［摘? 要］ 系統(tǒng)思維是整體地、動態(tài)地、連續(xù)地思考問題的思維模式，是在復(fù)雜動態(tài)系統(tǒng)中的一種以簡馭繁的智慧. 基于系統(tǒng)思維的課堂設(shè)計(jì)能夠更好地遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)知識的生長規(guī)律，并有效選擇教學(xué)方法，便于學(xué)生自主探究、自主建構(gòu)，從而真正落實(shí)從教到學(xué)的根本轉(zhuǎn)變. 基于系統(tǒng)思維的課堂教學(xué)有利于學(xué)生從整體上習(xí)得知識，獲得知識背后的學(xué)習(xí)方法和學(xué)科思維，從而形成知識結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的有效提升以及學(xué)生核心素養(yǎng)的有效落地.

［關(guān)鍵詞］ 系統(tǒng)思維；問題導(dǎo)學(xué)；自主建構(gòu)；高中數(shù)學(xué)

系統(tǒng)思維就是把認(rèn)識對象作為一個系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系和相互作用中綜合地考察認(rèn)識對象的一種思維方法. 培養(yǎng)系統(tǒng)思維，可使學(xué)生養(yǎng)成全面思考問題的習(xí)慣，做到見木見林，進(jìn)而讓學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題時，能從一個整體的高度認(rèn)識解決問題的目標(biāo)、路徑及過程策略的優(yōu)化等. 筆者曾參加過江蘇省高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課評比，在系統(tǒng)思維觀的指引下，設(shè)計(jì)并執(zhí)教了人教A版高中數(shù)學(xué)必修2“直線與平面垂直”第一課時，受參賽評委一致好評，獲得一等獎.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 喚起舊知：在“縱貫”中引入課題

問題1 空間一條直線與一個平面有哪幾種位置關(guān)系？根據(jù)學(xué)習(xí)進(jìn)程以及所研究對象的特例性，本節(jié)課我們該研究什么內(nèi)容？

設(shè)計(jì)意圖 在直線與平面位置關(guān)系的系統(tǒng)中引出課題，強(qiáng)調(diào)知識的系統(tǒng)性與關(guān)聯(lián)性，培養(yǎng)學(xué)生全面思考問題的習(xí)慣.

簡析 直線與平面的位置關(guān)系有“直線在平面內(nèi)”“直線與平面平行”“直線與平面相交”. 當(dāng)直線與平面相交時，直線與平面垂直最為特殊，本節(jié)課我們該研究直線與平面垂直.

如圓錐SO的軸與底面、跨欄架的立柱與地面、旗桿與地面，都給了我們直線與平面垂直的形象.

問題2 對于直線與平面平行的關(guān)系，我們是從哪些方面進(jìn)行研究的？采取了怎樣的研究方法？我們該如何去研究直線與平面垂直的關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖 設(shè)法喚起學(xué)生學(xué)習(xí)直線與平面平行關(guān)系時所積累的經(jīng)驗(yàn)，在研究直線與平面位置關(guān)系這個系統(tǒng)思維的指引下，明確本節(jié)課“要研究什么”的同時還要知道“怎樣去研究”，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的目的性和自覺性.

簡析 對于直線與平面平行的關(guān)系，我們研究了它的定義、判定定理和性質(zhì)定理，采用的是“把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行”的研究方法.類似地，直線與平面垂直的關(guān)系也可以從這樣幾個方面去研究.

2. 實(shí)例觀察：在“橫聯(lián)”中感知概念

問題3 觀察圓錐SO（如圖2所示），它給了我們軸SO垂直于底面的形象. 軸SO與底面內(nèi)的哪些直線垂直呢？

設(shè)計(jì)意圖 借助系統(tǒng)思維研究一個具體對象，一般過程可以是：背景—定義及表示—劃分—判定和性質(zhì)—應(yīng)用. 此問題以圓錐的軸SO垂直于底面的形象為實(shí)例情境，讓學(xué)生直觀感知后研究軸SO與底面內(nèi)直線的位置關(guān)系——將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直去研究，體會空間問題平面化的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而在認(rèn)識直線與平面垂直特征的基礎(chǔ)上概括出直線與平面垂直的定義，并加以表示.

簡析 觀察圓錐SO（如圖2所示），它給了我們軸SO垂直于底面的形象.軸SO與圓錐底面內(nèi)的每一條半徑都垂直，而半徑可看作底面內(nèi)過點(diǎn)O的直線，即軸SO與底面內(nèi)過點(diǎn)O的所有直線都垂直. 底面內(nèi)不過點(diǎn)O的直線可以通過同面直線平移過點(diǎn)O，即軸SO與底面內(nèi)的任意一條直線都垂直.

由此得到直線與平面垂直的定義（下文簡稱定義）：一條直線與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說這條直線與這個平面互相垂直.

類似直線與平面平行的研究，可以畫出它的示意圖，用符號加以表示.

l?α（l是任意一條直線）?a⊥α.

問題4 （1）如果直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，那么直線a垂直于平面α嗎？

（2）如果直線a與平面α垂直，那么直線a垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線嗎？

設(shè)計(jì)意圖 以問題“如果直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，那么直線a垂直于平面α嗎”對定義中的關(guān)鍵詞“任意”進(jìn)行辨析，讓學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵；以問題“如果直線a與平面α垂直，那么直線a垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線嗎”對定義的充分必要性進(jìn)行辨析，讓學(xué)生全面理解定義.

簡析 直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，可能是線在面內(nèi)，也可能是線面平行，還可能是線面斜著相交（如圖4所示）. 這說明，定義中的“任意一條”十分關(guān)鍵.

3. 簡單運(yùn)用：在“遷移”中理解內(nèi)涵

問題5 求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.

設(shè)計(jì)意圖 對定義的簡單運(yùn)用，讓學(xué)生明白用定義證明直線與平面垂直的關(guān)鍵是要說明直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，從而進(jìn)一步理解定義的內(nèi)涵. 另外，在問題的解決中，定義既是判定線面垂直的一個依據(jù)，又反映了線面垂直的一個性質(zhì). 定義不僅可以由線線垂直得到線面垂直，也可以由線面垂直得到線線垂直，這正是定義的兩個方面.

理解內(nèi)涵 從a⊥α推得a⊥m，體現(xiàn)的是由線面垂直得到線線垂直；從b⊥m推得b⊥α，體現(xiàn)的是由線線垂直得到線面垂直. 整個證明過程體現(xiàn)了線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了定義的兩個方面.

問題6 觀察跨欄架，它給了我們立柱和地面垂直的形象，你能用定義說明立柱與地面垂直嗎？

設(shè)計(jì)意圖 定義通?？梢杂脕碜鳛榕卸ň€面垂直的依據(jù)，在此實(shí)際問題解決中，學(xué)生體會到問題5與問題6的不同與區(qū)別，感受到用定義判定的不便與困難，引發(fā)學(xué)生新的認(rèn)知沖突，使學(xué)生明白探索判定定理的必要.

簡析 要用定義說明立柱與地面垂直，就要說明立柱與地面內(nèi)的任意一條直線都垂直，這比較困難，甚至幾乎無法實(shí)現(xiàn). 這表明，用定義難以說明立柱AB與地面垂直，類似直線與平面平行的判定，我們需要尋求一個簡單可行的判定線面垂直的方法.

4. 實(shí)驗(yàn)例證：在“探究”中尋覓判定

問題7 如果直線a只要與平面α內(nèi)的有限幾條直線垂直，就可得直線a與平面α垂直，那么判斷方法不就簡化了嗎？要減少平面內(nèi)與直線a垂直的直線，減少到多少條最合適呢？大家一起來做個實(shí)驗(yàn)，根據(jù)給你的直角和軟管，需要幾個直角就可以將軟管豎立在桌面上呢？

設(shè)計(jì)意圖 這既是一個系統(tǒng)思維，又是一個思維系統(tǒng)，問題7承接著問題6，讓學(xué)生在系統(tǒng)思維的指引下，直觀感知線面垂直的形象，得到相應(yīng)的歸納猜想，進(jìn)而通過實(shí)驗(yàn)操作的方式得以確認(rèn)，發(fā)現(xiàn)垂直于一條直線不行，垂直于兩條平行的直線也不行，垂直于兩條相交直線就能保證直線垂直于平面，最終讓學(xué)生心悅誠服地接受“判定定理”，并得到符號語言和其中所蘊(yùn)含的思想.

教學(xué)過程 小組合作探究、操作實(shí)驗(yàn)、匯報(bào)交流、總結(jié)歸納.

歸納概括 猜想直線a與平面α內(nèi)的一條、兩條、三條直線垂直，分組實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證（每組三個直角，一個套管，如圖6①所示），擺出一條直線與平面垂直的模型.

通過試驗(yàn)可知，將平面內(nèi)直線減少到一條，不能擺出線面垂直的模型（如圖6②所示）；將平面內(nèi)直線減少到兩條，可以擺出線面垂直的模型（如圖6③所示），但兩直線平行時不能（如圖6④所示）. 由此，可猜想并驗(yàn)證得到：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面——這就是直線與平面垂直的判定定理.

直線與平面垂直的判定定理的本質(zhì)是“由線線垂直推得線面垂直”.

5. 有效猜想：在“發(fā)現(xiàn)”中厘清性質(zhì)

問題9 到此，我們就研究了直線與平面垂直的定義，也找到了判定直線與平面垂直的方法. 那么，直線與平面垂直有哪些性質(zhì)呢？觀察圖片（圖1），兩根旗桿垂直于地面，兩根旗桿具有怎樣的位置關(guān)系呢？能加以證明嗎？

設(shè)計(jì)意圖 隨著學(xué)習(xí)進(jìn)程的不斷推進(jìn)，跟著研究一個對象的系統(tǒng)思維，自然地，要進(jìn)一步研究線面垂直的有關(guān)性質(zhì). 同樣的，通過感知圖片中線面垂直的形象，猜想有關(guān)結(jié)論，繼而證明結(jié)論的正確性，得到線面垂直的性質(zhì)定理.

簡析 已知：a⊥α，b⊥α. 求證：a∥b. （證明略）

用文字語言敘述出來，就是“如果兩條直線垂直于同一平面，那么這兩條直線平行”——這就是直線與平面垂直的性質(zhì)定理，它體現(xiàn)的是由線面垂直得到線線平行，為今后證明線線平行又提供了一種方法.

6. 總結(jié)反思：在“思想”中培育慧心

問題10 回顧本節(jié)課所學(xué)的直線與平面垂直，我們是從哪些方面去研究的？又是怎樣去研究的？

設(shè)計(jì)意圖 從知識、思想、方法等系統(tǒng)思維歸納、總結(jié)、提煉本節(jié)課所學(xué)，讓學(xué)生進(jìn)一步理解并掌握線面平行、線面垂直的系統(tǒng)性研究思維. 提升系統(tǒng)思維水平是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題能力的關(guān)鍵舉措.

簡析 本節(jié)課研究了直線與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理.

教學(xué)反思

1. 在“最近發(fā)展區(qū)”實(shí)現(xiàn)“三個理解”是系統(tǒng)思維培養(yǎng)的前提

章建躍老師說過，數(shù)學(xué)教學(xué)的三大基石是理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué). 理解數(shù)學(xué)是教師對教材的理解與把握，也是教師專業(yè)素養(yǎng)的體現(xiàn)，還是理解應(yīng)該教給學(xué)生什么，它是結(jié)合學(xué)生實(shí)際，選擇合適的教學(xué)方法實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)的前提. 理解學(xué)生是教師要認(rèn)清學(xué)生的已有知識基礎(chǔ)，它是找準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知生長點(diǎn)的關(guān)鍵，是在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)教學(xué)的根本.理解教學(xué)是教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際水平靈活選擇適合的教學(xué)方法，是為學(xué)生做好前后一致、邏輯連貫的教學(xué)設(shè)計(jì)的根本. 有了這三點(diǎn)，才能正確運(yùn)用系統(tǒng)思維觀，也才能在此基礎(chǔ)上促使學(xué)生在掌握知識的同時學(xué)會真正思考.

直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況，也是直線與平面所成的角等內(nèi)容的基礎(chǔ). 它是空間中直線與直線垂直的拓展，也是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，還是線線垂直和面面垂直的連接紐帶，突出體現(xiàn)了“降維轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法，因此線面垂直是空間中的垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的重心.

充分認(rèn)識本節(jié)課在直線與平面位置關(guān)系系統(tǒng)中的地位與作用，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生收獲的不只是知識，更重要的是感受到了這些知識背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維.

2. 在“過程參與”中實(shí)現(xiàn)主體建構(gòu)是系統(tǒng)思維培養(yǎng)的目標(biāo)

本節(jié)課從直線與平面位置關(guān)系系統(tǒng)中引出課題，依照“背景—定義及表示—判定—性質(zhì)—應(yīng)用”的思維結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，借助學(xué)生熟悉的幾何體——圓錐，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知直線與平面垂直的特征，結(jié)合具體事例中線面垂直的形象，通過理解、抽象，概括出線面垂直的定義，再結(jié)合實(shí)際應(yīng)用的需要，讓學(xué)生在探究、理解和實(shí)驗(yàn)中找到線面垂直的判定定理，最后從研究對象的系統(tǒng)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)并證明線面垂直的性質(zhì)定理. 在此過程中，教師僅輔以適當(dāng)?shù)膯l(fā)、引導(dǎo)，并適度參與.

在這個過程中，學(xué)生在系統(tǒng)思維的指引下，自覺運(yùn)用著滲透化歸、降維轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，自覺進(jìn)行著深度思考，厘清了線面垂直的基礎(chǔ)是什么，它的“根”在哪里，它的生長點(diǎn)與固著點(diǎn)又是什么，搞清楚了線面垂直的來龍去脈、來源背景、生成過程和發(fā)展方向. 對學(xué)生而言，這不只有“魚”，還有“漁”.

3. 在“問題導(dǎo)學(xué)”中實(shí)現(xiàn)認(rèn)知沖突是系統(tǒng)思維培養(yǎng)的路徑

布魯納指出：“教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動，思維永遠(yuǎn)是從問題開始.”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題是引發(fā)學(xué)生思維與探索的向?qū)В菍W(xué)生課堂學(xué)習(xí)活動的載體，能有效激發(fā)學(xué)生的好奇心. 通過問題可以把知識的邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生的思維過程有機(jī)地聯(lián)系起來，將知識的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；通過問題能使學(xué)生主動探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，認(rèn)識、理解數(shù)學(xué)本質(zhì).

本節(jié)課用“直線與平面垂直最為特殊”引出課題，伴以學(xué)生舉例、想象和語言敘述. 注意到知識的系統(tǒng)與關(guān)聯(lián)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的作用，容易喚醒學(xué)生在直線與平面平行的學(xué)習(xí)中形成的研究經(jīng)驗(yàn)——線面平行是從哪些方面研究的？又是怎樣去研究的？從而讓學(xué)生明確本節(jié)課“要研究什么”“怎樣研究”，然后讓學(xué)生帶著這樣的思維、思路開展本節(jié)課的線面垂直的研究性學(xué)習(xí).

本節(jié)課從問題1到問題10形成了一個系統(tǒng)，組成了一個問題鏈，串聯(lián)了整個教學(xué)過程，問題間相互關(guān)聯(lián)，問題層次推進(jìn)，充分體現(xiàn)了每一個問題所要探究的必要性. 通過問題驅(qū)動，立足問題解決過程，啟迪并訓(xùn)練學(xué)生的思維，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對線面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的主動建構(gòu).

4. 在“試驗(yàn)探究”中實(shí)現(xiàn)思維發(fā)展是系統(tǒng)思維培養(yǎng)的手段

定理教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分. 它既是概念教學(xué)的延續(xù)，又是解題教學(xué)的基礎(chǔ)；它承上啟下，關(guān)系著數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量. 直線與平面垂直的判定定理的證明是以往教材中的一個教學(xué)難點(diǎn)，而新教材通過實(shí)驗(yàn)操作和直觀感知，歸納得到直線與平面垂直的判定定理，這種處理方式使教學(xué)過程更加流暢，學(xué)生更容易接受.

本節(jié)課通過問題“觀察跨欄架，它給了我們立柱和地面垂直的形象，你能用定義說明立柱與地面垂直嗎”讓學(xué)生體會用線面垂直定義去判定線面垂直的難度，使學(xué)生明白有必要尋找一個簡便快捷的判定方法，從而激發(fā)學(xué)生去思考，挑起學(xué)生迫切通過具體實(shí)驗(yàn)操作來驗(yàn)證其可行性的欲望，順其所需，一切水到渠成！

這樣，從線面垂直的實(shí)際形象中猜想判定定理，通過實(shí)驗(yàn)操作驗(yàn)證，抽象歸納出判定定理. 既符合新的教學(xué)要求，又順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的需要，提高了學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的能力.

作者簡介：繆德軍（1976—），江蘇省宜興中學(xué)副校長，中學(xué)高級教師，曾任江蘇省白蒲高級中學(xué)校長，南通市首屆領(lǐng)航校長，南通市第十六屆園丁獎，南通市學(xué)科帶頭人，江蘇省高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)課評比一等獎，江蘇省優(yōu)秀教育工作者.