張曉鋒 姚靈娣

【摘 要】數(shù)的運(yùn)算重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法，滋養(yǎng)學(xué)生的算“術(shù)”智慧。文章以“小數(shù)乘小數(shù)”的教學(xué)為例，將小數(shù)乘小數(shù)與整數(shù)乘法勾連，引導(dǎo)學(xué)生積極推理明晰算理，比較溝通掌握算法，靈活估算發(fā)展數(shù)感，逐步提升運(yùn)算教學(xué)的育人價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)運(yùn)算 算理 算法 教學(xué)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)的運(yùn)算重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法，數(shù)與運(yùn)算之間有密切的關(guān)聯(lián)……經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法。初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)；感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)。

“小數(shù)乘小數(shù)”是蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)乘法和除法”單元的教學(xué)內(nèi)容。整數(shù)乘法和小數(shù)乘整數(shù)的算理算法與積的變化規(guī)律等是學(xué)生學(xué)習(xí)“小數(shù)乘小數(shù)”的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。筆者以為，本課教學(xué)應(yīng)創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，觸發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的“興奮點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生自主遷移，結(jié)合圖形，從計(jì)數(shù)單位的角度理解小數(shù)乘小數(shù)的算理，探索并掌握小數(shù)乘小數(shù)的算法，且快速、準(zhǔn)確地為積的小數(shù)點(diǎn)“定位”，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感與推理意識(shí)。

片段一：創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，點(diǎn)燃學(xué)習(xí)熱情

課件呈現(xiàn)老師家的戶型圖（圖中標(biāo)注了主臥長(zhǎng)4.2米、寬3.5米，次臥長(zhǎng)3.8米、寬3.2米，陽臺(tái)長(zhǎng)3.2米、寬1.15米，衛(wèi)生間長(zhǎng)3米、寬2.8米）。

師：同學(xué)們，這是老師家的戶型圖，這套房子的面積是98.6平方米。你們從圖中看到了哪些數(shù)學(xué)信息？

學(xué)生回答。

師：仔細(xì)觀察老師家的戶型圖，你們能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

生1：我想知道陽臺(tái)的面積有多大。

生2：我想知道次臥的面積有多大。

生3：我想知道主臥比次臥大多少。

生4：我想知道這套房子的總價(jià)。

……

師：同學(xué)們想知道的挺多！這些問題都可以通過乘法計(jì)算得出答案。請(qǐng)大家先算出衛(wèi)生間的面積，再互相說說整數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算方法。

師：我們算出衛(wèi)生間的面積是8.4平方米。你們能列式計(jì)算次臥的面積嗎？請(qǐng)每個(gè)同學(xué)嘗試列豎式計(jì)算。（板書3.8×3.2）

……

【思考】情境認(rèn)知理論認(rèn)為，基于現(xiàn)實(shí)世界的真實(shí)情境是學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的基本條件，任何脫離特定情境或場(chǎng)合的知識(shí)都是毫無意義的。學(xué)生對(duì)生活中的一些真實(shí)問題最感興趣。以老師家的戶型圖作為學(xué)習(xí)素材導(dǎo)入，能激發(fā)學(xué)生的好奇心與解決問題的內(nèi)在需求，也為學(xué)生積極提出不同問題、列出不同的乘法算式提供了條件。比較契合數(shù)學(xué)眼光的主要表現(xiàn)之一為“能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究；逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)與習(xí)慣，發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識(shí)”。創(chuàng)設(shè)真情境、解決真問題、引領(lǐng)真學(xué)習(xí)，有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)與現(xiàn)實(shí)的有意義聯(lián)結(jié)。

片段二：增強(qiáng)估算意識(shí)，豐富學(xué)生數(shù)感

師：同學(xué)們，3.8×3.2的積是多少？我們先估算一下！

生1：我把3.8×3.2當(dāng)成4×3估算，積大約是12。

生2：我把3.8×3.2當(dāng)成3.8×3估算，積大約是11.4。

生3：我把3.8×3.2當(dāng)成4×4估算，積大約是16，不過積一定小于16，因?yàn)檫@是大估。

生4：我把3.8×3.2當(dāng)成3×3估算，大約是9，我用的是小估！

師：大家的估算方法多樣，估計(jì)積在9到16之間。大部分同學(xué)估算的積約為12。我們先把這個(gè)估算結(jié)果記錄下來，等會(huì)兒將其與豎式計(jì)算結(jié)果比對(duì)。

……

師：同學(xué)們，下面三個(gè)豎式（見圖1）計(jì)算對(duì)嗎？先判斷，然后把不正確的改正過來。

師：誰能很快判斷出這三道題的對(duì)錯(cuò)？

生1：第一個(gè)豎式是2.5×3.5，我大估成3×4口算，積是12，87.5太大了！第二個(gè)豎式是16.4×4.5，我小估成16×4口算，積是64，7.38太小了。

師：大家同意他的判斷方法嗎？通過估算可以很快知道兩個(gè)數(shù)相乘的積的大致范圍，如果相差太大那就錯(cuò)了。第三個(gè)豎式哪里錯(cuò)了？

生2：我認(rèn)為第三個(gè)豎式的得數(shù)也可以通過估算判斷，把它估成80×0.04，積是3.2，32.92太大！還可以把82.3大估成100，100×0.04=4，仍然比32.92小得多！

生3：我有不同的判斷方法！我是從積的小數(shù)位數(shù)看的。請(qǐng)看，第一個(gè)豎式的積應(yīng)該是兩位小數(shù)，而這里是一位小數(shù)；第二個(gè)豎式的積應(yīng)該是兩位小數(shù)，而這里是三位小數(shù)；第三個(gè)豎式的積應(yīng)該是三位小數(shù)，而這里是兩位小數(shù)。所以三道題都算錯(cuò)了！

師：善于思考，方法靈活！

師：估算的功能的確強(qiáng)大！判斷一個(gè)乘法豎式的積是否正確，既可以通過估算判斷，也可以通過確定積是幾位小數(shù)判斷。大家在日常計(jì)算中，要養(yǎng)成估算的好習(xí)慣，完成計(jì)算后再檢查、反思，給自己的計(jì)算加個(gè)保險(xiǎn)！

【思考】估算能力是運(yùn)算能力中一項(xiàng)必備能力，有助于發(fā)展學(xué)生的內(nèi)省智能。新課標(biāo)指出，估算教學(xué)要借助真實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生在選擇合適單位估算的基礎(chǔ)上，感悟選擇合適的方法估算的重要性，提高解決問題的能力，發(fā)展初步的應(yīng)用意識(shí)。教師在學(xué)生嘗試計(jì)算前先引導(dǎo)學(xué)生估算，喚醒他們先估再算的意識(shí)，最后將估算值與豎式計(jì)算結(jié)果對(duì)照，發(fā)展學(xué)生的內(nèi)省智能。借助教材中的三個(gè)有錯(cuò)的豎式組織學(xué)生判斷，促進(jìn)思考，引導(dǎo)學(xué)生從估算的角度與確定小數(shù)點(diǎn)位置的角度辨錯(cuò)。這樣能拓寬辨析視角，強(qiáng)化估算能力。抓實(shí)關(guān)鍵“一點(diǎn)”，學(xué)生計(jì)算小數(shù)乘法中的“點(diǎn)點(diǎn)”技能得以強(qiáng)化與鞏固，從不同視角解決同一問題的經(jīng)驗(yàn)不斷豐富，運(yùn)算素養(yǎng)也得以逐步提升。

片段三：發(fā)展推理意識(shí)，滋養(yǎng)算“術(shù)”智慧

師：請(qǐng)同學(xué)們自主嘗試，列豎式計(jì)算3.8×3.2的積，算好后在小組內(nèi)交流自己的算法。

學(xué)生列豎式計(jì)算，教師巡視指導(dǎo)。

全班交流，教師投影兩個(gè)學(xué)生列的豎式（略），積分別是12.16和121.6。

教師讓生判斷哪個(gè)積正確，學(xué)生聯(lián)系前面估算的積約是12，判定得數(shù)121.6錯(cuò)誤，12.16正確。

師：誰愿意說說自己的計(jì)算過程？關(guān)鍵要講清楚你是怎么想的。

生1：我先把3.8×3.2看成整數(shù)乘法計(jì)算，就是看成38×32來計(jì)算，積是1216。因?yàn)?.8×10等于38，3.2×10等于32，兩個(gè)乘數(shù)都乘了10，所以最后要根據(jù)積的變化規(guī)律，把兩個(gè)整數(shù)相乘的積1216除以100，就能得出正確的積12.16?。ㄒ妶D2）

師：我們可以應(yīng)用積的變化規(guī)律，將一位小數(shù)乘一位小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘整數(shù)，最后在積的相應(yīng)位置點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。怎樣確定積的小數(shù)點(diǎn)位置？

生1：把1216÷100，就是把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，得到12.16。

師：同學(xué)們真棒，善于聯(lián)系、樂于思考。小明想和大家分享他的不一樣的計(jì)算過程。

師：誰看懂了他的算式？說說自己的理解。

生2：他是從計(jì)數(shù)單位的角度來計(jì)算的，38個(gè)0.1乘32個(gè)0.1，0.1×0.1表示新的計(jì)數(shù)單位，1216表示新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

師：想一想，0.1×0.1能得到哪個(gè)新的計(jì)數(shù)單位？很多人猜是0.01，你們的數(shù)感真好，確實(shí)是0.01。讓我們通過動(dòng)畫了解0.01的“出生歷程”。

學(xué)生觀看動(dòng)畫了解0.01的產(chǎn)生過程（見圖3）。先把一個(gè)正方形橫著等分10份，1份是，即0.1；再豎著等分10份，1份也是，即0.1。學(xué)生看明白了將計(jì)數(shù)單位細(xì)分的過程，即將一個(gè)正方形分了再分，等分成100份，每份為0.01。

師：小明從計(jì)數(shù)單位的角度理解小數(shù)乘法計(jì)算的道理。大家能理解嗎？

生3：3.8的計(jì)數(shù)單位是0.1，它有38個(gè)0.1；3.2的計(jì)數(shù)單位是0.1，它有32個(gè)0.1?？梢园?.8×3.2看成38×0.1×32×0.1。先算0.1×0.1，得到的0.01是一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位，而38×32得到的是新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，是1216。1216個(gè)0.01就是12.16。

師：思路清晰，表達(dá)有序。大家能將列豎式計(jì)算與從計(jì)數(shù)單位的角度計(jì)算聯(lián)系起來嗎？先獨(dú)立思考，再在小組內(nèi)交流。

（教師組織全班交流）

生4：請(qǐng)看豎式（見圖2），3.8×10得到38，相當(dāng)于38個(gè)0.1，3.2×10得到32，相當(dāng)于32個(gè)0.1。38×32的積是1216，表示1216個(gè)0.01，即12.16。

師：妙！數(shù)學(xué)知識(shí)是有聯(lián)系的，數(shù)學(xué)是講道理的。將不同方法之間的“隔斷墻”打通，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的共通之處！請(qǐng)大家列豎式計(jì)算老師家的陽臺(tái)面積，完成的同學(xué)還可以從計(jì)數(shù)單位的角度用遞等式計(jì)算。

生計(jì)算并交流。

生5：我先算115×32=3680，從豎式可以看出1.15乘100等于115，3.2乘10等于32，相當(dāng)于把積乘1000，所以要將3680除以1000，也就是把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位，得到積是3.680，最后把小數(shù)部分末尾的0劃掉，所以積是3.68。

師：他運(yùn)用積的變化規(guī)律快速準(zhǔn)確地算出了3.2×1.15的積。也有同學(xué)從細(xì)分計(jì)數(shù)單位的角度求出了積。請(qǐng)看?。ㄍ队皩W(xué)生資源）

師：大家都很善于學(xué)習(xí)！既能運(yùn)用積的變化規(guī)律計(jì)算小數(shù)乘法，還能從計(jì)數(shù)單位的角度計(jì)算并理解其中的道理，了不起！我們一起回顧3.8×3.2和1.15×3.2兩個(gè)豎式，說說把它們看成整數(shù)乘法算出積后，怎樣準(zhǔn)確、快速地確定積的小數(shù)點(diǎn)位置？有什么訣竅？

生6：兩個(gè)乘數(shù)中一共有幾位小數(shù)，積就是幾位小數(shù)。

生7：積是幾位小數(shù)，就從整數(shù)乘法得出的積的末尾往左數(shù)出幾位，再點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，如果小數(shù)部分末尾有0，要把0劃去。

師：同學(xué)們真善于發(fā)現(xiàn)和歸納。你們能結(jié)合自己的發(fā)現(xiàn)，快速填寫下面的表格嗎？

乘數(shù) 1.5 0.15 15 0.15 0.015

乘數(shù) 4.8 48 0.48 4.8 4.8

積

師：請(qǐng)同學(xué)們先仔細(xì)觀察表中的數(shù)據(jù)，說說有什么發(fā)現(xiàn)。

生8：這些數(shù)據(jù)都與15和48有關(guān)，都是15個(gè)計(jì)數(shù)單位乘48個(gè)計(jì)數(shù)單位。

師：真善于觀察！同學(xué)們，只要計(jì)算一個(gè)乘法豎式的積，就能很快推算出這5個(gè)積。哪個(gè)乘法豎式這么重要？

生9：我認(rèn)為是15×48。因?yàn)?5×48=720，而第一列1.5×4.8的積是兩位小數(shù)，所以只要將720的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，得到7.2。剩下四列都依此類推，如0.15×4.8=0.72，0.015×4.8=0.072，等等。

【思考】學(xué)起于思，思深于聯(lián)。算理與算法是運(yùn)算能力的兩翼。新課標(biāo)增加了“感悟運(yùn)算的一致性，發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識(shí)”這一要求，讓學(xué)生感悟“多少個(gè)計(jì)數(shù)單位”的表達(dá)是算理和算法的基礎(chǔ)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)核心概念“計(jì)數(shù)單位的‘累加”的理解。教師先鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立嘗試列豎式計(jì)算3.8×3.2，促進(jìn)學(xué)生遷移學(xué)習(xí)，學(xué)生自覺調(diào)用前一課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，利用積的變化規(guī)律正確計(jì)算，發(fā)展推理意識(shí)。設(shè)計(jì)中增加一個(gè)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生從計(jì)數(shù)單位的角度計(jì)算，旨在落實(shí)新課標(biāo)提出的運(yùn)算一致性要求，同時(shí)將應(yīng)用積的變化規(guī)律計(jì)算和從計(jì)數(shù)單位的角度計(jì)算相互勾連，順暢銜接，幫助學(xué)生明晰算理，便于學(xué)生進(jìn)一步感悟計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算中的作用及運(yùn)算的一致性。此外，以畫圖、動(dòng)畫演示等方式幫助學(xué)生理解0.1×0.1得到新的計(jì)數(shù)單位0.01，直觀形象。整個(gè)學(xué)習(xí)過程有效地融通算理、算法，有助于學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)體系。