［摘? 要］ 研究者發(fā)現(xiàn)圓錐曲線定值問題受命題人的青睞，已經(jīng)成為圓錐曲線命題中的一類熱點(diǎn)問題. 文章從一道競(jìng)賽題中發(fā)現(xiàn)橢圓中兩直線的斜率之比為定值，并由此通過變式進(jìn)行拓展研究，察覺解決橢圓中有關(guān)“斜率”的定值問題在于巧用特殊條件建立等量關(guān)系.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；橢圓；斜率；定值

問題呈現(xiàn)

（2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽重慶市預(yù)賽）設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)為A（-a，0），B（a，0），過右焦點(diǎn)F（1，0）作非水平直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，記直線AP，BQ的斜率分別為k，k，試證：為定值，并求此定值（用a的函數(shù)表示）［1］.?題型反思1 過橢圓焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，由橢圓的左、右頂點(diǎn)分別引出兩條過兩交點(diǎn)的直線，則這兩條直線的斜率之商為定值. 解決這類題目，只需先設(shè)過橢圓焦點(diǎn)的直線方程，并將其與橢圓方程聯(lián)立，得出兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積之間的關(guān)系；再設(shè)兩直線斜率作商，化簡(jiǎn)計(jì)算，求得定值.

筆者發(fā)現(xiàn)圓錐曲線定值問題受命題人的青睞，已經(jīng)成為圓錐曲線命題中的一類熱點(diǎn)問題，正如原題，可將其繼續(xù)變式，研究一下橢圓中有關(guān)“斜率”的定值問題.

我們知道，一般橢圓的焦點(diǎn)是在橢圓內(nèi)部且在x軸上的具有特殊意義的點(diǎn)，除了兩個(gè)焦點(diǎn)外，原點(diǎn)作為橢圓的對(duì)稱中心，也是在橢圓內(nèi)部且在x軸上的具有特殊意義的點(diǎn). 故筆者考慮作一條過原點(diǎn)與橢圓相交的直線，看看在這樣的圖形中是否存在著與斜率有關(guān)的定值.

題型反思2 從變式題1到變式題2，過焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)變成了過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，由橢圓的左、右頂點(diǎn)分別引出的過兩交點(diǎn)的兩條直線變成了由橢圓上一點(diǎn)引出的過兩交點(diǎn)的兩條直線，兩條直線斜率之比為定值也變成了兩條直線斜率之積為定值，這里我們可以將變式題1的A，B兩點(diǎn)看成一個(gè)點(diǎn)P.由于此題的兩點(diǎn)在過原點(diǎn)的直線上，其橫、縱坐標(biāo)具有特殊性質(zhì)，因此不再聯(lián)立直線方程和橢圓方程，而是直接利用這一特殊性質(zhì)設(shè)兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出兩直線斜率之積. 再依次將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，用點(diǎn)差法找到代數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步化簡(jiǎn)計(jì)算，證得直線PA的斜率與直線PB的斜率之積為定值.

上述證明再次驗(yàn)證了筆者的想法，給了筆者深入研究的信心. 若作一條不過原點(diǎn)且與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)的直線，在這樣的圖形中是否存在與斜率有關(guān)的定值呢？

變式題3 設(shè)不過原點(diǎn)O的直線與橢圓C：+=1（a>b>0）相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)且線段AB被直線OP平分（其中x≠x且x≠0），則直線AB與直線OP的斜率之積為定值e2-1.

題型反思3 從變式題2到變式題3，過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)變成了不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，兩交點(diǎn)連成的線段被原點(diǎn)平分也變成了兩交點(diǎn)連成的線段被橢圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連成的直線平分. 這里我們可以看到，當(dāng)x軸上的取點(diǎn)更加一般化后，橢圓上的取點(diǎn)更加特殊了. 對(duì)于此題，先巧用中點(diǎn)性質(zhì)建立橢圓中特殊點(diǎn)（點(diǎn)P）的縱、橫坐標(biāo)之商（OP的斜率）與兩交點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)之和的商的等量關(guān)系；再將兩交點(diǎn)的坐標(biāo)依次代入橢圓方程，用點(diǎn)差法找到代數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步化簡(jiǎn)計(jì)算，證得直線AB與直線OP的斜率之積為定值.

結(jié)束語(yǔ)

回顧上述三道變式題，筆者發(fā)現(xiàn)解決此類定值問題的關(guān)鍵在于巧用特殊條件建立等量關(guān)系，如變式題1、變式題2、變式題3，分別利用的是焦點(diǎn)、原點(diǎn)和中點(diǎn)這樣特殊點(diǎn)的性質(zhì)建立起的等量關(guān)系.

雙曲線和拋物線作為另外兩類圓錐曲線，是否也存在有關(guān)“斜率”的定值呢？除了有關(guān)“斜率”的定值問題外，圓錐曲線中還有哪些常見的定值問題？有興趣的同行可以繼續(xù)研究下去.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì). 2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊(cè)［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2020.

基金項(xiàng)目：珠海市教育科研“十四五”規(guī)劃第二批（2022年度）課題 “高中數(shù)學(xué)課前導(dǎo)學(xué)有效性研究”（2022ZHGHKTG032）.

作者簡(jiǎn)介：黃玉聰（1996—），碩士研究生，從事中學(xué)數(shù)學(xué)研究工作，曾獲全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽本科組一等獎(jiǎng)、全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽（數(shù)學(xué)專業(yè)）二等獎(jiǎng).