江潞潞

[摘 ?要] 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo). 那么，在實(shí)際教學(xué)中，該如何將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展落實(shí)到課堂實(shí)踐中呢？文章以“平面向量基本定理”的教學(xué)為例，在做好分析的基礎(chǔ)上，從“情境創(chuàng)設(shè)，探究發(fā)現(xiàn)，形成定理”“深度理解，回歸本質(zhì)，解讀定理”“解決問(wèn)題，應(yīng)用定理，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新”三方面展開(kāi)闡述.

[關(guān)鍵詞] 課堂實(shí)踐;平面向量;核心素養(yǎng);落地

核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展須經(jīng)歷一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，是日積月累的結(jié)果. 鑒于此，基于核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)有一個(gè)長(zhǎng)遠(yuǎn)的規(guī)劃，應(yīng)在整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施中實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的落地、生根[1]. 課堂是教學(xué)的主要場(chǎng)所，每節(jié)課是實(shí)施課堂教學(xué)的基本單位，因此教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，讓課堂為學(xué)生核心素養(yǎng)的提升提供養(yǎng)分.

向量與數(shù)量最大的區(qū)別在于數(shù)量只有大小而無(wú)方向，而向量既有大小又有方向，具有代數(shù)與幾何的雙重特征，也是一套良好的運(yùn)算通性的體系. 若從數(shù)、量與運(yùn)算三者發(fā)展的角度來(lái)分析，向量的重點(diǎn)不在于數(shù)的簡(jiǎn)單擴(kuò)大，而在于量與運(yùn)算的擴(kuò)充. 實(shí)踐證明，向量定義的學(xué)習(xí)不僅能幫助學(xué)生建立良好的幾何與代數(shù)的關(guān)系結(jié)構(gòu)，還能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

基本分析

從知識(shí)邏輯與教材結(jié)構(gòu)層面來(lái)分析，平面向量基本定理是平面向量的核心知識(shí)，是幾何問(wèn)題向量化的依據(jù)，亦是向量線性運(yùn)算的融會(huì)貫通. 若選定一組不共線的基底向量e1，e2，則平面內(nèi)的任意向量都能以e1，e2的線性組合表示，同時(shí)還可與有序?qū)崝?shù)對(duì)（λ1，λ2）形成對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系為向量運(yùn)算做好了鋪墊.

平面向量基本定理是建立在向量線性運(yùn)算基礎(chǔ)上抽象而成的基本理論，它的結(jié)構(gòu)形式由共線向量（向量一維形式）經(jīng)類比獲得，再逐漸延伸到三維或更高維度的形式，空間平面數(shù)形的反映是它形成的主要機(jī)理. 同時(shí)，它還具有典型的幾何意義和豐富的內(nèi)涵，存在顯著的教學(xué)與應(yīng)用價(jià)值，學(xué)生在探索中可形成良好的抽象、推理、建模、直觀想象等能力，而這些能力又是核心素養(yǎng)的有機(jī)組成部分[2].

因此，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，具有顯著的促進(jìn)作用. 本章節(jié)的知識(shí)與技能目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)比較簡(jiǎn)單，而核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，則須教育實(shí)施者精心思考與設(shè)計(jì)，力爭(zhēng)抓住一切機(jī)會(huì)進(jìn)行知識(shí)本質(zhì)原理與數(shù)學(xué)思想的滲透. 實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)與感知定理生成的過(guò)程，能讓學(xué)生從深層次理解其內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升.

教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 情境創(chuàng)設(shè)，探究發(fā)現(xiàn)，形成定理

教學(xué)時(shí)，教師可結(jié)合學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)合理的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平面向量基本定理形成的過(guò)程，探究相關(guān)問(wèn)題，為建構(gòu)系統(tǒng)的知識(shí)體系做好鋪墊. 探究活動(dòng)的開(kāi)展一般遵循“初步印象—探究發(fā)現(xiàn)—實(shí)際操作”三個(gè)步驟.

第一步：初步印象.

展示1：從物理學(xué)角度出發(fā)，將一個(gè)力朝兩個(gè)方向分解成兩個(gè)力，如將一個(gè)物體置于不同斜面上，它的重力被分解成與斜面垂直和平行的兩個(gè)力，而隨著傾斜角度的變化，被分解成的力也會(huì)隨之發(fā)生改變.

展示2：以一條固定線段作為對(duì)角線作平行四邊形.

第二步：引導(dǎo)探究.

師：大家對(duì)向量共線已經(jīng)有一定了解，若a，b均和e共線（e為非零向量），可得什么結(jié)論？

生1：可得a=λe，b=μe的結(jié)論.

師：由此可確定a，b有怎樣的聯(lián)系？

生2：均可應(yīng)用向量e的數(shù)乘來(lái)表達(dá).

師：那么e有何用？

生3：e的數(shù)乘能表示與它共線的一切向量.

師：能表達(dá)與它不共線的向量嗎？請(qǐng)大家先獨(dú)立思考、作圖分析，而后合作交流.

經(jīng)分析后，學(xué)生獲得的結(jié)論為“不可以”. 隨之，教師又讓學(xué)生闡述理由. 學(xué)生再次思考、作圖，并合作探究，獲得的結(jié)論為“根據(jù)向量數(shù)乘的意義可知，一個(gè)向量?jī)H可表示與它共線的向量”. 由此總結(jié)出“將e稱為與其共線的所有向量的基底”.

設(shè)計(jì)意圖 情境演示、自主探究與合作交流等教學(xué)手段的應(yīng)用，契合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平與最近發(fā)展區(qū)的需求. 以向量共線作為起點(diǎn)，通過(guò)“小步子”探究方式，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的自然生長(zhǎng)過(guò)程，由此自然而然地總結(jié)出“基底向量”.

為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“基底向量”的認(rèn)識(shí)，教師展示了兩道例題，與學(xué)生一起分析.

例題1：如圖1所示，若p=a+b，a，e1共線，b，e2共線，p可表示為e1，e2（都是非零向量且不共線，下同）的什么形式？

學(xué)生給出的結(jié)論為“p=λe+λe”.

例題2：如圖2所示，在傾斜角為30°的光滑平面上放一個(gè)重4 kg的長(zhǎng)方形鐵塊，鐵塊的重力G被分解成與斜面平行和垂直的力F，N，結(jié)合物理學(xué)內(nèi)容怎樣表示G與F，N的向量關(guān)系式？若將力F，N表示為e，e的形成，則該怎樣將G表示為e，e的形式？

學(xué)生自主探究出的結(jié)論為“G=F+N”“G=2e+2e”.

為了引發(fā)學(xué)生更深層次地思考，教師提出：“若斜面的傾斜角分別為45°、60°，結(jié)論會(huì)怎樣？”以此引發(fā)學(xué)生思考后歸納與總結(jié).

設(shè)計(jì)意圖 以上兩個(gè)例題的應(yīng)用讓學(xué)生形成用兩個(gè)向量表示平面向量的意識(shí)，同時(shí)對(duì)基本向量才能表達(dá)平面向量的知識(shí)形成一定認(rèn)識(shí).

接下來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比p，G的結(jié)論特點(diǎn)，引出λe+λe為e，e的線性組合的知識(shí)，并鼓勵(lì)學(xué)生探究當(dāng)向量e，e固定時(shí)，平面內(nèi)任意向量p是否可用向量e，e的線性組合來(lái)表示. 當(dāng)學(xué)生對(duì)平面向量基本定理的結(jié)構(gòu)形式有了初步印象后，教師帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)“基底向量表示平面向量”的知識(shí)進(jìn)行實(shí)際操作與探究，以獲得平面向量基本定理的四個(gè)層次.

第三步：實(shí)際操作.

第一層次：給定基底表示給定向量.

如圖3所示，已知平面內(nèi)存在一組不共線的向量e，e，該如何表示該平面內(nèi)的給定向量p？

點(diǎn)撥：通過(guò)之前兩個(gè)例題的分析，大家對(duì)p的表示形式已有所了解，它源于向量加法與數(shù)乘，當(dāng)給定p與e，e時(shí)，可怎么用e，e表達(dá)p呢？

在教師的點(diǎn)撥下，學(xué)生很自然地將思維放到了向量加法的平行四邊形法則上，并快速建立了p與e，e的關(guān)系為p=λe+λe（過(guò)程略）.

此操作過(guò)程反映了p與e，e的關(guān)系與形成過(guò)程，學(xué)生在此過(guò)程中初步建立了模型，在此基礎(chǔ)上，師生進(jìn)入了下一層次的操作探究活動(dòng).

第二層次：任選基底表示給定向量.

問(wèn)題：若在一個(gè)平面內(nèi)任意選定不共線的一組向量e，e，我們能否以此表示給定向量p？

如圖4所示，在學(xué)生充分發(fā)揮想象的基礎(chǔ)上，用多媒體演示. 鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)思考、操作、觀察，抽象出相應(yīng)的結(jié)論為p=λe+λe，且p的表示與不共線的向量e，e無(wú)關(guān).

第三層次：給定基底表示任意向量.

問(wèn)題：若給定一組不共線的向量e，e，是否可用它們來(lái)表示平面內(nèi)的所有向量？

如圖5所示，要求學(xué)在作圖思考的基礎(chǔ)上，用多媒體演示給定的基底向量線性組合的過(guò)程，可得：若平面內(nèi)任何向量的起點(diǎn)和e，e的起點(diǎn)相重合，僅需表示這些向量的終點(diǎn)即可. 經(jīng)探索發(fā)現(xiàn)，在此條件下，e，e可表示平面內(nèi)的所有向量.

第四層次：任意基底表示任意向量.

問(wèn)題：若已知平面內(nèi)任意一組不共線的向量，可否表示出該平面內(nèi)所有的向量？

通過(guò)對(duì)以上三個(gè)層次的總結(jié)，再逐層深入地進(jìn)行分析、推理，可得結(jié)論：平面內(nèi)任意一組不共線的向量都能表示該平面內(nèi)所有的向量.

以上四個(gè)層次不一定要按次序、不遺漏地操作探究，學(xué)生只須透徹地搞清楚一個(gè)層次，就能形成清晰的認(rèn)識(shí). 而由淺入深的四個(gè)層次的設(shè)計(jì)，其目的在于讓學(xué)生親歷定理的形成過(guò)程，從直觀上引發(fā)豐富的想象，同時(shí)又在邏輯推理層面進(jìn)行科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣撟C，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯思維能力奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2. 深度理解，回歸本質(zhì)，解讀定理

深度理解是核心素養(yǎng)落地的標(biāo)志，也是實(shí)現(xiàn)深度、高效學(xué)習(xí)的關(guān)鍵. 抽象的數(shù)學(xué)定理不僅體現(xiàn)了知識(shí)內(nèi)在的抽象性、科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性與邏輯性，還對(duì)后期的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)具有指導(dǎo)意義，讓教師明確教學(xué)的重心應(yīng)該在哪兒.

有些教師，授課時(shí)一味地追求教學(xué)進(jìn)度，存在“重解題，輕定理”的思想，忽視了學(xué)生對(duì)定理的感悟過(guò)程，學(xué)生因?qū)Χɡ碇兴N(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律與思想方法沒(méi)有明確的認(rèn)識(shí)，從而無(wú)法建構(gòu)完整的認(rèn)知體系，對(duì)后期做題會(huì)產(chǎn)生負(fù)面影響. 即使通過(guò)一定程度的刷題能有所彌補(bǔ)，但依然達(dá)不到深度理解的程度，久而久之，學(xué)生的數(shù)學(xué)視野變得狹隘，遇到障礙時(shí)，也不會(huì)從不同角度去分析與突破問(wèn)題.

（1）理解定理本質(zhì)

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的平面向量基本定理具體表達(dá)了什么內(nèi)容，鼓勵(lì)學(xué)生用自己的理解來(lái)表征，以觀察學(xué)生對(duì)該定理的感悟程度. 不同的學(xué)生用不同的方式進(jìn)行表達(dá)，但最終的指向是一樣的. 當(dāng)教師提出“平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量可以表示出平面內(nèi)所有的向量，是否存在一定內(nèi)在規(guī)律”時(shí)，學(xué)生默然了. 為此教師以點(diǎn)撥的方式啟發(fā)學(xué)生思維，“將不共線的向量，以有向線段的方式來(lái)表達(dá)，其實(shí)質(zhì)就是兩條相交直線的一個(gè)部分”，學(xué)生瞬間就明白了問(wèn)題的關(guān)鍵，從而出現(xiàn)了以下交流.

生4：平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)與立體幾何中“兩條相交直線可確定某平面”的實(shí)質(zhì)，具有高度相似性.

師：不錯(cuò)，還有其他想法嗎？

生5：與“三點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)，可確定唯一一個(gè)平面”的原理類似.

師：這兩位同學(xué)將問(wèn)題與決定平面的條件相聯(lián)系進(jìn)行了思考，其他同學(xué)還有什么看法嗎？

生6：他們兩人說(shuō)的都有一定道理，但兩條平行直線也可以確定一平面，而兩個(gè)平行向量卻無(wú)法表示出平面內(nèi)所有的向量.

師：哦？對(duì)此大家怎么理解呢？

生7：其實(shí)這里面并不存在沖突，直線平行和向量平行完全不是一回事，而且平行向量的實(shí)質(zhì)為共線向量，因此它無(wú)法表示.

在教師的點(diǎn)撥下，學(xué)生將平面向量基本定理和平面的本質(zhì)有機(jī)地融合在一起進(jìn)行思考，不僅強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)定理的體悟，還讓學(xué)生感知到該定理的本質(zhì).

（2）剖析定理結(jié)構(gòu)

當(dāng)學(xué)生對(duì)定理的本質(zhì)已經(jīng)有比較深刻的理解后，教師可帶領(lǐng)學(xué)生一起剖析定理的結(jié)構(gòu)，以達(dá)到深層次的理解.

師：通過(guò)之前的探究，我們都知道平面向量基本定理從本質(zhì)上來(lái)看，和兩條相交直線可確定唯一平面具有一致性，大家是怎么理解這里的“唯一”二字的呢？

生8：“唯一”有兩層含義：①指相交直線確定的平面有且只有一個(gè);②兩個(gè)不共線的向量所表示的平面內(nèi)任意的向量，表現(xiàn)形式只有唯一一個(gè).

師：確定嗎？（眾生肯定）

師：這個(gè)結(jié)論具有怎樣的作用？（學(xué)生沉默）

師：若我們換一種表達(dá)方式，將p用e，e來(lái)表示，即p=λe+λe，也可表達(dá)成p=μe+μe，從中能看出什么？

生9：可以發(fā)現(xiàn)λe+λe=μe+μe，也就是λ=μ，λ=μ.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性與統(tǒng)一性，平面向量基本定理內(nèi)存在辯證統(tǒng)一的關(guān)系，如λ，λ的唯一性和存在性，e，e的不唯一性和確定性等，這種領(lǐng)悟體現(xiàn)了核心素養(yǎng)的形成.

（3）應(yīng)用定理，解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新

任何知識(shí)的教學(xué)都是為了應(yīng)用到生活實(shí)際中解決問(wèn)題. 如何讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)靈活應(yīng)用，是教師值得探索的問(wèn)題. 平面向量基本定理反映了向量運(yùn)算的整體形式，而向量法則體現(xiàn)了該定理的實(shí)際應(yīng)用.

例題3：如圖6所示，已知點(diǎn)D為△ABC中BC邊的中點(diǎn)，且點(diǎn)E為AC邊近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P為AD，BE的交點(diǎn)，分別求AP∶AD與BP∶BE的值.

設(shè)計(jì)意圖 本題主要將平面向量基本定理的本質(zhì)原理、思想等整合于一體，以觀察與培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力.

學(xué)生通過(guò)對(duì)本題的分析，發(fā)現(xiàn)本節(jié)課所學(xué)的平面向量基本定理不能直接用在解題上，而用到的是其本質(zhì)原理和思想. 隨著解題過(guò)程的推進(jìn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想悄然地發(fā)生了改變，而數(shù)學(xué)本質(zhì)也在不知不覺(jué)中回歸. 因此，解題過(guò)程對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有無(wú)可替代的重要作用.

總之，基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，可通過(guò)豐富的情境，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;啟發(fā)性的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的思辨與探究;自主解題分析，實(shí)現(xiàn)各項(xiàng)綜合能力的提升[3]. 而學(xué)生作為課堂的主體，只有自主經(jīng)歷思考、嘗試、挫折與磨難，不斷挑戰(zhàn)自我、突破自我，才能實(shí)現(xiàn)各項(xiàng)能力的提升.

參考文獻(xiàn)：

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