輪分度圓齒厚，分度圓壓力角η=9.9°。具體參數(shù)值如表2 所示。

表2 三圓弧柔輪齒廓參數(shù)Tab.2 Parameters of tooth profile of tri-arc flexspline

1.1.3 空間齒廓柔輪建模

根據(jù)表1 和表2 的柔輪筒體結(jié)構(gòu)及齒廓參數(shù)，采用自下而上的建模方法。按照齒體-齒圈-筒體-柔輪整體的建模順序，定義齒廓關(guān)鍵點進行參數(shù)化建模，避免布爾操作，便于齒廓參數(shù)及修形方案的修改。在計算截面建立圖2 所示齒廓，按照徑向變位方案，沿軸向向前、向后分別拉伸生成整個齒體，對其進行映射網(wǎng)格剖分，如圖3 所示。柔輪材料的楊氏模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3。單元選用20 節(jié)點六面體單元SOLID186。周向陣列齒體z1份，形成柔輪齒圈結(jié)構(gòu)。建立柔輪其他部分，與齒圈合并形成整體模型。

圖3 三維柔輪齒體建模Fig.3 3D modeling about tri-arc tooth of flexspline

1.2 剛輪圓弧齒廓及齒體模型

1.2.1 剛輪圓弧齒廓

剛輪齒廓是根據(jù)包絡理論求出的共軛齒形，如圖4 所示。

圖4 剛輪圓弧齒廓Fig.4 Circular-arc tooth profile of circular spline

圖4 中：坐標軸yg軸為剛輪齒槽對稱軸；剛輪齒廓段HN 由HI、IJ、KM、MN 4 段圓弧和公切線JK 通過相切關(guān)系連接而成；Rg1、Rg2、Rg3、Rg4為對應自下而上各齒廓段圓弧半徑；圓弧KM 和IJ 的圓心坐標分別為（xg2，yg2）和（xg3，yg3）；JK 段壓力角η2=16.86°；hg1和hg2分別為J、K 至H 點的徑向高度；rga和rgf分別為剛輪齒頂圓與齒根圓半徑。剛輪齒廓參數(shù)如表3 所示。

表3 剛輪圓弧齒廓參數(shù)Tab.3 Parameters of circular-arc tooth profile of circular spline

1.2.2 平面齒廓剛輪建模

基于表3 的剛輪齒廓參數(shù)，建立實體單元平面齒廓剛輪（齒槽）模型，如圖5 所示。沿周向陣列z2份形成剛輪整體模型。

圖5 剛輪建模Fig.5 Modeling of circular spline

1.3 接觸關(guān)系及求解設置

1.3.1 定義接觸關(guān)系

將橢圓波發(fā)生器模型簡化為與其外輪廓線相同的剛性橢圓柱面，其長軸最大變形量w0=0.264 mm。選用SHELL63 殼單元進行網(wǎng)格劃分。

裝配狀態(tài)下，波發(fā)生器迫使柔輪變形。定義波發(fā)生器與柔輪內(nèi)壁接觸，波發(fā)生器設為剛體，柔輪內(nèi)壁設為柔體。

由于剛輪齒體剛度遠大于柔輪齒體剛度，故選擇剛輪齒體接觸面為剛體目標單元TARGET170，柔輪齒體接觸面選用CONTACT174 柔性接觸單元。以不同實常數(shù)（R）建立各對嚙合齒面間的接觸關(guān)系，如圖6中R1（P-p）、R2（Q-q）、R3（U-u）……，以減少接觸分析時尋找目標面的迭代次數(shù)，同時便于后處理中的結(jié)果提取。

圖6 以實常數(shù)定義齒面接觸關(guān)系Fig.6 Defining tooth contact relationship with real constant

1.3.2 求解條件設置

柔輪杯底孔內(nèi)側(cè)所有節(jié)點施加固定約束。波發(fā)生器不發(fā)生轉(zhuǎn)動和變形，對其所有節(jié)點施加全約束。

對剛輪加載不斷增大的轉(zhuǎn)角位移，進行迭代計算。首先確定額定轉(zhuǎn)矩下剛輪的轉(zhuǎn)動位移，而后采用多重負載文件方法進行負載迭代計算，保存各載荷步的計算結(jié)果。

剛輪逆時針旋轉(zhuǎn)，此時長軸左側(cè)為嚙出區(qū)，右側(cè)為嚙入?yún)^(qū)。

1.4 空載側(cè)隙的軸向分布及有限元驗證

空載側(cè)隙是影響齒面嚙合力分布和接觸狀態(tài)的重要指標。利用共軛齒廓設計理論，可得柔輪嚙合運動的剛輪齒廓離散點。擬合圓弧齒廓剛輪時可以選擇不同的擬合方案，得到不同的初始側(cè)隙。由于長軸區(qū)的齒面間相對滑動量最小，且該嚙合區(qū)的凸凹齒面接觸壓力更小，有助于提升整機效率并降低齒面接觸壓力。同時考慮到中截面有波發(fā)生器的徑向支撐，周向嚙合剛度和承載能力更強[14]。中截面設置最小的初始側(cè)隙，可以使更多嚙合力分布在中截面。軸向通過齒向修形得到立體齒廓，以避免中截面以外的齒廓干涉，同時使嚙合力沿軸向的分布范圍更寬。

圖7 所示為利用文獻[14]的理論側(cè)隙計算方法計算得到的前、中、后3 個截面的空載側(cè)隙曲線，圖7 中橫軸為嚙合齒位置，0°表示長軸。

圖7 嚙合區(qū)空載側(cè)隙Fig.7 No-load clearance in the meshing zone

由圖7 可知，空載側(cè)隙隨輪齒的嚙合位置先減小后增大；前、中、后截面分別在-5°、3°和35°處達到最小值。前截面-5°位置的初始側(cè)隙達到0，長軸附近的前、中截面?zhèn)认遁^小且變化平穩(wěn)，保證了周向-5°至5°范圍內(nèi)前截面至中截面的零側(cè)隙嚙合。長軸右側(cè)前截面?zhèn)认都眲≡龃?，后截面逐漸減小，在46.5°后與不斷增大的中截面?zhèn)认吨饾u接近，依然大于中截面?zhèn)认?，避免后截面過早進入嚙合而出現(xiàn)負載工況下嚙入?yún)^(qū)齒頂干涉。

基于有限元裝配模型，提取空載狀態(tài)下柔輪齒圈前、中、后截面上的柔輪齒廓變形后位置，計算柔輪齒廓和剛輪齒廓間的周向側(cè)隙，與理論側(cè)隙比對如圖7所示。由圖7 可知，有限元模型側(cè)隙（FEA）與理論結(jié)果吻合良好。齒向修形形成的變厚度齒圈使得前、后截面周向剛度減小，導致理論結(jié)果偏離實際變形；后截面的有限元模型側(cè)隙小于理論結(jié)果；在大于10°的區(qū)域，前截面的有限元模型側(cè)隙小于理論結(jié)果?？傮w看有限元模型側(cè)隙與理論側(cè)隙在中截面吻合良好。

2 不同負載工況下的嚙合狀態(tài)分析

表4 為25-120 型諧波齒輪減速器的額定轉(zhuǎn)矩（RAT）、平均負載轉(zhuǎn)矩的容許最大值（AVT）、起動停止時的容許峰值轉(zhuǎn)矩（STT）及瞬間容許最大轉(zhuǎn)矩（MIT）的轉(zhuǎn)矩數(shù)值。

表4 25-120 型諧波齒輪的各工況負載轉(zhuǎn)矩Tab.4 Load torque of 25-120 harmonic drive under various working conditions

嚙合力是剛輪、柔輪在負載工況下齒面承受的總載荷。為模擬負載逐漸增大至瞬間容許最大轉(zhuǎn)矩時的齒面嚙合狀態(tài)隨負載變化的過程，進行負載迭代計算。圖8 所示為10%RAT、50%RAT、RAT 以及AVT、STT、MIT 共6 個負載工況下齒面嚙合力隨負載變化的分布。

圖8 負載工況下嚙合力分布Fig.8 Distribution of meshing forces under loads

2.1 嚙合齒數(shù)隨負載的變化規(guī)律

由圖8 可知，10%RAT 小負載時，只有長軸附近[-6°，13.5°]的齒參與嚙合；50%RAT 負載時[-12°，32°]的齒參與嚙合；至額載時[-16.5°，43.5°]的齒參與嚙合。隨負載的增加，嚙合齒數(shù)逐漸增加；相比于長軸左側(cè)，長軸右側(cè)參與嚙合的齒數(shù)增加更多。超過額定轉(zhuǎn)矩后，右側(cè)齒數(shù)增加明顯放緩，負載轉(zhuǎn)矩大于167 N·m（STT 負載，2.5RAT）后，右側(cè)嚙合齒數(shù)幾乎不再增多。

2.2 嚙合力隨負載的變化規(guī)律

由圖8 可知，在小于額定轉(zhuǎn)矩階段，嚙合力基本呈左右對稱的單峰分布，在3°最小側(cè)隙處嚙合力最大。隨負載增大，最大嚙合力位置向長軸右側(cè)偏移，右側(cè)24°～36°位置齒面的嚙合力增幅更快，長軸右側(cè)嚙合力大于左側(cè)嚙合力。結(jié)合圖5 側(cè)隙分布，極角大于24°后，后截面的空載側(cè)隙值逐漸接近中截面，負載時后截面逐漸參與嚙合。因后截面周向剛度大，至轉(zhuǎn)矩304 N·m（MIT 負載，4.5RAT）時，36°位置的嚙合力接近最大嚙合力。

3 接觸壓力分析

3.1 接觸壓力分布

齒面接觸壓力分布能反映齒面上嚙合力的分布區(qū)域及最大接觸壓力發(fā)生的位置，以及齒廓在負載工況下的嚙合狀態(tài)。為顯示諧波齒輪減速器齒面接觸壓力隨負載的變化規(guī)律，圖9 中從左至右分別列出了10%RAT、RAT、AVT、MIT 工況下部分齒面的接觸壓力分布。

圖9 不同負載工況下接觸壓力分布Fig.9 Distribution of contact pressure under different loads

圖9 中各列的每個小圖表示一個接觸齒面，每行小圖左側(cè)編號為該齒面所在的周向位置，負、正號分別表示長軸左、右側(cè)；各小圖自下而上為齒根至齒頂方向；圖中橫坐標表示齒面軸向位置，其中0、5、10 分別表示前、中、后截面；0-3、3-7 和7-10 為齒面前、中、后段；圖中數(shù)據(jù)表示接觸壓力，單位為MPa。

由圖9 可以看出，小負載至67 N·m（RAT）工況，長軸左側(cè)齒面前段最先參與嚙合，隨負載增大，接觸區(qū)從齒面前段延伸到中段。長軸區(qū)及其右側(cè)[0°，12°]為齒面中段參與嚙合，隨負載增大，齒面接觸區(qū)從齒面中段向齒面前、后段延伸，其中向齒面前段延伸更多。24°以右，隨負載增大，接觸區(qū)由齒面中段延伸至齒面后段。

沿齒高大多數(shù)柔輪齒面接觸區(qū)為中上區(qū)域，此時柔輪齒廓中圓弧BC 與剛輪IK 段齒廓嚙合，剛輪、柔輪齒體為凸對凹的嚙合狀態(tài)，接觸區(qū)域大，接觸壓力分布均勻，能夠以更低的接觸壓力承載更大的負載轉(zhuǎn)矩。大于24°后，齒面接觸區(qū)逐漸過渡至柔輪齒頂區(qū)域與剛輪齒廓KN 圓弧段嚙合，為凸對凸嚙合，造成接觸壓力隨負載更快地上升。

額載（67 N·m）工況，[-16.5°，43.5°]區(qū)間上齒參與嚙合，約30%的輪齒沿軸向從前截面到后截面、沿齒高的中至上區(qū)域齒面嚙合，單齒軸向1/2 以上的齒寬參與嚙合。最大接觸壓力分布在有波發(fā)生器徑向支撐的中截面，可有效增加負載齒面的耐磨性，提高負載工況下的傳動精度。

至108 N·m（AVT）工況，隨著負載的增大，嚙合區(qū)間增大，長軸左側(cè)更多的齒進入嚙合，長軸右側(cè)沒有變化；齒間接觸壓力和接觸面積均有不同程度的增大。304 N·m（MIT）工況下，約45%的齒在[-33°，48°]區(qū)間上參與嚙合。沿軸向齒面接觸區(qū)不斷增大，形成了穩(wěn)定的面接觸區(qū)域；各齒的中截面附近接觸壓力最大，為主接觸區(qū)域。沿周向長軸左側(cè)[-33°，-4.5°]齒面前、中段為接觸區(qū)；長軸附近[-1.5°，7.5°]從前到后幾乎整個齒面都為接觸區(qū)；長軸右側(cè)[9°，40.5°]中、后段齒面接觸，接觸區(qū)沿軸向可達整個齒面的3/4。42°之后，后截面退出嚙合，接觸區(qū)為齒面中段，且最大接觸壓力發(fā)生在中截面處，還有繼續(xù)提升負載能力的潛力。

3.2 最大接觸壓力的周向分布

圖10 為不同負載工況下沿周向各齒面最大接觸壓力的分布。因長軸區(qū)凸-凹嚙合形成較低的接觸壓力，遠離長軸的凸-凸嚙合形成較高的接觸壓力，超過額定轉(zhuǎn)矩后的最大接觸壓力沿周向呈3 個峰值分布。

圖10 不同負載工況最大接觸壓力沿周向分布Fig.10 Circumferential distribution of maximum contact pressure under different loads

結(jié)合圖8，長軸附近的最大接觸壓力分布與嚙合力分布趨勢一致，這是因為負載時長軸附近的齒面中段具有穩(wěn)定的凸凹面接觸。但長軸右側(cè)形成柔輪齒頂區(qū)與剛輪齒頂區(qū)的齒面嚙合，這樣的凸-凸接觸形成更大的接觸壓力。加之超載后剛度更高的后截面進入嚙合，形成長軸右側(cè)的接觸壓力超過中截面的結(jié)果。長軸左側(cè)齒面為前中段參與嚙合（圖9），遠離長軸的齒面僅前端嚙合，接觸區(qū)小，接觸壓力較大。接近長軸的齒面接觸區(qū)由齒面前段向中段過渡，接觸區(qū)變大，接觸壓力降低，形成長軸左側(cè)隨負載的增大逐漸向左偏移的接觸壓力峰值。

由圖10 可知，負載達到67 N·m（RAT）后，長軸附近齒面的最大接觸壓力隨負載的增大增速減緩，長軸左右兩側(cè)齒面的最大接觸壓力增速大于長軸處，且嚙入?yún)^(qū)30°～40°位置的增速更大。結(jié)合圖9 可知，長軸附近齒面具有較寬且穩(wěn)定的面面接觸，能較好的平均齒面接觸壓力。遠離長軸的齒面因前端接觸和齒頂接觸形成的小接觸區(qū)，使得其最大接觸壓力隨負載的增大急劇增大。

3.3 最大接觸壓力隨負載的變化

圖11 為齒圈最大接觸壓力隨負載變化規(guī)律，其中橫坐標為負載轉(zhuǎn)矩，縱坐標為最大接觸壓力。

圖11 最大接觸壓力隨負載變化Fig.11 Variation of maximum contact pressure via loading

由圖11 可知：轉(zhuǎn)矩從0 增大到310 N·m 時，最大接觸壓力隨負載的增速呈現(xiàn)先快后緩再增快的趨勢。其中，從0 至9.4 N·m（14%RAT），最大接觸壓力增速最快；9.4 N·m 至195 N·m（291%RAT），增速放緩，之后增速再次增大。

在小負載時，前段齒面首次接觸，參與嚙合齒少，齒面間的接觸區(qū)域小，接觸壓力隨負載轉(zhuǎn)矩的增長快；而后，周向更多齒進入嚙合，齒體中、后段逐漸參與嚙合，接觸區(qū)增大，最大接觸壓力增速減緩。特別是額定轉(zhuǎn)矩67 N·m 至起動停止時的容許峰值轉(zhuǎn)矩167 N·m，接觸壓力變化最平緩。表明該方案的三圓弧齒廓設計在額定轉(zhuǎn)矩和起停工況下齒面承受荷載且分布均勻。

當轉(zhuǎn)矩增大至195 N·m 后，最大壓力出現(xiàn)位置從長軸區(qū)的凸-凹嚙合轉(zhuǎn)移至嚙入?yún)^(qū)的凸-凸嚙合，36°位置齒面的最大接觸壓力超過長軸區(qū)（圖10）。此后嚙入?yún)^(qū)齒面的最大接觸壓力迅速增大。

4 結(jié)論

建立三圓弧空間齒廓柔輪的實體單元諧波齒輪有限元模型，模擬不同負載工況時齒面嚙合狀態(tài)，獲得不同工況下嚙合力分布和接觸壓力的變化規(guī)律：

（1）在長軸區(qū)設置最小初始側(cè)隙，形成凸凹的嚙合狀態(tài)，接觸區(qū)域大，接觸壓力低且分布均勻，可以以更低的接觸壓力承載更大的負載轉(zhuǎn)矩；由中截面向后截面逐漸增大的初始側(cè)隙分布有利于形成軸向更寬的齒面接觸區(qū)，提升承載能力。

（2）額定轉(zhuǎn)矩時約30%的輪齒沿軸向從前截面到后截面、沿齒高的中至上區(qū)域齒面嚙合，單齒軸向1/2以上的齒寬參與嚙合；瞬間最大容許轉(zhuǎn)矩時約45%的齒參與嚙合，長軸處輪齒沿軸向全齒面和長軸左側(cè)前中段、右側(cè)中后段約3/4 寬度的齒面參與嚙合。

（3）隨負載轉(zhuǎn)矩增大，參與嚙合的齒數(shù)增多，嚙合力分布范圍向長軸兩側(cè)延伸；右側(cè)嚙入?yún)^(qū)齒面嚙合力增幅快于左側(cè)，最大嚙合力位置向長軸右側(cè)偏移，呈平臺分布。

（4）隨負載轉(zhuǎn)矩增大，最大接觸壓力沿周向呈3個峰值分布，長軸左側(cè)的齒面前端接觸、右側(cè)齒面凸凸齒頂接觸，頂端接觸使得接觸壓力較大。