譚康

【摘? 要】? 本文旨在揭示相似三角形、三角函數(shù)和解三角形之間的緊密關(guān)系.在解決與角、邊長有關(guān)的問題時，我們可以通過找出兩個或多個三角形的相似關(guān)系，三角函數(shù)的邊角關(guān)系，將問題簡化，從而求解未知數(shù).通過對具體題目實例的分析，展示了如何運用這些基本定義和性質(zhì)來解決實際問題，為學(xué)生提供有效的解題思路和技巧.

【關(guān)鍵詞】? 相似三角形；三角函數(shù)；邊角關(guān)系

1? 引言

相似三角形和三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是各類考試中常見的考點.通過對近兩年來相似三角形和三角函數(shù)綜合應(yīng)用題的考查情況的研究，可以看出這類題目在各類考試中的重要性和難度逐漸增加.這類題目通常涉及幾何圖形的變換、比例關(guān)系以及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識點的綜合運用.因此，對于學(xué)生來說，掌握好相似三角形和三角函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，并能夠靈活運用于解決實際問題，對于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)對考試具有重要意義.

2? 利用三角函數(shù)與相似性解決三角形問題

例1? 在中，，若的三邊都擴大倍，則的值（）.

（A）放大倍 （B）縮小倍 （C）不變 （D）無法確定

解析? 在中，的三邊都擴大倍，變化后的三角形與原三角形相似.因為相似三角形的對應(yīng)角相等，所以的大小沒有發(fā)生變化，所以的值不變．故選：C．

例2? 如圖1，是平行四邊形的對角線，，，點是的中點，點、分別是線段、上的動點，若，且是等腰三角形，則的長為（? ? ）

圖1

（A）或? （B）或 （C）或 （D）或

解析? 為平行四邊形，，是的中點，.

，是直角三角形，，所以，故，.

當時，如圖2，過點作于點.

圖2? ? ? ? ? ? ? 圖3

則．因為，所以，，，，又因為，所以，；

當時，如圖3.

則，；

當時，點與點重合，不存在．

綜上所述，的長為或．故選：A．

例3? 在四邊形中，，，，，，于點．在中，，，．將按如圖放置，頂點在上，且，然后將沿平移，如圖，至點與點重合，再改變的位置，如圖6，將頂點沿移動至點，并使點始終在上．

圖4? ? ? ?圖5? ? ? ?圖6

（1）①當點在上運動時，如圖4，連接，當時，求的長；

②如圖5，設(shè)與的交點為，當頂點落在上時，求的長；

（2）如圖6，點在上運動時，交于點，設(shè)，請用表示的長，并求出長度的最小值．

解析? （1）①因為，，，所以，，.

因為，所以.

又因為，即，所以；

②當點落在上時，因為，，所以.

因為，所以，所以，.

因為，所以四邊形為矩形，，

.

因為，，所以，.

（2）因為，，所以.

又因為，所以，，.

如圖7，作于.

圖7

因為，，所以，，，所以.

，，.

當時，的值最小，最小值為：．

3? 結(jié)語

相似三角形為三角函數(shù)提供了理論基礎(chǔ).通過研究相似三角形，我們可以更好地理解和掌握三角函數(shù)的性質(zhì).同時，三角函數(shù)也在解決相似三角形問題中發(fā)揮了重要作用，可以方便地求解相似三角形中的未知邊長或角度.為了有效地解決這類題目，學(xué)生需要具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，包括相似三角形和三角函數(shù)的定義、性質(zhì)和運算法則等.同時，學(xué)生還需要培養(yǎng)靈活運用知識的能力，能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識與實際問題相結(jié)合，進行圖形理解和計算.通過研究利用三角函數(shù)與相似性解決三角形問題的方法，可以為學(xué)生提供一些解題思路和技巧，幫助他們更好地應(yīng)對考試挑戰(zhàn).

參考文獻：

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[3]羅培洲.高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)的解題技巧——以三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)為例[J].數(shù)理化解題研究，2023（30）：50-52.