張國林

摘 要：新的課程結(jié)構(gòu)對老師“教”和“學(xué)”的作用很大，通過對比研究，明確了教材編排的基本原則：整體到局部再到整體.空間想象力是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.很多學(xué)生對立本幾何“望而生畏”，其根源在于對空間的想象力不足，導(dǎo)致“事倍功半”，效果不佳.作為教師，應(yīng)該在平時(shí)的教學(xué)中進(jìn)行積極的探究和深思，使學(xué)生能夠更好地發(fā)揮自己的想象力.文章以“直線與平面垂直的判定定理”為實(shí)例，探討了由整體到局部，由具體到抽象的編排原理.本文旨在通過對高中生的空間想象力的培養(yǎng)和提高，使其能夠充分利用和發(fā)揮課程結(jié)構(gòu)優(yōu)勢.

關(guān)鍵詞：立體幾何；空間想象能力；能力培養(yǎng)；高中

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了“以圖形為基礎(chǔ)，以幾何直覺、空間想象力為核心的發(fā)展”的概念.教材是教師“教”、學(xué)生“學(xué)”的載體.所以，作為一名數(shù)學(xué)教育者，必須仔細(xì)閱讀教材，把握教材的編寫與編排，準(zhǔn)確把握課程結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)從“教材知識”到“教學(xué)知識”的轉(zhuǎn)換.這有利于學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“教學(xué)知識”到“學(xué)習(xí)能力”的轉(zhuǎn)化，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和想象力的發(fā)展.要改變教學(xué)大綱，就必須修改章節(jié)的次序，并修改特定的內(nèi)容.“直線與平面垂直的判定定理”是立體幾何中的一個(gè)重要命題，然而，由于種種原因，一些學(xué)生對“直線與平面垂直的判定定理”的認(rèn)識有一定的困難，更別提合理、巧妙地運(yùn)用了.長期這樣下去，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、技巧的培養(yǎng)是不利的.立體幾何是高中數(shù)學(xué)中最難的一部分，它需要學(xué)生有一定的想象力，不然學(xué)生很難掌握和運(yùn)用這一領(lǐng)域的知識.因此，在教師的立體幾何教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力是至關(guān)重要的、根本的問題.

1 直線與平面垂直的判定定理的教學(xué)初識

在教授直線和平面的垂直定義時(shí)，一般都是通過多媒體來進(jìn)行示范.在實(shí)際生活中，有許多直線和平面之間的關(guān)系被稱為“垂直”.問題在于如何正確地確定直線和平面的垂直.在教學(xué)中，有些教師采用了指導(dǎo)學(xué)生歸納概括的方式來進(jìn)行精確的界定.我們可以規(guī)定，當(dāng)一條直線與一個(gè)平面上的所有直線都垂直時(shí)，它就是垂直于這個(gè)平面的；也可以說，當(dāng)一條線垂直于一個(gè)平面上的兩條線時(shí)，它就是垂直于該平面的.眾所周知，這兩個(gè)條件其實(shí)是對等的，能夠互推出來.因此，兩個(gè)方案都是可行的，但經(jīng)過對比之后，他們認(rèn)為前者更有道理［1］.

2 直線與平面垂直的判定定理的教學(xué)策略

2.1 挖掘教材，精準(zhǔn)定位

認(rèn)真挖掘課程標(biāo)準(zhǔn)以及教材，厘清教材的思維方式，是正確把握教學(xué)的中心和主題.課堂教學(xué)是為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、思考能力和問題解決能力.為了使課堂教學(xué)具有目的性和針對性，亟需意識到教科書的不可取代性.要對教材進(jìn)行仔細(xì)的研究，厘清教材的編排原理，使其符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，從而達(dá)到較好的教學(xué)效果.

直線與平面的垂直是一種特殊的直線與平面的關(guān)系，是空間中直線與直線的垂直關(guān)系的擴(kuò)展，也是平面與平面的垂直的基礎(chǔ).在進(jìn)行學(xué)習(xí)研究直線與平面垂直的判定定理時(shí)應(yīng)當(dāng)以直觀、抽象的方式讓學(xué)生進(jìn)行理解、學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提高學(xué)生的空間想象力、幾何直覺、邏輯推理、使用圖形語言進(jìn)行溝通的能力，同時(shí)讓他們體會(huì)和領(lǐng)悟轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思維［2］.

比如，關(guān)于“直線與平面垂直的判定定理”的編排.從轉(zhuǎn)動(dòng)的直角三角板教具開始，再提出了“怎樣判定一條直線與一個(gè)平面垂直”的問題，使教師和學(xué)生能清楚地了解這一章節(jié)的教學(xué)目的，有利于教師和學(xué)生能夠明確地、有針對性地實(shí)施教學(xué)活動(dòng).它不僅可以有效地改善課堂教學(xué)效果，而且符合高中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能夠激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情.在閱讀教科書時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，“怎樣判定一條直線與平面是垂直的”這個(gè)問題是有一定難度的.為簡化這一問題，選取了教師和學(xué)生比較熟悉的正方體ABCDA′B′C′D，把問題分為兩個(gè)情況：第一種情況如圖1：b、c為平面ABCD中的兩條直線（平面ABCD簡記為平面α），并于B點(diǎn)相交.直線a垂直于直線b、c即a⊥b，a⊥c，如此可推導(dǎo)出a⊥α.第二種情況如圖2：平面BB′C′C（即平面α）內(nèi)的兩條直線b、c相互垂直，但平面α與直線a并不垂直.

問題的中心內(nèi)容是“直線與平面垂直的判定定理”.利用數(shù)形結(jié)合思想，把問題分成兩個(gè)部分，把抽象的問題具體化，并將“整”轉(zhuǎn)化為“零”，使其更符合目前高中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)能力，對提高學(xué)生的空間想象力有一定的幫助.

2.2 借助小組合作，深化知識印象

師：大家能不能從直觀形象的角度，來界定直線和平面的垂直？每個(gè)人都要先考慮自己的觀點(diǎn)，然后將自己的觀點(diǎn)與同學(xué)們進(jìn)行溝通.

組1：一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，它就與這個(gè)平面相垂直.

組2：一條直線與一個(gè)平面上的無數(shù)條線垂直，這條線就是垂直于一個(gè)平面的.

組3：兩個(gè)都不是，必須是一條直線和一個(gè)平面上的任何直線，這樣就可以獲得一條直線和一個(gè)平面的垂直.

師抓住機(jī)會(huì)問道：一條線還不夠？為何要垂直于一個(gè)平面上的任何一條直線？

同學(xué)們可以就地取材，如果一根鋼筆所處的線a與另一根鋼筆所處的線b相垂直，那么a線可能不會(huì)與b線所在平面相垂直.如果一根鋼筆所處的線與桌子上幾根平行的鋼筆所處的直線相垂直，那么該線也可能不會(huì)與桌面保持垂直.

老師：學(xué)生的分析非常有意義.只要一條直線和一個(gè)平面上的任何一條線都是垂直的，就可以確定這條線是垂直于一個(gè)平面的.這樣確定是對的嗎？我們可以通過操場上的一根旗桿來分析一下，這條線和地上的旗桿的陰影是怎么回事？大家可以得到怎樣的結(jié)果？

生：直線BC與BC在地上的陰影相交.盡管太陽的高度一直在變化，這種垂直關(guān)系依然存在.

師：BC在地上的投影和BC線是何關(guān)系？

生：為垂直關(guān)系.

師：因此，大家對直線和平面的垂直定義是正確的.最后我們可以得出：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任意兩條相交直線垂直，則該直線與平面垂直.

在新課改中，立體幾何的教學(xué)目標(biāo)出現(xiàn)了較大的改變，具體表現(xiàn)為：對判定定理的論證需求日益減弱，對學(xué)生的直觀感知、理性推理和空間想象力的需求在不斷增加.教材是教師“教”、學(xué)生“學(xué)”的載體，因此，作為教學(xué)一線的教師，必須認(rèn)真分析教材，在此基礎(chǔ)上，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的心理、認(rèn)知特性，進(jìn)行有針對性的、有目的性的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、推理、想象、歸納等數(shù)學(xué)能力.關(guān)于“直線與平面垂直的判定定理”的編寫，可以分為“問題提出”與“抽象概括”兩個(gè)部分.“問題提出”部分已經(jīng)在前文中表達(dá)，下文將對“抽象概括”的部分加以重現(xiàn).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一朝一夕就能完成的，而是要依靠學(xué)生的接受程度和能力逐步提升.自主探究，讓學(xué)生掌握好課堂.教師的工作僅僅是為學(xué)生自主學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，其重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維［3］.

2.3 利用多媒體探究，強(qiáng)化概念運(yùn)用

師：經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)和練習(xí)，請大家利用已學(xué)的知識辨析以下命題：

若一條直線垂直于平面內(nèi)所有直線，可推出此直線與該平面為垂直關(guān)系.

若一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，可推出此直線與該平面為垂直關(guān)系.

生：第二個(gè)命題是錯(cuò)誤的，無數(shù)條直線不等同于所有直線，如果是無數(shù)條平行直線，就難以證明該平面與直線是垂直關(guān)系.

現(xiàn)代多媒體技術(shù)的發(fā)展與運(yùn)用，極大地方便了課堂教學(xué)，是提高教學(xué)效果的重要途徑.高中立體幾何題需要較強(qiáng)的抽象和空間想象力，并具有較多的變數(shù)，特別是載體復(fù)雜、變量多的問題.學(xué)生雖然對基礎(chǔ)知識有了一定的了解，但在解決問題時(shí)常常無法把握問題的關(guān)鍵點(diǎn)，從而難以順利地完成題目.究其原因，是因?yàn)閷W(xué)生缺乏動(dòng)態(tài)想象力，不能將所學(xué)的知識活學(xué)活用.而利用現(xiàn)代多媒體技術(shù)的靈活應(yīng)用，可以極大地解決這個(gè)問題.由于這種方法可以非常方便、清楚地顯示出特定的立體結(jié)構(gòu)，而且可以很容易地將某些重要的幾何變化過程進(jìn)行動(dòng)態(tài)地顯示，這樣就可以在動(dòng)態(tài)演化的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力.例如可以在教學(xué)“三垂線定理”的過程中使用多媒體制作的立體投影.讓學(xué)生慢慢地旋轉(zhuǎn)，多角度地觀看、體驗(yàn)，進(jìn)而在動(dòng)態(tài)的立體演變中，獲得對理論的深刻認(rèn)識.在此基礎(chǔ)上，培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)態(tài)想象力.因此，多媒體技術(shù)在立體幾何教學(xué)中有著廣闊的應(yīng)用前景，它不但能將相關(guān)的幾何圖形進(jìn)行立體的再現(xiàn)，而且還能使學(xué)生對幾何元素的位置、特征、相互關(guān)系進(jìn)行動(dòng)態(tài)的觀察與分析.在空間幾何要素的位置變化時(shí)，采用投影法進(jìn)行展示更為形象、生動(dòng).因此，在中學(xué)立體幾何課上，要充分運(yùn)用現(xiàn)代多媒體技術(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對學(xué)生的動(dòng)態(tài)想象能力的培養(yǎng).當(dāng)然，凡事都有雙面性，不能過度運(yùn)用多媒體技術(shù)，否則會(huì)導(dǎo)致學(xué)生分心，從而產(chǎn)生事與愿違的效果［4］.

2.4 利用形象物體，加深鞏固記憶

師：從上一節(jié)課中，我們可以回憶起在空間中的直線和平面之間的哪些位置關(guān)系？

生：平面內(nèi)的線、線垂直于面、線平行于面、線與面相交.

師：通過學(xué)習(xí)，我們掌握了線面平行的哪些知識？

生：關(guān)于線面平行的定義及性質(zhì)，將線與面的平行轉(zhuǎn)換為線與線的平行.

師：根據(jù)研究的先后次序，我們要先研究一下直線和平面的交點(diǎn)，然后再討論一些特殊的關(guān)系，你覺得哪一種比較特別？

生：線面的垂直關(guān)系.

數(shù)學(xué)思維通常源自于求解現(xiàn)實(shí)問題或者是數(shù)學(xué)本身的發(fā)展需求.在其理論、規(guī)則、方程式等冷冰冰的表象下，潛藏著原始而生動(dòng)的教學(xué)思想.所以本課的第一步就是建立一個(gè)研究問題的構(gòu)架，體現(xiàn)在對問題的研究次序和問題的轉(zhuǎn)移上.另一方面，再通過感知生活，將抽象具體化.

師：舉例說明日常生活中與我們所學(xué)有關(guān)的例子.

生：教師墻角所在的直線與地面垂直、桌椅的腿與地面垂直、操場上的旗桿與臺面垂直……

在新課改的指導(dǎo)下，教師應(yīng)積極轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)理念，將“生活化”的教學(xué)理念融入小學(xué)數(shù)學(xué)，使其成為一種高效的教學(xué)方式［5］.將數(shù)學(xué)與日常生活相結(jié)合，讓學(xué)生在生活中學(xué)習(xí)，提高對數(shù)學(xué)的興趣，并培養(yǎng)他們的邏輯思維和創(chuàng)新能力.同時(shí)，學(xué)生在進(jìn)行獨(dú)立思考的時(shí)候，也能感受到數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)，能夠運(yùn)用所學(xué)到的知識，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題.將數(shù)學(xué)與實(shí)踐有機(jī)地聯(lián)系在一起，達(dá)到了靈活應(yīng)用，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，創(chuàng)造了一個(gè)良好的學(xué)習(xí)氛圍.除此之外，立體的空間感覺是空間想象力的重要組成部分，高中新教材中清楚地規(guī)定，學(xué)生要有轉(zhuǎn)化幾何、三視圖、展開圖等的基本能力.教學(xué)實(shí)踐證明，缺乏立體的空間感覺，不能在頭腦中實(shí)現(xiàn)立體造型與幾何造型的轉(zhuǎn)換，是造成學(xué)生空間想象力不足的重要原因.在三維幾何教學(xué)中，這是一個(gè)很大的障礙.最實(shí)際、最行之有效的方法，就是充分運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，充分體會(huì)到模型的制作和運(yùn)用.在教學(xué)實(shí)踐中，教師對學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)與指點(diǎn)，讓學(xué)生逐漸形成對空間概念的認(rèn)識，培養(yǎng)他們的空間想象力.因此，由學(xué)生自己制作或加工立體模型，其最大的優(yōu)點(diǎn)是直觀，學(xué)生能夠由象征性的思考向抽象的思考轉(zhuǎn)變，進(jìn)而培養(yǎng)出更強(qiáng)烈的立體感［6］.

3 結(jié)束語

教科書是教學(xué)的主要載體，但通過對教科書的比較，可以看出新舊教科書在編排上的不同，新的教科書的編排結(jié)構(gòu)可以歸納為“整體到局部再到整體”.從本質(zhì)上看，舊版的課程體系是“直線式”的，而新的教科書則是“螺旋式”和“直線式”的.它的嚴(yán)密性和邏輯性，有利于教師進(jìn)行教學(xué)，但與學(xué)生的認(rèn)知、心理結(jié)構(gòu)不符.而教科書則是以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)活動(dòng)，服務(wù)于學(xué)生的學(xué)習(xí).因此，在編寫教科書時(shí)，應(yīng)充分考慮到學(xué)生的發(fā)展特點(diǎn)、發(fā)展規(guī)律，從而實(shí)現(xiàn)從知識結(jié)構(gòu)到認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李美熊.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下高中立體幾何教學(xué)研究［D］.海南師范大學(xué)，2021.

［2］ 呂綠.高二學(xué)生線面相交學(xué)習(xí)現(xiàn)狀的研究［D］.河北師范大學(xué)，2019.

［3］ 李坤.基于直觀想象素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)立體幾何定理教學(xué)研究［D］.西華師范大學(xué)，2019.

［4］ 馬藹琳.高中生立體幾何學(xué)習(xí)障礙及對策的研究［D］.上海師范大學(xué)，2011.

［5］ 王維銀，戚加國.空間中直線、平面位置關(guān)系判斷的途徑［J］.考試（高考數(shù)學(xué)版），2008（Z6）：2227+109110.

［6］ 孔小明.“直線與平面垂直的判定（一）”教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2008（4）：2225.

［7］ 章建躍.利用圖形建立直觀通過代數(shù)運(yùn)算刻畫規(guī)律——“空間向量與立體幾何”內(nèi)容分析與教學(xué)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（6）：16.

［8］ 許榮好.分形幾何在高中數(shù)學(xué)中的滲透［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（1）：5859.

［9］ 魯和平.構(gòu)造余弦定理模型解題［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（1）：6870.