金玉明

摘 要：跨學科聯(lián)席教學打破學科壁壘，讓學生在真實場景中有意識地綜合運用知識、技術(shù)、技能、工具等解決問題的學習方式.本文立足于跨學科教學理念，從高中數(shù)學《三角函數(shù)》學習出發(fā)，描述跨學科聯(lián)席視角下高中數(shù)學教學實踐路徑，以期通過多學科知識交叉融合與實踐活動方案設(shè)計，從知識培養(yǎng)轉(zhuǎn)向跨學科素養(yǎng)培養(yǎng)，讓學生在面對復(fù)雜問題時進行多角度觀察、思考、驗證，開闊數(shù)學視野，理解事物本質(zhì)，提高數(shù)學素養(yǎng)與學習能力，擴展數(shù)學領(lǐng)域與認知，增強探究精神、創(chuàng)新思維、解決問題能力.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；三角函數(shù)；跨學科聯(lián)席；核心素養(yǎng)

跨學科聯(lián)席目標是突破學科邊界，讓學生在調(diào)查研究、合作交流、動手實踐、自主探索、獨立思考等環(huán)節(jié)中學會運用多學科知識創(chuàng)造性地提出解決方案.三角函數(shù)在物理、工程等方面有廣泛用途，在實際應(yīng)用中它既是定義物理量的依據(jù)，也是解決生活問題的工具.教師在數(shù)學視角下，開展跨學科教學，為學生提供多類型資源供給和服務(wù)支持，結(jié)合現(xiàn)實生活、客觀事物與數(shù)學問題，擴大學生思考范圍，使學生在自主合作學習中，抽象概括出三角函數(shù)的概念屬性，加深知識理解與運用.教師在教學中要把握學科間的關(guān)聯(lián)，把抽象問題形象化、具體化、生活化，將數(shù)學知識在情境中“用起來、活起來、聯(lián)起來”，增強課程的綜合性和實踐性，讓學生在觀察、思考、猜想、驗證中關(guān)聯(lián)生活經(jīng)驗與多學科知識，對問題表征進行描述，進行深入的思考、判斷、分析、探索，逐步形成理性思維，實現(xiàn)數(shù)學關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)的綜合發(fā)展.

1 自主提煉要點，梳理數(shù)據(jù)信息

跨學科課程要以學生認識經(jīng)驗為依據(jù)設(shè)計任務(wù)背景，使學生能在有推理，有思考的趣味環(huán)境氛圍中，以積極主動的思維自主發(fā)現(xiàn)問題，進一步用邏輯思維和多學科知識、技能，對數(shù)據(jù)進行運算、推理與抽象.教師要強調(diào)多學科知識、技能和現(xiàn)實生活的整體功能，引導學生解決問題時進行縝密周詳?shù)姆治雠c推理，理解數(shù)學知識的必要性、科學性、合理性.

例如，簡諧運動三個特征量是：振幅、初相、頻率，教師在教學三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)時，可結(jié)合基本的機械振動、聲波和電流，學生在任務(wù)場景：用平面鏡、金屬桶、激光筆、氣球膜、橡皮圈、音叉、橡膠錘子設(shè)計實驗“制作一個音樂鐘擺計時器”，學生結(jié)合幾個量的物理意義提取知識要點，自主觀察和探究實驗過程，在動手實踐和深入觀察中通過三角函數(shù)圖像各種變換，體驗由特殊到一般，由簡單到復(fù)雜的探究過程和思想方法，提高探索能力、科學態(tài)度和鉆研精神.

學習初始，教師不妨提出問題：請學生說一說聲音的產(chǎn)生、傳播形式，聲音的頻率、音色、聲調(diào).然后播放動聽的“鐘擺音樂”將聲波、單擺運動與三角函數(shù)圖象聯(lián)系起來，增強知識的整體性和聯(lián)系性.學習中，讓學生自主對單擺擺動時位移與時間關(guān)系進行檢驗，或觀察聲波、電流隨時間變化圖像，結(jié)合三角函數(shù)分析、描述.

教師在教學中目標明確，用物理知識引出函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）圖像.由學生獨立完成任務(wù)，讓他們運用數(shù)學知識研究y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖像變換，自主畫出y＝2sinx，x∈R，y＝?sinx，x∈R的簡圖（在［0，2π］上的圖像）概括參數(shù)ω對y＝Asin（ωx+φ）圖像影響規(guī)律，感受三角函數(shù)在生活中的廣泛應(yīng)用.

跨學科學習意味著改變與創(chuàng)造，既要注重對學生數(shù)學抽象、運算分析、邏輯推理的綜合培養(yǎng)，也要培養(yǎng)學習興趣，為理解而學，為學科知識而學，使學生運用多學科方法、理論，對需要解決問題的路徑進行探索的過程了解函數(shù)實際意義，增強理解力和創(chuàng)造力，領(lǐng)會三角函數(shù)的重要性.

在研究y＝Asin（ωx+φ）圖像變換時，結(jié)合簡諧運動來模擬生活場景，利用已有知識、技能假設(shè)、質(zhì)疑、構(gòu)想、設(shè)計、改進、解釋問題，用“五點法”作出y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖像，研究三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，總結(jié)A，ω，φ，這幾個參數(shù)對函數(shù)圖像變化的影響，了解函數(shù)y＝sinx圖像與y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）圖像之間的變換關(guān)系.讓學生在解決問題過程中正確使用工具、軟件，記錄數(shù)據(jù)、結(jié)果，合理分析，提升數(shù)學能力和使用工具能力，加深對三角函數(shù)的解析式、初相、頻率、振幅深刻理解，明白y＝Asinx（A＞0，A≠1），y＝sinωx（ω＞0，ω≠1），y＝sin（x+φ）這三個函數(shù)與函數(shù)y＝sinx之間關(guān)系，自主梳理總結(jié)函數(shù)y＝2sin13x-16圖像與y＝sinx圖像關(guān)系，對數(shù)學方法、思想和所學知識進行總結(jié)、概括，提升學習能力.

2 層層遞進解答，深入思考驗證

跨學科強調(diào)個人在學習中能利用兩個或多個學科的知識、理論、信息、方法，提出可行的解決方案，以促進學生對數(shù)學知識的深度理解.教師在跨學科教學中要把綜合知識與問題解決融為一體，推進學生對數(shù)學綜合應(yīng)用意識與實踐能力的培養(yǎng)，支持學生進行深度學習.

一節(jié)課成功與否，關(guān)鍵看內(nèi)容設(shè)計是否符合學生的認知規(guī)律和認知層次，教師所設(shè)計問題要關(guān)注開發(fā)學生思維潛力，關(guān)注學生能力發(fā)展，把課堂真正的還給學生.教師一方面要體現(xiàn)出數(shù)學與其他學科以及現(xiàn)實生活的聯(lián)系，另一方面要以建議者、指導者的身份，輔助學生自己動手獲取學科知識，讓學生在實際動手的操作體驗中自主歸納、類比、探究證據(jù)，掌握和學習三角函數(shù)的概念.

例如，機械波的波動規(guī)律滿足三角函數(shù)關(guān)系.教師設(shè)計一個物理問題，要求學生用數(shù)學知識求出：“質(zhì)點位移隨時間變化的關(guān)系式？”和“簡諧波的波速、波長、周期？”.在介質(zhì)中一列簡諧橫波沿x軸正向傳播，波長不小于10cm，介質(zhì)中平衡位置為O和A，O和A位于x＝0和x＝5cm處的兩個質(zhì)點.觀測t＝0時質(zhì)點O的位移為y＝4cm，質(zhì)點A處于波峰位，在t＝13s時，質(zhì)點O第一次回到平衡位置.A點在t＝0s時，位于波峰位置，A點在t＝1s時，第一次回到平衡位置.可知：T4＝1s，解得T＝4s，O點在t＝13s時，第一次到平衡位置，A點在t＝1s時，第一次到達平衡位置，從O點傳到A點，波用時23s，傳播距離x＝5cm，波速v＝xt＝7.5cm/s.波長λ＝vT＝30cm.組織學生進行的獨立思考、判斷、論證和分辨，讓學生在物理知識的聯(lián)系中感受數(shù)學價值和作用.

在解決“質(zhì)點位移隨時間變化的關(guān)系式？”這一問題時，設(shè)質(zhì)點O的位移隨時間變化關(guān)系為y＝Asin2πTt+φ，結(jié)合問題條件代入上式得4＝Asinφ，0＝Asinπ6+φ，從而得φ＝5π6，A＝8cm，質(zhì)點O位移隨時間變化關(guān)系式為y＝8sinπt2+5π6cm.

問題：“求解質(zhì)點的位移隨時間變化的關(guān)系式.”學生在思考過程中，可把物理問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解析式問題進行解答，如果學生把物理觀點轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，就容易解決問題了.因此，教師要結(jié)合高中生的思維特點和認識經(jīng)驗設(shè)計問題，讓抽象的數(shù)學知識更富有挑戰(zhàn)性、遞進性，培養(yǎng)學生獨立思考習慣，使學生在生動、活躍的氛圍中，形成良好習慣與態(tài)度，學會用數(shù)學思維去探究問題、解決問題，深化對數(shù)學知識概念的領(lǐng)悟和理解.當學生遇到難題困境時，教師要引導轉(zhuǎn)變學生的解題思路，組織學生以小組為單位進行討論與質(zhì)疑，自己讀圖，發(fā)現(xiàn)波動規(guī)律滿足三角函數(shù)關(guān)系，根據(jù)波動圖像找到相關(guān)的物理量，抽象出數(shù)學概念和變化規(guī)律，懂得運用數(shù)學思維看待問題，借助數(shù)學語言表達思考過程，解決實際問題.

3 拓寬文化學習，形塑積極心態(tài)

跨學科學習目的是改變學生的學習方式，讓學生在學科學習中能借助多學科的工具來解決問題，塑造積極主動的學習形態(tài).所以，教師在課堂要拓寬數(shù)學知識的學習和運用領(lǐng)域，注重跨學科知識的理解與運用，讓學生在問題討論和資料查閱中，產(chǎn)生積極探尋的意愿，并用實際行動、思維，把零散的知識點建構(gòu)成知識體系，收獲知識、經(jīng)驗、觀點、感悟.

例如，三角學源于天文運算和測量，泰斯勒為了測量金字塔高度，由相似比產(chǎn)生了三角函數(shù).教師在教學關(guān)于“兩角和與差的余弦公式”的知識點時，可把數(shù)學文化融入進來，組織學生依靠所掌握的知識、技能繪制“正弦表”，進一步推導出兩角和與差的余弦公式.在繪圖計算過程中，有的學生采用歸納推理方法得cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ.先算出1°的正弦余弦，在加α+β與兩個單角α，β，可讓弦表制作變得更加簡單.有的學生在繪圖過程中將幾個角放到兩個三角形，利用面積相等，得到了兩角和的正弦公式：（asinα+bsinβ）acosα＝basin（α+β），acosα＝bcosβ，化簡得，asinαbcosβ+bsinβacosα＝absin（α+β）即sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，再進一步通過誘導公式，可得到余弦相關(guān)公式.跨學科知識要讓學生思考“如何利用所學的數(shù)學知識”，解釋和具體現(xiàn)象、問題，讓學生在實際運算中，發(fā)揮創(chuàng)新意識和發(fā)散思維，從多角度思考問題，創(chuàng)造性探索出問題的最優(yōu)解決方案.

對于學生個體而言，三角函數(shù)高度抽象，又脫離實際，學生在傳統(tǒng)課堂學習很難體會到三角函數(shù)廣泛應(yīng)用.教師既要設(shè)置豐富有趣的背景文化知識，也要鼓勵學生親自動手去“做”，始終以學生為中心展開推理、判斷、分析等環(huán)節(jié)，讓學生在實踐探索中內(nèi)化知識積累.

4 反思問題評述，組織討論辯析

學生的學習力、記憶力、理解力、創(chuàng)新力與知識信息聯(lián)系的數(shù)量成正比，教師在教學活動中應(yīng)基于數(shù)學知識學科特點和學生的發(fā)展需要，設(shè)計反思解析環(huán)節(jié)，引導學生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)、討論、辨析、分析、反思錯誤”，讓學生在互助、啟發(fā)、協(xié)作、糾錯中，不斷展示自己解題思路、解題方法，感悟數(shù)學嚴謹、理性精神意志，加深數(shù)學概念理解，提高分析、解決問題，歸納、總結(jié)等數(shù)學能力.

例如，在跨學科學習中，涉及求函數(shù)y＝3sinπ4-2x的單調(diào)區(qū)間，學生在解題時，常把π4-2x看作整體，結(jié)合正弦函數(shù)y＝sinx的單調(diào)性，導致錯誤解答問題.

正確解答：求函數(shù)y＝3sinπ4-2x的單調(diào)區(qū)間.解：y＝3sinπ4-2x＝-3sin2x-π4，所求單調(diào)增區(qū)間2kπ+π2≤2x-π4≤2kπ+3π2，即kπ+3π8，kπ+7π8，事實上y＝3sinπ4-2x是一個復(fù)合函數(shù)，可看作y＝3sinu和u＝π4-2x兩個函數(shù)的復(fù)合，學生在解決問題時，經(jīng)常會忽視復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，即符合函數(shù)單調(diào)性的同增異減原則，以此出現(xiàn)錯誤.

教師在這一環(huán)節(jié)要引導學生反思、糾正自己的錯誤，引領(lǐng)他們在有價值、有意義的活動中反復(fù)探討運算思路，再次確定運算方向，并在持續(xù)的判斷分析中掌握正確的解題方法，使每一位學生的能力都能得到充分發(fā)展，掌握三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間、最值、周期、值域與三角函數(shù)性質(zhì)相關(guān)問題，讓學生在錯誤原因分析中增強劃歸意識提高思維的批判性和嚴謹性.

教師在設(shè)計教學內(nèi)容時要圍繞學生的學習困難，要主動聽取學生的意見，聯(lián)系社會、生活、文化重構(gòu)學習主題，以實現(xiàn)數(shù)學重點知識的定向細化.高中階段學生擁有較強的自主意識和一定的知識儲備，教師要綜合科學與工程、藝術(shù)等相關(guān)元素，讓學生在包含數(shù)學內(nèi)在邏輯的實踐探索體驗中持續(xù)內(nèi)化思考，通過自己調(diào)整，辨別問題的本質(zhì)，加深知識概念理解.

而反思評價環(huán)節(jié)是要診斷學生問題，讓學生能基于內(nèi)在情感需求，結(jié)合自身的實際經(jīng)驗和知識技能，不斷去踐行和創(chuàng)造，自主討論、分析、思考“為什么要做？為什么這么做？還能怎么做？”讓學生綜合已有的知識、經(jīng)驗相互支撐，獨立完成公式推導過程，發(fā)現(xiàn)背后所蘊含的數(shù)學知識，體會到數(shù)學的應(yīng)用價值，實現(xiàn)對數(shù)學概念知識的深層次的理解性學習.同時，教師也要發(fā)揮好指導者的作用，針對學生存在的不足及時調(diào)整方法，鼓勵學生自主審題，分析解題的條件和錯誤原因，使學生能從不同的角度，探究運算的方向和思路，總結(jié)經(jīng)驗習得多方面的知識，合理選擇相應(yīng)的運算方法，提高數(shù)學能力和創(chuàng)新精神.

總之，教師在跨學科視角下，要注重對學生的創(chuàng)造能力、數(shù)學情感、數(shù)學思維和學習能力的培養(yǎng)，讓學生像探索者一樣獨立發(fā)現(xiàn)問題，設(shè)計解決問題的方案.支持他們在多學科知識間的銜接中建立已有經(jīng)驗和新經(jīng)驗之間聯(lián)系，用數(shù)學的方式思考問題，增進學習興趣，提高數(shù)學素養(yǎng).

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