嚴靜　姜兆敏

摘 要：微課易于學生聚焦教學的重難點，便于學生的自主學習.本文以融入思政元素的“求曲面的面積”的微課設計為例，將高等數(shù)學課程與思政緊密結合，既提高了教學效果，又培養(yǎng)了學生的優(yōu)良品質.

關鍵詞：課程思政；微課；曲面面積；教學設計

1 研究背景與意義

1.1 微課引入高等數(shù)學課程的必要性

近幾年來，由于疫情的原因，教師不得不利用直播、錄播、慕課、微課等線上教學方式進行教學工作.相比其他線上教學方式，微課具有如下特點［1］：一、 時間短但內容精.微課的時長一般約為10—15分鐘，甚至更短，主要結合動畫、公式、圖片、文字等多種形式，把一個或多個知識點完整地用視頻的形式呈現(xiàn)出來；二、 方式靈活多樣.學生不受時間、空間的限制，可以借助手機、電腦等設備隨時隨地進行學習.高等數(shù)學是高校理工科學生的公共基礎必修課，不僅是其他數(shù)學課程和許多專業(yè)課的基礎，而且在實際生活和科研領域都有著極其重要的作用，但該課程中許多概念抽象、內容邏輯性強，計算復雜，再加上高等數(shù)學一般都是大班授課，教師利用傳統(tǒng)的授課方式會讓學生感到枯燥乏味，從而影響教學效果.如果教師根據(jù)知識點制作相應的微課視頻，學生就可以根據(jù)自身的情況選取自己薄弱點利用課后時間反復學習，能夠有效提升學習效果.因此，將微課引入高等數(shù)學教學中，充分發(fā)揮微課優(yōu)勢是十分必要的.當然，要吸引學生觀看微課視頻，教師必須精心選取課程內容，更要花大量的時間和精力來設計和制作微課.

1.2 課程思政與高等數(shù)學相結合的重要性

2020年5月28日，教育部印發(fā)《高等學校課程思政建設指導綱要》，指出全面推進課程思政建設是落實立德樹人根本任務的戰(zhàn)略舉措.高等數(shù)學是理工科學生在大學一年級最重要的課程之一.大一新生的人生觀和價值觀尚不成熟，面對世界深刻復雜的變化、信息時代各種思潮的相互激蕩，面對學業(yè)、情感等多方面的考量，他們容易喪失理想信念，迷失生活方向.因此，大一新生的成長需要高等數(shù)學充分發(fā)揮其課程思政功能.近年來，高等數(shù)學教學中如何滲透課程思政已引起高校數(shù)學教學的重視與思考［2］.許多一線教師、專家學者探討了課程思政具體的實施途徑［3］［4］，主要包括數(shù)學史、數(shù)學文化的融入，數(shù)學在實際生活或科學領域中的應用案例，挖掘數(shù)學中蘊含的唯物辯證法、方法論等.思政元素的融入不僅有助于學生深刻理解數(shù)學概念、理念和思想，形成數(shù)學知識的體系化、系統(tǒng)化，提升學生探索、創(chuàng)新和實踐的能力，而且有助于學生提高學習數(shù)學的興趣和自信心，養(yǎng)成良好的學習習慣，樹立積極進取、奮發(fā)向上的拼搏精神和嚴謹求實、善于思考、鉆研的科學精神，建立樂觀、優(yōu)質的思想品質［5］.

基于以上背景，本文著重探討高等數(shù)學中“二重積分的幾何應用——求曲面的面積”的微課設計.

2 “二重積分的幾何應用——求曲面的面積”教學設計

曲面面積在高等數(shù)學中既是重點也是難點，因為曲面積分既是二重積分的一個重要的幾何應用，也是第一類曲面積分計算的基礎.

2.1 教學分析

本節(jié)課的教學內容為利用二重積分計算曲面的面積.教學目標可細分為知識目標、能力目標和情感目標.其中知識目標為理解元素法推導曲面面積公式，掌握公式的應用；能力目標是培養(yǎng)學生邏輯推理、空間想象、數(shù)學應用等能力；情感目標為提高學生的數(shù)學學習興趣，培養(yǎng)學生正確的價值取向，激發(fā)學生的愛國意識.教學重點一是曲面面積公式的推導，二是面積公式的應用.教學難點是曲面面積元素的確定.學情方面，學生對元素法已經(jīng)有了一定的了解并已熟練掌握二重積分的計算;另外，作為網(wǎng)絡原住民，當代大學生課堂集中注意力時間短，利用手機、電腦等電子設備進行智能化、碎片化學習已經(jīng)成為他們獲取知識的常用方式.

2.2 教學設計思路和思政切入點簡介

本著知識、能力、情感的有機融合，教學設計思路及思政切入點如圖1所示.首先通過生活中的常見曲面引入問題：曲面的面積應用廣泛，如何計算曲面的面積呢？為激發(fā)學生的興趣，特別提出如何計算“中國天眼”的接收面積，課件中展示相關圖片并對“天眼”及其創(chuàng)始人南仁東作簡要介紹，讓學生感受到數(shù)學之美，引發(fā)他們的愛國之情.接著用元素法進行面積公式的推導，得到公式之后，作為應用舉例，解決一開始提出的“天眼”面積問題，利用計算的結果，再將“天眼”與美國的阿雷西博望遠鏡進行比較，能增強學生的民族自豪感和科技自強的使命擔當.通過解決問題的過程，歸納出曲面面積的計算步驟，最后提出兩個探究性的問題，拓展學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)學生舉一反三的能力，提升學生深入思考和自主學習的能力.

2.3 教學過程的設計

2.3.1 創(chuàng)設情境 案例引入

從日常生活入手，課件展示許多家居用品，著名建筑，都是曲面的造型.同時指出在設計它們時不僅要考慮美觀，還要考慮功能、材料、成本等因素，很多都涉及到面積的計算，特別是曲面的面積，由此引入曲面面積的計算問題.特別引入一個具體案例：舉世聞名的“中國天眼”——一個有著500米口徑的球面射電望遠鏡（見圖2），中國天眼是目前世界上最大最靈敏的單口徑射電望遠鏡，那么它的接收面積也就是內表面積究竟有多大呢？這個問題能調動學生探究、求解問題的欲望.在該案例中同時介紹“天眼”創(chuàng)始人南仁東，我國杰出的天文學家，他放棄了高于國內300倍的薪酬，毅然選擇回國，帶領科研團隊克服重重困難，歷經(jīng)22年才完成了這項偉大的工程.

此環(huán)節(jié)不僅是課程的引入，也是思政的融入之一，學生能感受到數(shù)學在實際生活中的應用廣泛，數(shù)學與建筑之美的融合；科學家不畏艱難，無私奉獻的愛國主義精神.

2.3.2 微元思想 公式推導

假設空間一張光滑曲面，方程為z=f（x，y），它在xOy面上的投影區(qū)域為D，現(xiàn)在要求曲面的面積.

通過前期的學習，我們知道對于不規(guī)則的物體，通?？梢岳脴O限思想將它轉化為積分來求解，也就是我們前面介紹過的元素法，其主要步驟為：分割、近似、求和、取極限.在這個問題里面，它的具體方式就是先分割曲面，為了便于分析，我們不妨用平行于坐標面的平面進行分割，這樣分割之后，我們看到，每一片小曲面的面積在它的局部就可用它的切平面面積來近似代替，也就是“以平代曲”，并且分割越細，這些小切平面的面積之和就越接近整片曲面面積（見圖3）.將它們求和取極限就能得到積分表達式.在整個過程中，最關鍵也是最困難的是如何求小切平面的面積.

我們取其中有代表性的一小片切平面來分析，它的面積也就是曲面的面積元素dS.由于分割曲面的都是平行于坐標面的平面，所以這個小切平面以及它的投影區(qū)域都是矩形，投影區(qū)域面積dσ也等于dxdy.為了便于找出dS和dσ的關系，我們將這個小切平面向下平移，平移到和它投影區(qū)域的一條邊貼合在一起（此處課件展示為動畫）.將它們放大來看，如圖4，假設兩平面的夾角為γ，這為了更形象地說明天眼接收面積之大，作出如下比較：一個標準足球場的面積為7140平方米，它比35個標準足球場的面積還要大.在天眼建成之前，美國的阿雷西博曾是世界上最大的射電望遠鏡（課件展示相關圖片，與天眼作出比較），它的口徑為305米，接收面積約73000平方米，不足中國天眼的三分之一，并且由于多年老化和維護不利，阿雷西博已于20年發(fā)生坍塌而廢棄，退出了歷史的舞臺.“中國天眼”已經(jīng)取代了阿雷西博的地位，無論從精密程度還是綜合性能，都遠遠超過了阿雷西博.此處思政的融入明顯能夠提升學生的民族自豪感和愛國主義精神，培養(yǎng)學生勇于創(chuàng)新的科學精神，積極投身國家重大工程建設的歷史使命感.

2.3.4 步驟歸納 突出重點

回顧剛才的整個解題過程，歸納曲面面積計算的四個步驟：建方程、定投影、求偏導、算積分.其中最重要的是建方程和定投影，如果條件已給出曲面的方程，那么只要找到這個方程并將它表示成顯函數(shù)z=f（x，y）的形式；確定投影時，要充分發(fā)揮我們的空間想象力，有時還需要借助曲面的交線在坐標面上的投影.

3 教學總結

本次微課時長約10分鐘，整體上以“提出問題—分析問題—解決問題”為脈絡主線，首尾呼應，體現(xiàn)了知識的完整性.教學設計符合學生的認知規(guī)律和學習程度要求，教學過程以知識傳授、價值引領、能力培養(yǎng)相結合，能達到較好的教學效果.作者就所授課班級采用課堂結合微課視頻講解了這部分知識點，調查顯示極大提高了學生學習興趣和學習熱情，加深了學生對“元素法”思想的理解，并能較快掌握曲面面積公式的應用.本微課不僅得到了學生的認可，還得到了高校同行的肯定，2022年12月，作者憑借微課《二重積分的幾何應用——求曲面的面積》榮獲江蘇省高校第八屆數(shù)學基礎課青年教師授課競賽暨第二屆全國大學數(shù)學課程思政邀請賽二等獎.

參考文獻：

［1］ 畢金缽.淺談高等數(shù)學翻轉課堂微課的內容設計——以“方向導數(shù)與梯度的背景”為例［J］.數(shù)學學習與研究，2017（14）：2.

［2］ 吳慧卓.高等數(shù)學教學中滲透課程思政的探索與思考［J］.大學數(shù)學，2019，35（5）：4043.

［3］ 秦厚榮，徐海蓉.大學數(shù)學課程思政的“觸點”和教學體系建設［J］.中國大學教學，2019（9）：6164.

［4］ 彭雙階，徐章韜.大學數(shù)學課程思政的課堂教學實現(xiàn)［J］.中國大學教學，2020（12）：2730.

［5］ 田金鳳.高等數(shù)學教學中課程思政的教學實施——以《定積分的概念》為例［J］.高等數(shù)學研究，2022，25（6）：8790.

基金項目：江蘇理工學院校教改項目1：基于GeoGebra的高等數(shù)學可視化教學探索（項目編號：11611212120）；江蘇理工學院校教改項目2：數(shù)學師范生信息技術應用能力的培養(yǎng)與實踐（項目編號：11611212123）；江蘇省高校大學生勞動教育基礎課程群課題：高等數(shù)學教學中思政案例設計與應用實踐研究（課題編號：2021JDKT050）.