陳露 姜合峰

【摘要】信息技術(shù)與學(xué)科教育相結(jié)合，積極構(gòu)建新型課堂教學(xué)模式，以高中人教版必修一“三角函數(shù)”為例，將GeoGebra有效融入課堂教學(xué)中，讓學(xué)生自主探究，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程，體會(huì)從特殊到一般、從具體到抽象的思維方法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】GeoGebra；三角函數(shù)；教學(xué)設(shè)計(jì)

1 問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）在教學(xué)建議中明確指出教師要重視信息技術(shù)的運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合.2018年教育部發(fā)布《教育信息化2.0行動(dòng)計(jì)劃》指出，發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢(shì)，變革傳統(tǒng)模式，推進(jìn)新技術(shù)與教育教學(xué)的深度融合［1］.《教育信息化“十三五”規(guī)劃》要求增強(qiáng)教師在信息化環(huán)境下創(chuàng)新教育教學(xué)的能力，使信息化教學(xué)真正成為教師教學(xué)活動(dòng)的常態(tài)［2］.在北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院曹一鳴教授牽頭下，于2011年5月成立了北京師范大學(xué)GeoGebra學(xué)院（中國(guó)總部），致力于推廣GeoGebra數(shù)學(xué)教學(xué)軟件［3］.可見國(guó)家高度重視信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教育教學(xué)的融合.

函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的一條主線，函數(shù)知識(shí)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要載體［4］.由于其具有高度抽象性和復(fù)雜性，在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生常因理解困難、畫圖能力欠缺難以把握函數(shù)知識(shí)的本質(zhì).將GeoGebra融入數(shù)學(xué)課堂，可改善函數(shù)教學(xué)較為枯燥的現(xiàn)狀，更易將數(shù)形結(jié)合思想滲透到數(shù)學(xué)課堂中，并且由GeoGebra生成的動(dòng)態(tài)圖象和軌跡追蹤等功能會(huì)激發(fā)學(xué)生的興趣，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性.

2 GeoGebra與高中數(shù)學(xué)教學(xué)融合原則

2.1 科學(xué)性原則

首先教學(xué)要確?？茖W(xué)性，作圖精準(zhǔn)；其次教學(xué)要有層次性，由淺入深；最后要保持師生思維同步，不能僅被GeoGebra所吸引而忽略數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，要做到有的放矢［5］.

2.2 主體性原則

借助GeoGebra輔助教學(xué)時(shí)，始終圍繞學(xué)生這一主體，以教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容為參考依據(jù)，以學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，遵循學(xué)生認(rèn)知和思維發(fā)展規(guī)律，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，還要發(fā)展其數(shù)學(xué)思維.

2.3 探究性原則

GeoGebra為學(xué)生提供了一個(gè)可操作的探究平臺(tái)，將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思維可視化.在探究過程中，應(yīng)重視學(xué)生生成，注重啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“研究者”，在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程中發(fā)散思維，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)探索精神.

2.4 動(dòng)態(tài)性原則

高中數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，使用GeoGebra使數(shù)學(xué)知識(shí)動(dòng)態(tài)化，從而分解教學(xué)中的重難點(diǎn)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握，提高教學(xué)實(shí)效性，促進(jìn)學(xué)生直觀思維的發(fā)展.

3 基于GeoGebra的《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象》教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 實(shí)際背景，引入新課

通過GeoGebra演示交流發(fā)電機(jī)原理、質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)和波的傳播、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)等真實(shí)情境向?qū)W生展示生活中的正弦曲線和余弦曲線，如圖1.

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用動(dòng)態(tài)性原則，通過生活實(shí)際感知正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在生活中的應(yīng)用，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生興趣.

3.2 新知探究，難點(diǎn)突破

探究1 正弦函數(shù)圖象

問題1 如何畫出y=sinx，x∈0，2π的圖象？

方法1 在0，2π內(nèi)任取一些橫坐標(biāo)的值

如x取0，π6，π4，π3，π2…，再計(jì)算出對(duì)應(yīng)的sinx為0，12，22，32，1.對(duì)于22和32這樣的無理數(shù)如何描點(diǎn)？

可借助計(jì)算器算出近似值；也可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義精準(zhǔn)描點(diǎn)，借助GeoGebra在直角坐標(biāo)系中畫出以原點(diǎn)O為圓心的單位圓，⊙O與x軸正半軸交點(diǎn)為A1，0，將點(diǎn)A繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)x0弧度至點(diǎn)B（利用滑動(dòng)條控制x0的大小），根據(jù)正弦函數(shù)的定義知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y0=sinx0，故以x0為橫坐標(biāo)，y0為縱坐標(biāo)，得到函數(shù)圖象上的點(diǎn)Tx0，sinx0，如圖2.

根據(jù)正弦函數(shù)的定義，一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0表示哪幾個(gè)量？sinx0的幾何意義是什么？

根據(jù)α=lr，x0=lr=l1=l，則一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0既表示任意角，又表示這個(gè)角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，sinx0的幾何意義是在單位圓中角x0的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo).

方法2 在0，2π內(nèi)取等分點(diǎn)

在GeoGebra中利用序列指令將圓周分成12等份，使x0的值分別為0，π6，π3，π2，…，2π，再按上述畫點(diǎn)Tx0，sinx0的方法畫出x0取這些值時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象上的點(diǎn)，如圖3，最后用連續(xù)光滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來就得到y(tǒng)=sinx，x∈0，2π的圖象.

通過GeoGebra使x0在0，2π上取足夠多的值，從而畫出足夠多的點(diǎn)，再將這些點(diǎn)用光滑的曲線連接起來就得到比較精確的函數(shù)y=sinx，x∈0，2π的圖象，如圖4.

設(shè)計(jì)意圖 運(yùn)用科學(xué)性原則，代數(shù)描點(diǎn)法作圖不精確，故利用正弦函數(shù)定義的幾何意義作圖，GeoGebra的融入既呈現(xiàn)知識(shí)的生成過程，讓學(xué)生直觀感知正弦函數(shù)圖象的形成過程，又培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

問題2 如何畫出函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象？

由sinx+2kπ=sinx，k∈Z知，終邊相同角的正弦函數(shù)值相等.通過GeoGebra演示自變量每增加（或減少）2π時(shí)，正弦函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的過程（如圖5），從而得出結(jié)論：函數(shù)y=sinx，x∈2kπ，2k+1π，k∈Z且k≠0的圖象與y=sinx，x∈0，2π圖象完全一致.

通過GeoGebra將函數(shù)y=sinx，x∈0，2π的圖象不斷向左、向右移動(dòng)，每次平移2π個(gè)單位長(zhǎng)度，得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象，如圖6.正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.

設(shè)計(jì)意圖 運(yùn)用探究性原則，分別從幾何與代數(shù)兩個(gè)角度理解函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象，空間想象力弱的學(xué)生能通過觀察GeoGebra的動(dòng)態(tài)展示達(dá)到學(xué)習(xí)目標(biāo).既培養(yǎng)了學(xué)生的“四基四能”，又讓他們感受到信息技術(shù)給數(shù)學(xué)研究帶來的簡(jiǎn)便和正弦函數(shù)圖象的循環(huán)美.

探究2 余弦函數(shù)圖象

問題3 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)是一對(duì)密切關(guān)聯(lián)的函數(shù)，能否通過對(duì)正弦函數(shù)圖象進(jìn)行變換得到余弦函數(shù)的圖象？

從數(shù)的角度，根據(jù)誘導(dǎo)公式cosx=sinx+π2，而函數(shù)y=sinx+π2，x∈R的圖象又可通過函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象向左平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故將正弦函數(shù)圖象向左平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度就得到余弦函數(shù)圖象；從形的角度，通過GeoGebra（如圖7），控制滑動(dòng)條將y=sinx，x∈R的圖象向左平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度就可得到y(tǒng)=cosx，x∈R的圖象.

余弦函數(shù)y=cosx，x∈R的圖象叫做余弦曲線.它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.

追問 你能在兩個(gè)函數(shù)圖象上選擇一對(duì)具體的點(diǎn)，解釋這種平移變換嗎？

學(xué)生交流討論，匯報(bào)結(jié)論，若x0，y0是函數(shù)y=cosx圖象上任意一點(diǎn)，根據(jù)誘導(dǎo)公式得y0=cosx0=sinx0+π2，令x0+π2=t0，則有y0=sint0，即在函數(shù)y=sinx圖象上有對(duì)應(yīng)點(diǎn)t0，y0，因?yàn)閤0+π2=t0，即x0=t0－π2，所以點(diǎn)x0，y0可以通過點(diǎn)t0，y0向左平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則將正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度就得到余弦函數(shù)的圖象.

類似于“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)圖象，讓學(xué)生嘗試畫出y=cosx，x∈－π，π的簡(jiǎn)圖.

設(shè)計(jì)意圖 運(yùn)用主體性原則，充分利用已有經(jīng)驗(yàn)，將誘導(dǎo)公式學(xué)以致用，自主探究并直觀感知正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關(guān)系，將代數(shù)變化與幾何直觀變化相結(jié)合，滲透數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，培養(yǎng)直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

4 結(jié)語(yǔ)

新教材中正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的內(nèi)容不同以往，沒有采用三角函數(shù)線，而是緊扣函數(shù)研究路徑和單位圓，利用正弦函數(shù)的定義認(rèn)識(shí)正弦函數(shù)的圖象，而GeoGebra與課堂教學(xué)的融合，生動(dòng)形象、高容、高效，可以帶動(dòng)教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的形成過程，同時(shí)也提升了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.教育信息化2.0行動(dòng)計(jì)劃［Z］.2018-4-13．

［2］教技［2016］2號(hào)文件，教育部關(guān)于印發(fā)《教育信息化“十三五”規(guī)劃》的通知［Z］.

［3］劉怡軒.GeoGebra在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與展望——訪談曹一鳴教授［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（13）：42-44+54.

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［5］章建躍，李柏青，金克勤，董凱.體現(xiàn)函數(shù)建模思想加強(qiáng)信息技術(shù)應(yīng)用——“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”的修訂研究報(bào)告［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015，54（08）：1-8.