鄭華恒 唐靜

［摘 要］“數(shù)與代數(shù)”是促進(jìn)學(xué)生形成幾何直觀的重要課程內(nèi)容。分析學(xué)生在學(xué)業(yè)質(zhì)量測(cè)試的答題情況，發(fā)現(xiàn)“數(shù)與代數(shù)”課程內(nèi)容的特殊性、幾何直觀學(xué)業(yè)測(cè)評(píng)滯后、讀圖與作圖的失衡是導(dǎo)致學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)較差的主要原因。文章從理念更新、教材編寫(xiě)、課堂教學(xué)、作業(yè)設(shè)計(jì)、評(píng)價(jià)改進(jìn)等方面進(jìn)行了探討，以促進(jìn)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的發(fā)展。

［關(guān)鍵詞］幾何直觀能力；學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)；數(shù)與代數(shù)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）02-0016-04

幾何直觀，即運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣?！皵?shù)與代數(shù)”領(lǐng)域占據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的半壁江山，在發(fā)展學(xué)生幾何直觀中起著重要作用。下面將通過(guò)觀察學(xué)生在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域運(yùn)用幾何直觀解決實(shí)際問(wèn)題的真實(shí)表現(xiàn)，了解學(xué)生幾何直觀發(fā)展?fàn)顩r，為發(fā)展學(xué)生幾何直觀提供參考，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)學(xué)生深度的“學(xué)”與教師深度的“教”。

一、幾何直觀：一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

檢索《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022年版課標(biāo)”），“幾何直觀”出現(xiàn)了48次。同時(shí)，幾何直觀也是眾多學(xué)者重點(diǎn)關(guān)注的研究對(duì)象，表1是一些學(xué)者關(guān)于幾何直觀的代表性觀點(diǎn)。

幾何直觀主要有兩層含義：一是用數(shù)代形；二是以形助數(shù)。在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，幾何直觀將數(shù)的概念的建立、數(shù)的運(yùn)算的算理及算法形象化，將問(wèn)題解決的思路可視化，幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。比如，教師常常借助數(shù)線模型引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等數(shù)的概念的理解；借助面積模型幫助學(xué)生理解整數(shù)乘除、分?jǐn)?shù)乘除等算理及算法。在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，考查學(xué)生的幾何直觀有三個(gè)方面：一是能否借助幾何直觀理解數(shù)學(xué)概念，二是能否借助幾何直觀描述和分析數(shù)的運(yùn)算，三是能否借助幾何直觀尋找解決問(wèn)題的思路。

二、原題重現(xiàn)：學(xué)生畫(huà)得怎樣？

2022年重慶市江津區(qū)五年級(jí)學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷中有這樣一道題（如圖1）：

1.分?jǐn)?shù)的教學(xué)要求

分?jǐn)?shù)概念是高年段“數(shù)與運(yùn)算”的重要內(nèi)容，2022年版課標(biāo)在第三學(xué)段“數(shù)與運(yùn)算”中提出了如下部分要求：一是內(nèi)容要求，結(jié)合具體情境探索并理解小數(shù)和分?jǐn)?shù)的意義，感悟計(jì)數(shù)單位；二是學(xué)業(yè)要求，能用直觀的方式表示分?jǐn)?shù)和小數(shù)；三是教學(xué)提示，在初步認(rèn)識(shí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中，理解小數(shù)和分?jǐn)?shù)的意義，感悟計(jì)數(shù)單位。

分?jǐn)?shù)具有表示[部分整體]、比率和商等多重意義，各版本教材也都對(duì)分?jǐn)?shù)的多重意義進(jìn)行了設(shè)計(jì)?？梢?jiàn)，2022年重慶市江津區(qū)五年級(jí)學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷第21題是要求學(xué)生在作圖中直觀感悟單位“1”和分?jǐn)?shù)單位，讓學(xué)生溝通分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的進(jìn)一步理解。

2.整體完成情況

2022年重慶市江津區(qū)五年級(jí)共7426名學(xué)生參加了測(cè)評(píng)，總體情況如表2所示。

全卷與本題區(qū)分度都高于0.4，區(qū)分度較好；相比全卷而言，本題在難度上偏大，但還在學(xué)生可接受范圍內(nèi)，用于考查五年級(jí)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)是可行的。

3.不同層次的學(xué)生表現(xiàn)

有83.14%的學(xué)生是用了基本做法（如圖2），他們的解題思路大致為：把[34] cm2理解為3 cm2的[14]，即把3 cm2的長(zhǎng)方形平均分成4份，借助除法“3除以4”畫(huà)出圖形。

有58.04%的學(xué)生有不一樣的做法（如圖3），他們的解題思路大致為：把[34] cm2理解為1 cm2的[34]（先把3 cm2平均分成3份，每份表示1 cm2；再把1 cm2平均分成4份，取這樣的3份）。

有12.04%的學(xué)生完全做錯(cuò)，或者根本就不會(huì)做。更值得關(guān)注的是，就作圖效果上看，學(xué)生大多不用工具（直尺、鉛筆等），圖形不規(guī)范的現(xiàn)象較為普遍。

三、影響因素：學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙在哪？

1.數(shù)與代數(shù)的特殊性導(dǎo)致直觀表達(dá)困難

已有研究表明，學(xué)生的幾何直觀在課程內(nèi)容上的表現(xiàn)差異較大。西南大學(xué)張和平對(duì)1093 名小學(xué)生進(jìn)行測(cè)查分析，發(fā)現(xiàn)小學(xué)生在“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域表現(xiàn)較好，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域表現(xiàn)較差。河北科技師范學(xué)院曹現(xiàn)榆通過(guò)實(shí)證研究也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在“圖形與幾何”領(lǐng)域得分率為 0.81，在“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域得分率為 0.73，而在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的得分率僅為 0.46。在實(shí)際的課堂教學(xué)中，大多數(shù)教師認(rèn)為發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力更多的是在“圖形與幾何”領(lǐng)域，而忽視在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中進(jìn)行滲透。殊不知，“數(shù)與代數(shù)”課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)更強(qiáng)調(diào)逐步抽象、理解算理算法、推理驗(yàn)證。

學(xué)生在上述測(cè)試題中表現(xiàn)不佳，跟分?jǐn)?shù)本身的抽象性和復(fù)雜性有關(guān)。受限于教材給出的定義“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)”，學(xué)生的學(xué)習(xí)傾向于強(qiáng)調(diào)對(duì)單一整體作為單位“1”的認(rèn)識(shí)，忽視對(duì)集合整體作為單位“1”的認(rèn)識(shí)；教師的教學(xué)傾向于強(qiáng)調(diào)理解教材給定的概念，而忽視分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系教學(xué)。因此，部分學(xué)生在做監(jiān)測(cè)試卷第21題時(shí)慣性默認(rèn)長(zhǎng)方形為單位“1 ”，將其平均分成4份，涂了其中的3份；部分學(xué)生不能很好地將分?jǐn)?shù)與除法建立聯(lián)系，因此不能想到圖3的畫(huà)法。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生直觀表示假分?jǐn)?shù)也有困難。比如，學(xué)生由于無(wú)法將數(shù)軸上的0～2合并看成單位“1”，就認(rèn)為在數(shù)軸0～2內(nèi)無(wú)法表示出[54]；當(dāng)要求用圓表示[53]時(shí)，學(xué)生因?yàn)椴荒芾斫庖脙蓚€(gè)同樣大小的圓來(lái)表示，而感到束手無(wú)策。

2.學(xué)業(yè)測(cè)評(píng)的滯后導(dǎo)致學(xué)與教動(dòng)力不足

相對(duì)而言，幾何直觀在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的測(cè)評(píng)還未引起重視。幾何直觀測(cè)試題更多是分布在“圖形與幾何”和“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域安排過(guò)少。加之，基層學(xué)?？嘤跊](méi)有科學(xué)有效的測(cè)評(píng)工具，缺乏可靠、合理和多樣的幾何直觀測(cè)評(píng)題目，造成幾何直觀測(cè)評(píng)難以開(kāi)展。測(cè)試題大多基于簡(jiǎn)單思維的“讀懂圖”，而不是高階思維的“作出圖”。比如，根據(jù)圖示寫(xiě)算式的多，而根據(jù)算式畫(huà)圖的少；根據(jù)線段圖分析數(shù)量關(guān)系的多，而根據(jù)問(wèn)題情境畫(huà)圖分析數(shù)量關(guān)系的少。幾何直觀的測(cè)評(píng)相對(duì)滯后導(dǎo)致學(xué)與教動(dòng)力不足，使“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?qū)W(xué)生幾何直觀的發(fā)展作用未能很好發(fā)揮。

又如，分?jǐn)?shù)概念的測(cè)試更多的是這類形式的填空題：把3米長(zhǎng)的彩帶平均分成4段，每段占全長(zhǎng)的（? ? ），每段長(zhǎng)（? ? ）米。

這樣的填空題考查學(xué)生對(duì)具體情境中分?jǐn)?shù)不同意義的理解，是比較好的典型試題，應(yīng)該繼續(xù)保留。2022年重慶市江津區(qū)五年級(jí)學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷第21題的樣態(tài)，不僅是題型的改變，更是一種對(duì)幾何直觀素養(yǎng)的倡導(dǎo)。從后續(xù)的師生訪談上看，這樣的改變受到了師生的普遍歡迎，學(xué)生認(rèn)為“更有意思”“更有挑戰(zhàn)”，教師認(rèn)為“更能考出真實(shí)水平”“更能綜合呈現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平”“更能可視化地展現(xiàn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解”。

3.讀圖與作圖的失衡導(dǎo)致幾何直觀能力較弱

會(huì)讀圖與能作圖，是學(xué)生幾何直觀的重要表現(xiàn)。讀圖是作圖的基礎(chǔ)，作圖是讀圖的進(jìn)一步發(fā)展；作圖能力也會(huì)在更深層次上影響讀圖能力的發(fā)展；讀圖與作圖能力協(xié)調(diào)發(fā)展更有利于學(xué)生幾何直觀能力的提升。學(xué)生目前的情況是讀圖與作圖“兩條腿”的步調(diào)并不一致，形成的原因有以下兩個(gè)方面。

一方面，將圖表局限于“輔佐”地位。教材在數(shù)的概念理解、算理解讀、問(wèn)題解決中有大量的直觀圖表，使學(xué)生對(duì)圖表大多停留在“讀懂”階段，只通過(guò)“讀懂”圖表理解知識(shí)、突破難點(diǎn)。學(xué)生用眼觀察多，動(dòng)手實(shí)踐少，導(dǎo)致獨(dú)立作圖、列表分析的能力較弱。另一方面，忽視作圖規(guī)范。學(xué)生作圖隨意、不規(guī)范、不嚴(yán)謹(jǐn)，作圖水平不高、效果不佳。

由此就引發(fā)了一系列問(wèn)題，如雖然教師引導(dǎo)學(xué)生“畫(huà)一畫(huà)更清楚”，但學(xué)生仍然很少主動(dòng)提筆作畫(huà)。在學(xué)生心里，作圖是“圖形與幾何”的事，列表是“統(tǒng)計(jì)與概率”的事，“數(shù)與代數(shù)”就不用湊熱鬧了；學(xué)生還認(rèn)為，作圖是“老師教的手段”，而不是“我要學(xué)到的方法”。教師知道畫(huà)圖、列表是一項(xiàng)重要的學(xué)習(xí)能力，也希望學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖、列表，但在課堂實(shí)踐中卻沒(méi)有很好地落實(shí)，在課內(nèi)與課外也沒(méi)有很好地設(shè)計(jì)畫(huà)圖或列表的作業(yè)。這就正如特級(jí)教師劉善娜所說(shuō)，我們要的是“圖”的效用，缺的卻是“畫(huà)”的能力訓(xùn)練。

四、改進(jìn)策略：“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域發(fā)展學(xué)生幾何直觀的可能路徑

“數(shù)與代數(shù)”是發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要載體，但學(xué)生在此領(lǐng)域的表現(xiàn)較差。在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，除了要夯實(shí)數(shù)與運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，還應(yīng)在理念更新、教材編寫(xiě)、課堂教學(xué)、作業(yè)設(shè)計(jì)、評(píng)價(jià)改進(jìn)等方面協(xié)同努力。

1.理念更新：認(rèn)識(shí)到幾何直觀對(duì)于學(xué)習(xí)的多重意義

直觀，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的先導(dǎo)，也是學(xué)生先天具有的學(xué)習(xí)潛質(zhì)。幾何直觀不僅是一種能力，更是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種思維方式。以“數(shù)與代數(shù)”課程內(nèi)容為載體，發(fā)展學(xué)生幾何直觀，應(yīng)該以呵護(hù)學(xué)生先天的直觀潛質(zhì)為起點(diǎn)，以后天有效提升幾何直觀素養(yǎng)為方向，促進(jìn)學(xué)生達(dá)到“用形象思維洞察”的高階水平。在培養(yǎng)策略上，加強(qiáng)讀圖、作圖教學(xué)，比如，通過(guò)數(shù)形結(jié)合建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用圖表來(lái)直觀理解數(shù)的概念和運(yùn)算，分析數(shù)量關(guān)系，刻畫(huà)變量間的復(fù)雜關(guān)系，探索解決問(wèn)題的思路，厘清思維路徑，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，等等。因此，教師要強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合，豐富學(xué)生觀察、操作、想象、推理、表達(dá)等數(shù)學(xué)活動(dòng)，注重技能訓(xùn)練，使學(xué)生逐步養(yǎng)成畫(huà)圖、列表等習(xí)慣。

2.教材編寫(xiě)：為學(xué)生提供更多直觀表達(dá)的機(jī)會(huì)

教師可適量增加教材例題的動(dòng)態(tài)作圖過(guò)程，統(tǒng)籌呈現(xiàn)讀圖與作圖，即對(duì)教材上靜態(tài)的直觀圖表，教師要化靜為動(dòng)，以此引導(dǎo)學(xué)生感悟直觀表達(dá)的過(guò)程。圖4展示的是教材例題及其對(duì)應(yīng)的課堂活動(dòng)，是一個(gè)比較好的范例。

教材的例題是用面積模型直觀呈現(xiàn)問(wèn)題情景，兩幅連續(xù)的圖和不同的色塊動(dòng)態(tài)顯示兩次平均分的過(guò)程，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理；“課堂活動(dòng)”的第2題和第3題是讓學(xué)生用“折”“畫(huà)”“涂”等實(shí)踐性操作進(jìn)一步直觀理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理。教材的例題與課堂活動(dòng)互相呼應(yīng)，體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)練一致性。

3.課堂實(shí)踐：給予直觀表達(dá)足夠的時(shí)空

課堂教學(xué)是發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要陣地。積極解決“課時(shí)太緊張，沒(méi)時(shí)間去探究”“怎樣的學(xué)習(xí)材料更直觀”“培養(yǎng)學(xué)生作圖有何技巧”等現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，就顯得很有意義。首先，加強(qiáng)區(qū)縣教研和校本研討。整理并分析幾何直觀在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域各年級(jí)教材中的體現(xiàn)，有針對(duì)性地滲透幾何直觀；整合學(xué)科內(nèi)容，靈活調(diào)配內(nèi)部課時(shí)，增補(bǔ)相應(yīng)的讀圖、作圖等重要的幾何直觀內(nèi)容。其次，加強(qiáng)自我實(shí)踐與課例研討。教師要進(jìn)行幾何直觀典型課例研究，并分享幾何直觀教與學(xué)兩個(gè)層面的經(jīng)驗(yàn)。最后，發(fā)揮幾何直觀優(yōu)勢(shì)，營(yíng)造直觀表達(dá)的學(xué)習(xí)環(huán)境。展示學(xué)生的不同作品，解析優(yōu)秀作品“好在哪里”，指出缺陷作品“哪里要改”，激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)采取幾何直觀的方式去處理真實(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

4.作業(yè)設(shè)計(jì)：從讀圖走向作圖

作業(yè)是學(xué)生自主發(fā)展幾何直觀的實(shí)踐載體。設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)要給學(xué)生增加“畫(huà)數(shù)學(xué)”的機(jī)會(huì)，如習(xí)題從單一的列式計(jì)算走向豐富的直觀分析；引導(dǎo)學(xué)生從習(xí)慣讀圖走向習(xí)慣作圖，促進(jìn)思維可視化。為體現(xiàn)幾何直觀的進(jìn)階性，在不同學(xué)段可對(duì)學(xué)生有不同的要求：第一學(xué)段，作圖表達(dá)簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，以及認(rèn)數(shù)、認(rèn)識(shí)時(shí)間，感悟數(shù)量關(guān)系，增強(qiáng)數(shù)感和時(shí)間感；第二學(xué)段，作圖表征分?jǐn)?shù)、小數(shù)及其大小比較，用圖示表征題意，厘清四則運(yùn)算的關(guān)系，鞏固積、商的變化規(guī)律；第三學(xué)段，聚焦分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)概念的理解及其難題的分析，如畫(huà)線段圖表征分段計(jì)費(fèi)，用面積模型表征分?jǐn)?shù)乘除法算理，用思維導(dǎo)圖表征主題單元內(nèi)容體系，等等。

5.評(píng)價(jià)導(dǎo)向：科學(xué)設(shè)置測(cè)評(píng)內(nèi)容

幾何直觀是學(xué)業(yè)測(cè)評(píng)的重要內(nèi)容。根據(jù)2022年版課標(biāo)中的“學(xué)業(yè)要求”和“教學(xué)要求”，科學(xué)設(shè)置測(cè)評(píng)內(nèi)容能有效促進(jìn)教師改進(jìn)教學(xué)和落實(shí)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生?！皵?shù)與代數(shù)”領(lǐng)域關(guān)于小學(xué)生幾何直觀測(cè)評(píng)包括“數(shù)與運(yùn)算”“數(shù)量關(guān)系”兩大主題；用圖示或符號(hào)來(lái)表示整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的意義及其大小比較；用圖示表示數(shù)的運(yùn)算；讀懂圖示并列出算式；會(huì)畫(huà)圖或列表分析較復(fù)雜的問(wèn)題情境，解決生活中碰到的數(shù)學(xué)問(wèn)題。下面給出３道測(cè)試題供大家參考（如圖5）。

[ 樣題1：為了提高大家的環(huán)保意識(shí)，學(xué)校組織了一次收集廢紙活動(dòng)。四年級(jí)收集了32千克廢紙，五年級(jí)收集的廢紙比四年級(jí)的2倍多9 千克。在下圖中，畫(huà)出表示五年級(jí)收集廢紙千克數(shù)的線段。

[樣題2：下圖是長(zhǎng)方形紙條從正方形的左邊向右邊直線運(yùn)行的局部關(guān)系圖。已知紙條每秒運(yùn)行 2 cm，請(qǐng)把下圖中運(yùn)行時(shí)間與長(zhǎng)方形、正方形重疊面積的關(guān)系圖畫(huà)完整，并給出你的理由。

綜上所述，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域發(fā)展學(xué)生幾何直觀有著其特殊的意義與作用。教師要精選或改編“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的課程內(nèi)容，豐富學(xué)生幾何直觀數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化作圖、列表的技能訓(xùn)練，幫助學(xué)生既能讀圖，又會(huì)作圖。如此，學(xué)生幾何直觀在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域才有長(zhǎng)足的發(fā)展。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 曹現(xiàn)榆. 小學(xué)高年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力的現(xiàn)狀調(diào)查研究[D].秦皇島：河北科技師范學(xué)院，2022.

[2] 劉善娜. 把數(shù)學(xué)畫(huà)出來(lái)：小學(xué)畫(huà)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐手冊(cè)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2019.

[3] 張和平. 小學(xué)生幾何直觀能力測(cè)評(píng)模型的構(gòu)建研究[D].重慶：西南大學(xué)，2018.

【本文系中國(guó)教育學(xué)會(huì)2021年度教育科研規(guī)劃課題“‘雙減’政策背景下中小學(xué)單元作業(yè)設(shè)計(jì)的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：202102001801B）階段性研究成果。】

（責(zé)編 金 鈴）