孫衣云 蔡水華

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，小學(xué)階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)側(cè)重對(duì)經(jīng)驗(yàn)的感悟，主要表現(xiàn)為首次增加了“量感”。量感是指對(duì)長(zhǎng)度、面積、體積、時(shí)間、質(zhì)量等可測(cè)量屬性的感性認(rèn)知，建立量感有助于養(yǎng)成用定量的方法認(rèn)識(shí)和解決問題的習(xí)慣，是形成抽象能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。因此，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的量感是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一。“面積”的學(xué)習(xí)是學(xué)生空間意識(shí)從一維到二維的一次進(jìn)階，也是空間觀念發(fā)展的一次飛躍，亦是度量能力和量感發(fā)展的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。因此，在教學(xué)中，教師要針對(duì)問題和困境，改進(jìn)教學(xué)策略（如圖1），改變零散的教學(xué)，從單元整體出發(fā)，精準(zhǔn)把握學(xué)生面積量感發(fā)展水平，基于對(duì)度量本質(zhì)的理解開展教學(xué)，加強(qiáng)體驗(yàn)感悟和應(yīng)用拓展，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷度量的思維過程，感悟度量思想，促進(jìn)學(xué)生面積量感發(fā)展。

一、優(yōu)化整體結(jié)構(gòu)，明晰量感培養(yǎng)方法

學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)具有整體性特征，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)著眼于單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)，從內(nèi)容序列、課時(shí)安排和活動(dòng)設(shè)計(jì)等方面整體推進(jìn)，幫助學(xué)生經(jīng)歷量感的產(chǎn)生、比較、累積和應(yīng)用的過程，在經(jīng)驗(yàn)積累、深入感悟的過程中促進(jìn)量感的發(fā)展。

1.把握教材體系，瞄準(zhǔn)量感培養(yǎng)的位次

為明確“面積”單元內(nèi)容在學(xué)生量感培養(yǎng)和發(fā)展過程中的定位，筆者對(duì)北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材有關(guān)面積的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了梳理，并結(jié)合學(xué)生的量感進(jìn)階過程和所屬經(jīng)驗(yàn)層次進(jìn)行歸納分析（如表1）。從“面積”單元的內(nèi)容編排和前后知識(shí)脈絡(luò)中可以看出，“面積”上承“長(zhǎng)度”，下啟“體積”，其有效建構(gòu)對(duì)今后的三維空間圖形的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。教材中各板塊內(nèi)容呈現(xiàn)線性發(fā)展的結(jié)構(gòu)，但面積量感的形成是呈螺旋式上升的。因此，教師需要在序列整體建構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)層次進(jìn)階的視角下對(duì)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整優(yōu)化，找準(zhǔn)目標(biāo)定位，使其更切合學(xué)生思維、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)階和面積量感的發(fā)展，更利于單元知識(shí)體系的優(yōu)化建構(gòu)。

2.立足課時(shí)序列，確定量感培養(yǎng)過程

為構(gòu)建結(jié)構(gòu)化教學(xué)體系，突出關(guān)鍵內(nèi)容，提升教學(xué)實(shí)效，促進(jìn)量感發(fā)展進(jìn)階，教師需對(duì)“面積”單元的學(xué)習(xí)序列進(jìn)行整合拓展（如圖2），使單元知識(shí)的學(xué)習(xí)更具寬度和深度。如“認(rèn)識(shí)面識(shí)”和“面積單位”2課時(shí)可以整合為1課時(shí)，因?yàn)椤罢J(rèn)識(shí)面積”的核心要素是單位及單位個(gè)數(shù)，對(duì)面積意義的理解一方面取決于對(duì)面積概念的理解，另一方面取決于對(duì)面積單位的理解，從而理解面積度量是面積單位累加的結(jié)果。因此，“面積”單元的學(xué)習(xí)要聚集在“單位”這一主線上，用“單位”度量面積大小，凸顯度量本質(zhì)。

二、強(qiáng)化經(jīng)驗(yàn)感悟，拓寬量感發(fā)展路徑

度量的核心內(nèi)涵主要包括：“度”即公度，需統(tǒng)一度量單位；“量”即測(cè)量，用公認(rèn)的單位測(cè)量；面積單位標(biāo)準(zhǔn)不一，對(duì)學(xué)生而言比較抽象。教師要整理度量工具，統(tǒng)一單位標(biāo)準(zhǔn)，通過多種測(cè)量活動(dòng)，形成表象；通過實(shí)踐感悟，內(nèi)化表象，培養(yǎng)量感。

1.以物為尺，豐富度量工具

面積單位的計(jì)數(shù)是度量活動(dòng)的核心，也是幫助學(xué)生充分把握面積概念的有效途徑，它貫穿量與計(jì)量領(lǐng)域教學(xué)的始終。比如，在測(cè)量長(zhǎng)方形面的大小前，教師可以先讓學(xué)生動(dòng)手摸一摸整個(gè)面，再提問：測(cè)量長(zhǎng)度時(shí)，你們用什么工具？（尺子、“手拃”、田字格……）能不能還用這些材料測(cè)量面的大小呢？接著，教師提供度量素材（如圖3）和自備工具，出示活動(dòng)要求：選一選、量一量、說一說。

學(xué)生對(duì)摸面的大小的感悟不深，且未能直接區(qū)分面積和周長(zhǎng)。因此，教師要提供多種度量素材，讓學(xué)生在選一選、量一量、說一說中深化感知，體悟周長(zhǎng)、面積的本質(zhì)內(nèi)涵和度量方法的不同。在度量活動(dòng)中，選擇合適的工具作為度量素材，能有效幫助學(xué)生不斷地積累和豐富度量與估測(cè)經(jīng)驗(yàn)，建立單位量感。

2.量源于量（liánɡ），感悟度量標(biāo)準(zhǔn)

在測(cè)量面積的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，積累度量經(jīng)驗(yàn)，建立單位量感，掌握度量方法，優(yōu)化度量策略。對(duì)于面積的描述，學(xué)生或許在教材或生活中早已熟知，但卻浮于表面，并未真正理解概念本質(zhì)。在“量面積”活動(dòng)中，學(xué)生用小正方形、圓片和三角形等素材去“量”整個(gè)面的大小，教師追問：用哪種素材量得更準(zhǔn)確？引出小正方形可以密鋪，而小圓片和三角形都存在縫隙。在教師引導(dǎo)學(xué)生“鋪滿”的過程中，學(xué)生進(jìn)一步直觀體驗(yàn)面的測(cè)量方法，為后續(xù)面積單位的統(tǒng)一埋下伏筆。當(dāng)學(xué)生一致選擇小正方形作為“工具”來測(cè)量面的大小時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)不同的小正方形來量同一個(gè)長(zhǎng)方形，結(jié)果卻不同，教師順勢(shì)啟發(fā)學(xué)生明確：正方形格子越小，需要正方形的數(shù)量就越多。在活動(dòng)中，讓學(xué)生能真實(shí)感受數(shù)與量的存在，體會(huì)面積概念和度量單位統(tǒng)一的必要性，掌握度量方法，積累度量經(jīng)驗(yàn)。

3.夯實(shí)量感，挖掘度量本質(zhì)

學(xué)生對(duì)利用度量素材進(jìn)行面積大小的測(cè)量已有自主認(rèn)識(shí)和操作感知經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)經(jīng)驗(yàn)對(duì)面積的理解和感悟至關(guān)重要。教學(xué)時(shí)，教師要激活學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，通過比較活動(dòng)和經(jīng)驗(yàn)感知，幫助學(xué)生建立記憶表象，逐步實(shí)現(xiàn)對(duì)度量本質(zhì)的理解和把握。

在“面積的大小比較”活動(dòng)中，學(xué)生通過比較物體的“面”，直觀感受面積有“大”有“小”，并初步滲透用“數(shù)”來刻畫面積的概念。接著，在比較面積較為接近的兩個(gè)圖形時(shí)，通過剪拼重疊、擺小正方形等“以面量面”的方法，初步感受大面積是由小面積累積而成的，深化了用“數(shù)”來刻畫面積大小的必要性。教師組織學(xué)生對(duì)多種不同的測(cè)量方法進(jìn)行比較，在合作交流活動(dòng)中，對(duì)多種度量方法逐步優(yōu)化（如圖4），幫助學(xué)生用乘法“算”出小正方形的個(gè)數(shù)，進(jìn)而深化面積概念：面積的大小是面積單位的累積、長(zhǎng)度單位個(gè)數(shù)的乘積。學(xué)生從乘積的角度感受“積”，為得出長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式，實(shí)現(xiàn)從“計(jì)數(shù)”到“計(jì)算”的進(jìn)階打下基礎(chǔ)。而后，教師可以留下問題讓學(xué)生課后拓展：籃球、排球有面積嗎？你會(huì)測(cè)量它們的表面面積嗎？整節(jié)課的設(shè)計(jì)深入挖掘度量面積的本質(zhì)內(nèi)涵，使量與計(jì)量的教學(xué)達(dá)到互通共進(jìn)的效果，讓學(xué)生充分感悟度量本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生度量意識(shí)的發(fā)展。

三、深化應(yīng)用拓展，提升量感進(jìn)階實(shí)效

學(xué)生量感的發(fā)展，可以表現(xiàn)為從感知“直覺”到思維“自覺”的過程，其培養(yǎng)離不開學(xué)生親歷體驗(yàn)，也需在“體驗(yàn)應(yīng)用—反思感悟—探究提升”中實(shí)現(xiàn)進(jìn)階，在應(yīng)用拓展中，促成量感進(jìn)階發(fā)展，提升應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力。

1.比較溝通，辨析聯(lián)系

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)、持續(xù)發(fā)展的過程。在學(xué)習(xí)“面積”之前，學(xué)生已有“長(zhǎng)度”的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，這對(duì)“面積”的深度理解和把握至關(guān)重要。周長(zhǎng)和面積經(jīng)常出現(xiàn)在同一個(gè)圖形之中，為避免產(chǎn)生混淆，在教學(xué)時(shí)，教師要通過對(duì)比明晰周長(zhǎng)和面積的區(qū)別和聯(lián)系，建立深刻的記憶表象，幫助學(xué)生加深對(duì)概念本質(zhì)的理解。

在“認(rèn)識(shí)面積”一課中，學(xué)生對(duì)面積概念有了進(jìn)一步感知后，教師繼續(xù)追問：之前我們利用一些工具和素材測(cè)量了邊的長(zhǎng)度，會(huì)計(jì)算一些圖形的周長(zhǎng)，剛才又量了一些面的大小，它們有什么不同嗎？學(xué)生在討論中發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)和面積都要量長(zhǎng)度（長(zhǎng)和寬），但其本質(zhì)是不一樣的（如圖5）：周長(zhǎng)測(cè)量的是邊的長(zhǎng)度，而面積測(cè)量的是面的大小，也就是說長(zhǎng)度是以線來量線的長(zhǎng)短，面積是用面來量面的大小。從度量的角度來看，長(zhǎng)度和面積又有密切的聯(lián)系：長(zhǎng)度和面積的度量結(jié)果都是通過單位累積得到的，度量的方法和本質(zhì)是相似的，分別反映了事物的不同屬性特征。通過深入通透的對(duì)比辨析，學(xué)生能系統(tǒng)、全面地感知長(zhǎng)度和面積的異同，明晰不同“量”的歸屬，從而真正把握不同“量”的本質(zhì)屬性，增強(qiáng)對(duì)“量”的感知，促進(jìn)量感的自主發(fā)展。

2.歸整轉(zhuǎn)化，滲透思想

皮亞杰認(rèn)為，守恒是獲得數(shù)和量的概念的重要條件。因此，在面積學(xué)習(xí)的起始階段教師要注重滲透面積守恒的觀念，幫助學(xué)生發(fā)展量感和生成空間觀念。在教學(xué)“認(rèn)識(shí)面積”時(shí)，教師可以安排“設(shè)計(jì)多個(gè)不同形狀的面積是8個(gè)小方格的圖形”的學(xué)習(xí)任務(wù)。學(xué)生呈現(xiàn)的作品很豐富（如圖6），一些學(xué)生創(chuàng)造了一些“不太一樣”的圖形。圖6-①是規(guī)整的長(zhǎng)方形，圖6-②部分形狀有位移，面積單位仍完整。圖6-③對(duì)面積單位進(jìn)行了切分，以“半格”為單位進(jìn)行拼湊，這就是歸整轉(zhuǎn)化。

在活動(dòng)中學(xué)生感悟到：圖形的運(yùn)動(dòng)或排列方式的變化不會(huì)造成面積的改變，并且面積還可以“加減”，從而滲透面積守恒觀念。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中適當(dāng)進(jìn)行拓展延伸，如嘗試估測(cè)手掌面的面積，學(xué)生會(huì)通過畫、量、估、數(shù)等活動(dòng)把不規(guī)則的“手掌”歸整轉(zhuǎn)化進(jìn)行估測(cè)。通過多種形式的類比活動(dòng)，學(xué)生能逐步積累經(jīng)驗(yàn)，自主提升度量能力，并在實(shí)踐應(yīng)用中發(fā)展估測(cè)意識(shí)，在自主理解中深度運(yùn)用知識(shí)，并在實(shí)際運(yùn)用中促進(jìn)量感有效發(fā)展。

3.思維參與，協(xié)同進(jìn)階

學(xué)生量感的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要一個(gè)溝通聯(lián)系、協(xié)同發(fā)展的過程。在此過程中，學(xué)生思維的參與度也是決定量感發(fā)展的重要因素。在學(xué)習(xí)了“面積”單元知識(shí)后，學(xué)生遇到“填上合適的單位：一個(gè)游泳池的面積是1050（ ）”這類題時(shí)，會(huì)出現(xiàn)較多錯(cuò)誤。從中可以看出，雖然學(xué)生已經(jīng)很清楚長(zhǎng)方形面積的意義和計(jì)算方法，但對(duì)面積數(shù)值的實(shí)際大小和面積單位的自主表象不夠清楚，面積量感仍需強(qiáng)化。因此，在教學(xué)“面積單位的換算”時(shí)，教師可以安排實(shí)踐探究活動(dòng)學(xué)習(xí)單（如圖7），通過擺、畫、算、說、議等活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)踐操作—直觀表象—分析推理”的過程，并獲得一些明確的、有意義的方法，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從直觀到抽象的遞進(jìn)，積累探究面積單位間進(jìn)率關(guān)系的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，深化面積單位和長(zhǎng)度單位間換算關(guān)系，發(fā)展了推理能力。

在對(duì)“面積”單元教學(xué)內(nèi)容的重構(gòu)、整合和拓展過程中，學(xué)生豐富了測(cè)量體驗(yàn)，優(yōu)化了度量策略，感悟了度量本質(zhì)，有效促進(jìn)學(xué)生量感的逐步形成和進(jìn)階發(fā)展。

（作者單位：浙江省常山縣教育局教研室）