羅尉

摘要：二次函數(shù)是初中函數(shù)教學(xué)主題中的重要內(nèi)容，需要以大單元視角進(jìn)行教學(xué)整體把握，才能更好地讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)教學(xué)主題內(nèi)容的整體性、邏輯的連貫性、方法的普適性、思想的一致性、思維的系統(tǒng)性，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成科學(xué)的思維習(xí)慣、發(fā)展核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：?jiǎn)卧虒W(xué)；函數(shù)主題；二次函數(shù)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》（下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）在教學(xué)建議中特別提出“教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定要體現(xiàn)整體性”，“改變過(guò)于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)”^［1］.基于此，筆者結(jié)合“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”教學(xué)實(shí)際談?wù)勔詥卧黝}教學(xué)來(lái)實(shí)現(xiàn)教學(xué)整體把握的實(shí)踐與思考.

1 教學(xué)分析

1.1 已具備的認(rèn)知水平和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

在一次函數(shù)圖象的研究過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)體會(huì)到“列表—描點(diǎn)—連線”是畫任一函數(shù)圖象的“通性通法”.在反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究中，學(xué)生根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)聯(lián)想函數(shù)圖象的形結(jié)構(gòu)^［1］，再借助通法畫出函數(shù)圖象，從“由數(shù)想形”到“由形定性”，體會(huì)數(shù)學(xué)中研究函數(shù)圖象的基本方法.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)研究圖象的平移，知道在y=k/x+b與y=kx+b中，常數(shù)b起到上下平移的作用；在y=k（x+h）與y=k/x＋h中，常數(shù)h起到左右平移的作用.這些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，可以輔助學(xué)生確定二次函數(shù)圖象的研究思路以及具體的研究方式和方法.

1.2 確定二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究思路

復(fù)雜的問(wèn)題要從最簡(jiǎn)單的入手，二次函數(shù)圖象的研究可以從y=ax²開(kāi)始，對(duì)于這類形式的二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可讓學(xué)生借助已有經(jīng)驗(yàn)自行研究.接著，大部分學(xué)生會(huì)自然地去研究y=ax²+k的圖象，畢竟已經(jīng)有了圖象上下平移的研究經(jīng)驗(yàn).但學(xué)生的思路如何能自然地生長(zhǎng)到研究y=a（x+h）²的圖象上呢？這個(gè)時(shí)候，學(xué)生很容易受一般式y(tǒng)=ax²+bx+c的影響，直接在此基礎(chǔ)上加上一次項(xiàng)，從而去研究函數(shù)y=ax²+bx或y=ax²+bx+c的圖象.這時(shí)，不要怕出錯(cuò)，更不要直接要求學(xué)生回到預(yù)設(shè)的研究思路上來(lái).不妨大膽地讓學(xué)生嘗試，在他們發(fā)現(xiàn)這樣研究比較“麻煩”或者與之前的研究相距甚遠(yuǎn)時(shí)，再引導(dǎo)學(xué)生借助經(jīng)驗(yàn)回頭看看，便能發(fā)現(xiàn)上下平移研究后，還可以通過(guò)左右平移變化來(lái)繼續(xù)研究形如y=a（x+h）²的二次函數(shù)的圖象，進(jìn)而研究形如y=a（x+h）²+k的二次函數(shù)的圖象，思路也就更加順利、自然.這樣學(xué)生會(huì)對(duì)函數(shù)圖象研究思路的理解更加深刻，以后也可用同樣的方法去研究更高次的函數(shù)圖象.

2 教學(xué)片段

2.1 環(huán)節(jié)一：提出問(wèn)題，討論研究方法

問(wèn)題1 上節(jié)課我們從實(shí)際問(wèn)題中抽象出了一類函數(shù)——二次函數(shù)，它豐富了函數(shù)家族，你能寫出一些具體的二次函數(shù)嗎？

追問(wèn)1：你能將這些二次函數(shù)進(jìn)行分類嗎？

追問(wèn)2：你能表達(dá)出每種形式的二次函數(shù)嗎？

追問(wèn)3：任意二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c都能寫成y=a（x+h）²+k的形式嗎？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自己歸納出二次函數(shù)常見(jiàn)的幾種形式，為后面圖象與性質(zhì)的研究做鋪墊.

問(wèn)題2 如果我們繼續(xù)研究，你認(rèn)為可以研究二次函數(shù)的哪些方面？你是怎么想到的？

追問(wèn)1：為什么我們要研究這些內(nèi)容？

追問(wèn)2：怎樣研究二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)？

問(wèn)題3 你打算從哪種形式的二次函數(shù)開(kāi)始研究？為什么？

2.2 環(huán)節(jié)二：合作學(xué)習(xí)，研究函數(shù)性質(zhì)

活動(dòng)一：將學(xué)生分成幾個(gè)學(xué)習(xí)小組，以小組為單位自主研究二次函數(shù)y＝ax²的圖象和性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生借助已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)自主探究，進(jìn)一步積累研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)和方法，掌握繪制二次函數(shù)圖象的技巧，體會(huì)從特殊到一般解決問(wèn)題的思維方式.

展示不同小組畫的函數(shù)圖象（如圖1），讓學(xué)生意識(shí)到a決定二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向和大小.再借助“幾何畫板”動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生直觀地體會(huì)a的變化與圖象變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2.3 環(huán)節(jié)三：共同討論，明確研究路線

問(wèn)題4 接下來(lái)，研究哪種形式的二次函數(shù)？

追問(wèn)1：為什么要這樣研究？

追問(wèn)2：我們以前有過(guò)類似的研究嗎？

追問(wèn)3：函數(shù)圖象左右（上下）平移反映到表達(dá)式上是如何變化的？你有什么猜想？

追問(wèn)4：如果這個(gè)猜想正確，那么下一步你打算研究圖象的什么平移？以前有這樣的研究經(jīng)驗(yàn)嗎？

追問(wèn)5：是否研究了所有的二次函數(shù)的圖象特征？

設(shè)計(jì)意圖：借助y＝ax²的圖象，通過(guò)平移，可得出其他形式的二次函數(shù)圖象，明晰研究二次函數(shù)圖象的路徑（如圖2）.讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般解決問(wèn)題的思想方法，結(jié)構(gòu)化分解問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)思維的力量，體會(huì)探究解決問(wèn)題策略的魅力，理解研究問(wèn)題先思后做的重要性^［2］.

活動(dòng)二：借助研究y=ax²圖象的經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)討論的研究路線，自主研究函數(shù)y=ax²+k，y=a（x+h）²以及y=a（x+h）²+k的圖象與性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生運(yùn)用平移法畫出函數(shù)圖象，說(shuō)出函數(shù)的大致性質(zhì)，教師通過(guò)“幾何畫板”進(jìn)行驗(yàn)證.在此過(guò)程中，可以借助“幾何畫板”的動(dòng)畫演示，幫助學(xué)生理解常量h，k對(duì)函數(shù)圖象位置的影響，明確形如y=a（x+h）²+k的二次函數(shù)中常量a，h，k的作用.

問(wèn)題5 你打算如何畫y=ax²+bx+c的圖象？

設(shè)計(jì)意圖：倒逼學(xué)生將一般式y(tǒng)=ax²+bx+c通過(guò)配方法轉(zhuǎn)化成y=a（x+h）²+k的形式，借助剛才的研究方法得出其函數(shù)圖象，讓學(xué)生感受結(jié)構(gòu)化解決問(wèn)題的便捷性.當(dāng)然，還可以采用“列表—描點(diǎn)—連線”這樣的通法畫函數(shù)圖象.

若在第一個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生歸納了二次函數(shù)y=a（x+m）（x+n）的形式，這時(shí)候可以引導(dǎo)學(xué)生先觀察函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，借助一元二次方程中因式分解法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，容易想到點(diǎn)（-m，0）和（-n，0）對(duì)應(yīng)著函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，再借助常量a就可以簡(jiǎn)單地畫出該二次函數(shù)的圖象.當(dāng)然，這里處理的程度取決于學(xué)生的研究能力.

3 教學(xué)反思

3.1 積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)知識(shí)體系

教材中函數(shù)主題的內(nèi)容被安排在不同的學(xué)期，希望通過(guò)螺旋上升的方式幫助學(xué)生逐步理解函數(shù).因此，在函數(shù)的教學(xué)中更需要教師以主題單元等形式進(jìn)行整體把握，逐步推進(jìn).通過(guò)整體把握教學(xué)內(nèi)容，教師了解本章知識(shí)的產(chǎn)生與來(lái)源和發(fā)展的結(jié)構(gòu)及其相互之間的關(guān)聯(lián)，以及它們具有的價(jià)值和意義，建立對(duì)所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)理解，幫助學(xué)生結(jié)合已有的認(rèn)知，建構(gòu)條理分明、互相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.

在積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中，體會(huì)和感悟不同數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容背后具有一致性、可遷移性的數(shù)學(xué)思想與解決問(wèn)題的方法，學(xué)會(huì)研究一類問(wèn)題的方法^［2］.在遇到新問(wèn)題時(shí)，能借助已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)構(gòu)化地分析問(wèn)題，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.

3.2 滲透數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點(diǎn).教學(xué)的整體把握，因其具有整體性的目標(biāo)設(shè)計(jì)與規(guī)劃，所以更有利于學(xué)生逐漸形成科學(xué)的思維習(xí)慣、發(fā)展核心素養(yǎng).函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容尤其是其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生需要在較長(zhǎng)的過(guò)程中逐步認(rèn)識(shí)與理解.在此過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)并幫助學(xué)生提煉出能打通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)、發(fā)揮核心作用的數(shù)學(xué)思想方法.

教師在教學(xué)中只有關(guān)注到教學(xué)內(nèi)容及其相關(guān)內(nèi)容的整體性、邏輯的連貫性、方法的普適性、思想的一致性、思維的系統(tǒng)性^［2］，才能引領(lǐng)學(xué)生親歷研究學(xué)習(xí)內(nèi)容的一般過(guò)程，并在此過(guò)程中建構(gòu)起有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體會(huì)不同研究對(duì)象之間研究方法的一致性和可遷移性.這樣方可幫助學(xué)生逐步理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)，學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，用所學(xué)的知識(shí)和方法解決問(wèn)題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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