周期性是三角函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì).求解三角函數(shù)周期問題，通常需仔細(xì)研究函數(shù)的圖象或解析式.下面，筆者結(jié)合實(shí)例談一談求三角函數(shù)周期的幾種方法.

一、定義法

對(duì)于函數(shù)y=f（x），若存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域中的每個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）=f（x），則常數(shù)T是函數(shù)y=f（x）的周期，此時(shí)函數(shù)y=f（x）為周期函數(shù).運(yùn)用定義法求三角函數(shù)的周期，需通過恒等變換，建立f（x+T）與f（x）之間的關(guān)系.有時(shí)可先猜想出周期，再根據(jù)周期函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證.

例1.已知函數(shù)f（x）=|sin x|+|cos x|，求函數(shù)f（x）的周期.

解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=|sin x|+|cos x|，

則f（x+）=|sin（x+）| +|cos（x+）|

=|sin x|+|cos x|，

所以f（x+）=f（x），并且是定義域內(nèi)滿足條

件的最小非零常數(shù)，

所以函數(shù)f（x）=.

根據(jù)函數(shù)周期的定義解題，需要找到定義域內(nèi)最小的非零常數(shù)T，使得f（x+T）=f（x）成立.本題中，f（x+）=f（x），并且是定義域內(nèi)滿足條件的最小非零常數(shù)，所以就是函數(shù)f（x）=|sin x|+|cos x|的周期.

二、公式法

對(duì)于形如f（x）=Asin（wx+θ）+B或者f（x）=A cos（wx+θ）+B的三角函數(shù)，通常可以利用周期公式T=來求三角函數(shù)的周期.而對(duì)于形如f（x）=Atan（wx+θ）+B的三角函數(shù)，可以利用周期公式T=的周期.

例2.已知函數(shù)y=cos（x）cos（x-），求此函數(shù)的周期.

解：

解答本題，需先運(yùn)用誘導(dǎo)公式與正弦函數(shù)的二倍 角公式，將目標(biāo)函數(shù)式化為正弦函數(shù)式 1 2 sin πx ；再利 用公式 T = 2π |w| 來求函數(shù)的周期為 2 .

三、最小公倍數(shù)法

若 f1（x） 的周期為 ma ，f2（x） 的周期為 na ，a 為兩 個(gè)函數(shù)的公因數(shù)，則公因數(shù) a 與 m、n 的最小公倍數(shù) 的積就是 y = f1（x）+f2（x） 的周期.運(yùn)用最小公倍數(shù)法求 三角函數(shù)的周期，關(guān)鍵是要找到兩個(gè)三角函數(shù)周期的 最小公倍數(shù).

例3

解：

本題中，函數(shù) f （x）=4 cos x 4 + 5 sin x 5 是兩個(gè)函數(shù) y = 4 cos x 4 、y = 5 sin x 5 的和，且它們的最小正周期分別 為 T1 = 8π ，T2 = 10π ，便可利用最小公倍數(shù)法求 f （x）= 4 cos x 4 - 5 sin x 5 的最小正周期.

除了上述三種方法，求三角函數(shù)周期的方法還有 很多種.同學(xué)們?cè)谌粘５膶W(xué)習(xí)中要不斷總結(jié)，歸納解題 技巧，學(xué)會(huì)舉一反三，這樣才能掌握這一類題型的解 題方法，并能靈活應(yīng)對(duì)這一類題目.

（作者單位：江蘇省鹽城市龍岡中學(xué)）