寧紹鵬　羅李平

摘要：學生能在解題過程中，獲得數(shù)學基本知識、基本技能、基本活動經(jīng)驗以及基本思想，并提升發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.本文聚焦數(shù)學核心素養(yǎng)，嘗試在波利亞“怎樣解題表”的指引下，借助GeoGebra解決一道三角函數(shù)試題，以期為數(shù)學教師優(yōu)化解題教學以及將GeoGebra融入高中數(shù)學課堂提供實踐參考.

關鍵詞：解題教學；GeoGebra；波利亞解題思想；數(shù)學核心素養(yǎng)

解題教學是數(shù)學課堂重要的組成部分，同時數(shù)學問題可為學生鞏固、深化數(shù)學內(nèi)容提供思維的材料.在解題教學中要聚焦數(shù)學核心素養(yǎng)，引導學生積極聯(lián)想已學數(shù)學基礎知識，掌握基本技能，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗，體會數(shù)學基本思想.只有具備了“四基”，數(shù)學核心素養(yǎng)才能得以發(fā)展［1］.學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成并不能一蹴而就，需要在數(shù)學知識學習與運用過程中逐步養(yǎng)成.高中數(shù)學題目難度大，復雜度高，難于理解，且解答步驟較長.教師選擇典型性數(shù)學問題進行講解，能夠減輕學生的學習負擔，有利于學生舉一反三地學習數(shù)學知識，避免陷入“題海戰(zhàn)術”的困局.

談到解題教學，繞不開的便是數(shù)學教育家波利亞.波利亞將其解題思想提煉為“怎樣解題表”，為解題提供了具體的思路.該表不僅包含數(shù)學解題的一般規(guī)律，而且還蘊藏著數(shù)學學習中元認知的“味道”，把數(shù)學解題的過程描述成四個階段：理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案與回顧，并且在每個階段設置了一連串的啟發(fā)性問題以引導學生如何思考［2］.

教師在教學中要充分考慮高中生的理解接受能力，借助直觀的方式幫助學生理解數(shù)學知識，感悟其中的邏輯關系.如今以板書為主要呈現(xiàn)方式的講授方式在教學受到了一定的限制，但信息技術能幫助教學突破限制.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中也提到“教師應注重信息技術與數(shù)學課程的深度融合，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學手段難以達到的效果.例如，利用計算機展示函數(shù)圖象、幾何圖形運動變化過程”［1］.

在一線教師接觸的眾多數(shù)學教育軟件中，GeoGebra脫穎而出.GeoGebra作為一款動態(tài)數(shù)學軟件，適用學習階段包括小學、初中、高中乃至大學，功能上也覆蓋了函數(shù)、幾何、代數(shù)、統(tǒng)計與概率且做到了聯(lián)動.2019年人教A版高中數(shù)學教材也將其作為主要的信息技術工具進行演示，也推薦學生和教師使用它進行探索學習.由于GeoGebra具有適用范圍廣、功能強大、多平臺免費使用等顯著優(yōu)勢，數(shù)學教師們也開始積極主動將其融入到高中數(shù)學教學課堂［3］.

1問題呈現(xiàn)

2教學過程

師：這個問題讓人摸不著頭腦，可以嘗試利用波利亞“怎樣解題表”來解決問題.“怎樣解題表”的四個步驟依次為理解題意、擬定方案、執(zhí)行方案與回顧.實際上這四步也是四條指示語，引導我們?nèi)绾谓忸}.

2.1理解題意

有效地審題能夠快速找出問題的切入點，因此解決問題第一步便是要求認真挖掘題目中的條件.通過反復閱讀題目，抓住問題中的關鍵字眼，將問題用數(shù)學符號語言表示出來，更能觀察到條件某些等式的特征，才能建立起恰當?shù)穆?lián)想，發(fā)現(xiàn)解題的思路，使用數(shù)學方法與思想，鍛煉學生的數(shù)學能力.也只有對問題有了透徹的認識，才能開始下一步擬定計劃.需要注意的關鍵問題有：這是什么類型的題目？已知條件、結論是什么？隱藏信息有哪些？需不需要作圖？

2.2擬定方案

擬定方案需要學生利用轉化與化歸思想，能夠將問題簡化，即將復雜的問題轉化為一個個可以解決的小問題，這是能夠能否順利解題的關鍵所在.在擬寫方案時要考慮問題的條件與結論兩方面，靈活結合分析法與綜合法，使得問題的條件與結論有效鏈接.需要注意的關鍵問題：見過類似的問題嗎？涉及什么數(shù)學知識點？涉及什么數(shù)學思想方法？充分利用條件了嗎？

2.3執(zhí)行計劃

擬定方案下一步便是實施方案，將探索出來的方案按照規(guī)范執(zhí)行.雖說是按照方案實施便可，但是其中的規(guī)范要求也很多.第一，在解題的過程中正確使用數(shù)學符號語言進行計算推理，規(guī)范書寫；第二，計算過程要準確且快；第三，推理論證要依靠公理定理；第四，依照題意作圖，詳略得當.需要注意的關鍵問題：這一步推理或計算正確嗎？證明用到了什么公式或定理？計算用到了什么公式知識？

2.4回顧

解題最后的環(huán)節(jié)是回顧，看似多余的一步，實則舉足輕重.一方面，解題后回顧能及時糾正錯誤，鍛煉學生的檢查能力；另一方面，對問題進行引申、推廣、變形，能夠使學到的方法技能思想運用到更大范圍內(nèi)，幫助學生構建良好的數(shù)學知識網(wǎng)絡結構.注意到關鍵問題：檢驗這個結果正確嗎？有沒有其他的方式能得到這個結果？有沒有更快捷的方法？這個結論能進一步引申嗎？

3GeoGebra操作過程

4結語

在解題教學中，教師可以大致按照波利亞“怎樣解題表”的四個步驟開展教學活動.教師將“怎樣解題表”與數(shù)學問題連接起來，對培養(yǎng)學生的數(shù)學運算、邏輯推理有著重要作用.教師在依照“怎樣解題表”教學時，要注意設置合理的問題串，展現(xiàn)不同知識的邏輯關系.通過設置循序漸進的問題串，將復雜的過程分解成一個個小問題，有助于學生從已有知識經(jīng)驗中找到與之關聯(lián)的知識點，并運用到問題解答當中去，為學生擬定方案降低了難度.“怎樣解題表”最后一步回顧是對解題活動的反思，是解題活動的元認知.回顧是更高級的思維活動，在這個階段學生經(jīng)歷一題多變、一題多解的過程，不斷完善數(shù)學知識技能與方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，體會數(shù)學思想的指引作用，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

在解題教學中，當遇到難以突破的障礙時，不妨考慮使用GeoGebra軟件.縱觀整個過程，GeoGebra的操作沒有很復雜，通過動態(tài)形象的方式，使學生清楚地看到某些參數(shù)對函數(shù)圖象的影響，幫助學生突破了想象的限制，進而幫助學生更高效地進行數(shù)學思維活動，這對培養(yǎng)學生直觀想象有極大幫助.同時，GeoGebra融入數(shù)學解題教學彌補傳統(tǒng)板書教學的不足，優(yōu)化了教學過程，活躍了課堂氛圍.教師可以考慮將GeoGebra融入高中數(shù)學解題教學中去，并與傳統(tǒng)解題教學對比，取長補短，為課堂增效.參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 李淵.基于波利亞解題表的解題研究——以一道導數(shù)極值偏移題為例［J］.數(shù)學之友，2022，36（24）：6466.

［3］ 楊林，劉梅.簡單易學的開源動態(tài)數(shù)學軟件——GeoGebra［J］.中國信息技術教育，2018（10）：5659.