嚴保靜

摘要：按照新課改的教學理念，結(jié)合“一元二次不等式的解法”這一課題進行探究，采取師生互動、生生互動的教學模式，引導學生獨立思考、自主學習、合作探究，培養(yǎng)學生數(shù)學邏輯思維，讓學生掌握數(shù)學思想方法，提高自主學習能力，以期達到“回歸教學起點.追尋高效課堂”的效果.

關(guān)鍵詞：教學起點；高效課堂；一元二次不等式

在新課改背景下，教學的起點應當是以發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)為導向，引導與督促學生進行自主學習與合作探究，首先應做好課程內(nèi)容解析與備課工作，在課堂上提出問題引發(fā)學生思考，然后制定師生互動與生生互動的方案，以及歸納小結(jié)等，最后指導學生練習典型題目，進行課堂總結(jié)，實現(xiàn)高效率教學.筆者基于此理念開設了一節(jié)公開課：《一元二次不等式的解法》.本文結(jié)合自己的教學實踐體驗談點思考，以就教于同仁.

1教學思考

《一元二次不等式的解法》是高中數(shù)學教學中的重要內(nèi)容.在教學計劃中，這部分內(nèi)容占有兩課時.老師往往會利用類比的方法，即將此部分內(nèi)容和初中所學的相關(guān)內(nèi)容進行類比，這樣可以讓學生對新知識、新內(nèi)容有延展性思考，新內(nèi)容的教學過渡也會表現(xiàn)地更加自然、流暢.類比是發(fā)現(xiàn)的引路人.鑒于新課程倡導“用教材教”的理念，在教學過程中，教師應當沿著這一線索學習和思考.

在教學實踐中，教學目標的明確對教學內(nèi)容的設計具有重要意義.在本節(jié)教學中，其主要目標有三個，即：（1） 經(jīng)歷一元二不等式的抽象過程，在現(xiàn)實情境中理解一元二不等式的現(xiàn)實意義；（2） 了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、方程之間的聯(lián)系，借助二次函數(shù)來認識數(shù)學的整體性；（3） 能從函數(shù)的角度對一元二次不等式求解，并在一些實際問題中完成一元二次不等式的求解，提高學生的數(shù)學操作素養(yǎng).

在備課過程中，有一個環(huán)節(jié)讓筆者備受困擾.初中雖然學過一元一次方程、一元一次不等式，但是是用一次函數(shù)的觀點去看的，應該怎樣引導學生去思考將一元一次方程與一元二次不等式的求解相聯(lián)系.筆者使用了情境設置方法，即在情境中設置一個用一元一次不等式實例，并對其解法進行分析.比如情境：我家離學校大約有7.5km路程，我明天早上擬6：30從家出發(fā)去學校，想在6：50之前進入校門. 又知我上班全程行駛的市區(qū)地面道路限速均為50km/h. 請問我明天早上駕車車速應如何控制［1］？由一元一次不等式過渡到一元二次不等式，無論是從定義、一般形式還是解法、應用都可以很自然的做類比和遷移.

2教學過程

2.1提出問題

師：這一章是在研究不等式.本章對不等式的一些知識進行了類比，比如初中學過的等式和方程.與用方程刻畫相等關(guān)系類似，用不等式刻畫不等關(guān)系.由等式的性質(zhì)類比出不等式的一些性質(zhì).學習這些不等式及其性質(zhì)有什么用呢？這些不等式為什么要研究呢？不妨先請同學們幫我解決一個問題：我打算在綠地上種花，用圍欄圍成一個長方形的區(qū)域，……如果圍欄的長度是20m2，那么這個長方形的邊長是多少米？圍成的長方形區(qū)域的面積是20多米呢？生：設這個矩形的一條邊長為xm，則另一條邊長為（12－x）m.由題意得（12－x）x>20，其中x∈{x|0

（教師出示課件讓學生列式后然后回答.如果學生忘了自變量的取值范圍，老師們因勢利導.）

師：我們就是這樣把一個現(xiàn)實的問題從數(shù)學的角度中抽象出來了.這個不等式只要解決了，問題就解決了.

設計意圖：從生活實際問題出發(fā)，自然地引出本課研究的內(nèi)容，同時引導學生有意識地用數(shù)學符號語言表達現(xiàn)實世界，感悟數(shù)學與現(xiàn)實之間的關(guān)系.

2.2制定方案

師追問1：這個不等式與一元一次不等式相比，有哪些相同地方，又有哪些不同地方呢？？

生： 僅含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

師追問2：按一元一次不等式的定義，這個不等式是否可以起名？并給出一般形式.

師總結(jié)：一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱為一元二次不等式.它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0），那這個不等式怎么解呢？

學生思考，老師巡視，選出兩個有代表性的解法，請兩位學生在黑板板演.

設計意圖：求解一元二次不等式通常有兩種方法.一種是代數(shù)方法，先分解二次三項式式，把一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，通過解一元一次不等式組，得到一元二次不等式的解法；另一種是函數(shù)方法求解一元二次不等式，它是借助一元二次函數(shù)圖像得到的.當一道題有不同的解法時，就需要對這些方法分析、比較，選擇更廣泛的、能夠體現(xiàn)本質(zhì)的方法來解答.

師：第一個同學，是把一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，解得一元二次不等式；第二個同學，是借助直觀的一元二次函數(shù)圖像，解得一元二次不等式.你是怎么想出來的？

生：初中里學過的一元一次方程、一元一次不等式的解法，就是從一元一次函數(shù)的角度看的.

師：很好！這是一種類比的思想.下面我們考察一元一次不等式x2－12x+20<0與二次函數(shù)y=x2－12x+20之間的關(guān)系.

師生活動：教師用幾何畫板畫出函數(shù)y=x2－12x+20的圖像，在函數(shù)圖像上任取一點P（x，y），讓點在拋物線上移動，學生觀察圖像，點P縱坐標在變化過程中隨著點的移動，會出現(xiàn)什么特殊情況.

學生觀察思考后作答：當點P移到x軸上時，其縱坐標等于0，當點P移到x 軸上方時，其縱坐標大于 0，當點P移到x軸下方時，其縱坐標小于 0.

師追問3：當點P的縱坐標為0時，點P的橫坐標怎么求？

生：解方程x2－12x+20=0.方程的根就是點P的橫坐標.

師追問4：一元二次方程的實數(shù)根與二次函數(shù)的關(guān)系是什么？

生：一元二次方程的兩個實數(shù)根是2和10，從函數(shù)的角度看，就是縱坐標為0的點的橫坐標.

師追問5：這個結(jié)論可以推廣到一般嗎？

（引導學生得出這一結(jié)論可以推廣）

教師總結(jié)：對于二次函數(shù)y=x2－12x+20，它的零點就是使得函數(shù)值等于0的實數(shù)x，就是2和10.

師追問6：二次函數(shù)y=x2－12x+20的兩個零點把x軸分成三段.每一段（不包含零點）對應的函數(shù)圖像有什么特點？函數(shù)值有什么特點？

生：當x<2或x>10時，函數(shù)圖像位于x軸上方，此時y>0，即2

師追問7：從函數(shù)圖像上能確定矩形的邊長是多少米嗎？

設計意圖：通過問題串引導學生從具體的二次函數(shù)圖像入手，了解一元二次方程的根與相應的函圖像之間的關(guān)系，能根據(jù)圖像得到相應的一元二次不等式的解集，體會函數(shù)在判斷方程根的情況和求不等式解集中的作用.

2.3歸納小結(jié)

師：求一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0），是否可以推廣以上方法呢？對于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0） 、一元二次不等式、ax2+bx+c>0（a>0）、ax2+bx+c<0（a>0）以及相應的函數(shù) y=ax2+bx+c（a>0）之間是否也存在著類似的關(guān)系呢？每位同學先獨立思考，再分組討論，把紙上寫出討論的成果，時間大約5分鐘.

（教師各組巡視，了解討論情況，選擇有代表性的成果展示，交流.以下表格由師生一起完成.）

設計意圖：從具體的一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)的關(guān)系引申為概括性的結(jié)論.判斷一元二次方程的根，結(jié)合函數(shù)圖象，解一元二次不等式.學生在提升的過程中，體驗從特殊到一般的研究方法、合作交流的學習方法，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的數(shù)學思想.

2.4典型例題

例1求下列一元二次不等式的解集.

（1） x2－5x+6<0；

（2） 9x2－6x+1<0;

（3） －x2+2x－3<0.

（（1） 師生共析，教師板書示范.（2） 學生自主想題，請兩位學生進行板書表演）

師追問8：如何求二次項系數(shù)是負數(shù)（即a<0）的一元二次不等式的解集？

生：化系數(shù)為正.

師：其實對于一元二次不等ax2+bx+c>0，一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）的圖象與x軸的位置關(guān)系，根據(jù)系數(shù)的不同，可以分為六大類（六種圖象通過投影的方式展示出來）.

對于一元二次不等式－x2+2x－3<0，為了求解根的方便，可以把二次項的系數(shù)變?yōu)檎?

師追問9：解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0（a≠0）的步驟是什么？

生：（1） 二次項的系數(shù)變?yōu)檎╝>0）；

（2） 看能否因式分解，不能分解的計算判別式；

（3） 求出方程ax2+bx+c=0的實根；（畫出函數(shù)圖象）

（4） 寫出不等式的解集（結(jié)合函數(shù)圖象）.

設計意圖：以上是書中給出的例題，難度不大，能讓學生對一元二次不等式的解法熟悉.

師：有兩種方法可以解一元二次不等式，您會選擇哪一種？這兩種方法的共通性是都與一元二次方程的根有關(guān)，差異是函數(shù)方法考慮了變化規(guī)律.因此函數(shù)方法具有一般性.數(shù)學家華羅庚說過，數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非.

類比以上函數(shù)方法，課后嘗試求解不等式（x－2）（x－3）（x－4）>0.

設計意圖：對兩種方法的優(yōu)劣進行比較，體會函數(shù)解法的優(yōu)越性，對其它類型不等式嘗試用這種方法進行探討.

2.5課堂小結(jié)

下面我們就來回顧一下今天的學習情況，以下的問題就一起來解答一下吧.

師：（1） 如何研究解一元二次不等式的？

生：從實際問題入手，利用不等式、方程、函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的圖象，得到不等式的解法，由此推廣到一般的一元二次不等式的解法.

（2） 一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）、一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）和ax2+bx+c<0（a>0）與相應的函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）之間有什么關(guān)系？

（3） 簡單說明如何求一元二次不等式ax2+bx+c>0？

設計意圖：由此及彼，舉一反三的拓展研究，擴大了方法的價值和內(nèi)涵.從整體上促進了學生對數(shù)學內(nèi)容的理解.

3教學反思

公開課的表象是展示，本質(zhì)是研究.公開課并非 “作秀”，可以像常態(tài)課一樣公開地講.高中數(shù)學教學強調(diào)回歸教學起點，以發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)為導向，從學生的角度出發(fā)，創(chuàng)設恰當?shù)那榫?，引導學生抓住數(shù)學內(nèi)容的精髓 ［2］.通過這節(jié)課，我覺得應該從以下幾點來提高數(shù)學課堂的效率：

第一，教師應吃透教材編寫者的意圖，體現(xiàn)數(shù)學學科的精髓.在本課的備課中，參考了蘇教版等教材，比較不同的編寫方式和文本表述方式.人教版對一元二次不等式的解法的推導過程的說明詳實，深入淺出.讓學生感受方程、等式、函數(shù)之間的關(guān)系，深刻理解教材編寫者的編寫意圖，在教學設計中運用“從特殊到一般”“類比推理”“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.

第二，教學應遵循學生認知規(guī)律.循循善誘，調(diào)動學生的思維，把他們原生態(tài)的自然理念展現(xiàn)出來.在比較不同解法的優(yōu)劣中激發(fā)學生的認知沖突、以便選擇更優(yōu)化解法.這樣的教學有利于學生思維和科學精神的發(fā)展，充分體現(xiàn)了核心素養(yǎng)培養(yǎng)意識.

第三，教師應設置問題串的教學形式.黃桂君在《記一節(jié)函數(shù)應用課中的“問題串”》一文中指出，教學內(nèi)容要直觀化、本質(zhì)化，教學形式要簡單自然.數(shù)學教學的重要的原則之一就是以問題為驅(qū)動.因此，筆者精心設置編擬問題串，以追問的形式將課堂連貫起來，讓學生體會不等式、方程和函數(shù)的關(guān)系，完成本節(jié)課的教學.

第四在學習完特殊的一元二次不等式的求解后，通過設計表格化的問題，放手讓學生去獨立思考、小組討論，再展示交流、總結(jié)提煉.學生不僅獲取了知識，還掌握了獲取知識的方法——類比法、圖象法.

參考文獻：

［1］ 潘立方. 以圖為媒 突破定勢 促進函數(shù)教學——以“函數(shù)觀點看待一元二次方程（不等式）”教學實踐為例［J］. 讀寫算， 2019（31）：156-158.

［2］ 秦勇. 高中數(shù)學與二次函數(shù)有關(guān)的問題分析［J］. 科普童話， 2019（7）：132.