向定云
【摘 要】 數(shù)學作為一門有著極強實用性且比較抽象的特殊科目,對學生的邏輯思維能力有著較高要求,在初中數(shù)學解題訓練中,大部分學生都沒有完善的思維體系,解題時思路容易變得混亂,以至于錯誤頻出,究其原因在于數(shù)學解題能力有待提高.初中數(shù)學教師可教授給學生類比法的使用技巧,提高他們的數(shù)學解題能力.本文據(jù)此展開深入分析與研究,并羅列出部分解題實例.
【關鍵詞】 類比法;初中數(shù)學;解題教學
類比法作為依據(jù)兩類對象具有的某些類似特征同其中一類對象的已知特征,推導出另外一類對象同樣具有此類特征的一種方法.在初中數(shù)學解題訓練中,一些學生往往會經(jīng)歷推測和聯(lián)想,這便是對類比思想的應用,從特殊到一般的體現(xiàn),當遇到部分難度較大的題目時,教師可指導他們采用類比法,結合兩個對象間的相似屬性推測出存在的聯(lián)系,使其通過類比解決數(shù)學試題,在這種新途徑、新方法支持下提高學生的解題能力,增強他們的自信心.
1 巧妙借助結構化類比,探究數(shù)學解題本質
在之前的初中數(shù)學解題教學中,不少教師都比較喜歡著重講解理論知識的方式,多次強調數(shù)學試題中涉及的公式、定理等,知識點之間的內部關聯(lián)性通常遭到忽視,沒有帶領學生通過類比的方式展開訓練,影響他們解題能力的提高.要想解決這一不利問題,教師可巧妙借助結構化類比的教學方式,引領學生結合數(shù)學題目的結構特征,將原題引申、轉化成比較熟悉的題目,展開比較,幫助他們掌握題型結構,探究數(shù)學解題本質[1].
例1 如圖1所示,已知AB=3,BC=7,AC=5,那么A的度數(shù)是多大?
解題思路 當題干中直接給出一個三角形的三邊具體長度時,能夠基于正弦、余弦定理視角進行解決,但是初中學生剛剛學習過勾股定理相關知識,這一方法難度稍大,不少學生都不知所措.這時教師可提示學生巧妙借助結構化類比方法,使其結合有關直角三角形的知識把NA和直角相聯(lián)系,他們將會對BA進行延長,再過點C作延長線的垂線段,把垂足設為點D,AD=z,如圖2所示.接著,學生結合已學知識和輔助線得到CD= 25-z2,根據(jù)勾股定理能夠得到(3+z)2 + ( 25-z2)2=49,求得z= 55,然后根據(jù)直角三角形的性質及AD=:AC,能夠求出NBAC=120°之后,教師要求學生在三角形內部構造出一個新的直角三角形,讓他們分析、對比這兩種解題方法的相同點與不同點,提高數(shù)學解題能力.
設計說明 在這一試題中,學生因為沒有正式學習過正弦、余弦定理知識,教師指導他們靈活使用結構化類比的方法,把求解難度較大的常規(guī)三角形類比特殊的直角三角形,讓他們利用直角三角形相關知識解答試題.
2 巧妙借助模式化類比,確定數(shù)學解題途徑
針對初中數(shù)學解題教學來說,相對于結構化類比而言,模式化類比即為根據(jù)試題展現(xiàn)出的表象特征,找到可以展開類比且性質相同的試題,關聯(lián)表現(xiàn)主要體現(xiàn)在解題方法與策略方面,有著一定的類似性,這是進行類比切入的關鍵之處.具體來說,教師在平常的解題訓練中,應當引導學生在解題過程中自主歸納與積極概括,探尋最佳解題途徑,巧妙借助模式化類別感知到數(shù)學知識內部之間的關聯(lián)性,從而有效提高他們的數(shù)學解題能力[2].
例2 已知存在實數(shù)a ",c滿足aWbWc,且ab +bc + ca = 0,abc =1 ,使得不等式 |a+b| )k|c|恒成立的最大實數(shù)k是什么?
解題思路 通過對題目內容的閱讀發(fā)現(xiàn)有兩個方程和三個變量,學生進行解題時極易受到這些已知信息的干擾,教師應引領他們基于固有信息切入,獲得一個與之等價的條件,由于a6c =1,則實數(shù)a,b,c均不為0,這三個實數(shù)不存在負數(shù),或者存在2個負數(shù),又結合abc=1可以得到ab= 1 >0,將其
c
代入ab +bc +ca=0就能夠得到a +b = - \ < 0 ,c2
所以有a &b < 0,接下來,教師應指導學生根據(jù)基本不等式的性質巧妙借助類比法,根據(jù)“一元二次方程根和系數(shù)之間的關系”構造出以ab兩個實數(shù)為根的一元二次方程,建立出相應的不等式,類比推理后發(fā)現(xiàn)a,b兩個實數(shù)為一元二次方程z2 + \x+ 1
c2 c
=0的兩個根,所以1 a + b |= 12 24c = 4 | c 1 ,此c2
時不等式滿足題設條件,求得最大實數(shù)k為4.
設計說明 本道試題難度相對較大,學生需結合問題表象找到能夠進行類比且性質相同的問題,即為不等式的關系,同一元二次方程展開類別建立不等關系,有助于他們快速求出本題結果,使其找到最佳解題路徑.
3 巧妙借助特殊化類比,找到數(shù)學解題靈感
特殊化類比即為把原命題中比較復雜的元素作精簡化處理,采用多維化的訴求方式把復雜問題類比成簡單問題,這是一種化繁為簡、由難到易的解題方法,能夠省掉一些計算步驟,減少學生出現(xiàn)錯誤的概率,鍛煉與提高他們的解題能力.對此,在初中數(shù)學解題教學中,當遇到一些比較復雜的試題時,教師可以指引學生巧妙借助特殊化類比法,由此將復雜化的問題內容進行簡單化處理,使其從中快速找到解題的靈感,幫助他們形成簡潔的解題思路[3].
例3 在直角三角形ABC中,已知ZACB=90°,AC=8,BC=4,現(xiàn)在分別以AC與BC為直徑畫兩個半圓,如圖3所示,求陰影部分面積的大小.
解題思路 面對此類圖形比較復雜的題目,學生很難快速找到解題的切入點,從而陷入到思維障礙之中,這時教師可引領他們深層次梳理解題思路,巧妙借助特殊化類比的方法對圖中的陰影之處進行觀察,且把它們類比成兩個半圓的面積,把圖中各個部分的面積分別設為S「S2,S3,S4,S5,如圖4所示,這樣能夠得到兩個半圓的面積之和是Si+S:, +S4 +S2+S3 +S4,直角三角形ABC的面積是S3 +S4 +S$,陰影部分的面積是S1 +S2 +S4,則圖中陰影部分的面積是兩個半圓的面積減去三角形的面積,將相關數(shù)據(jù)代入到相應的公式之中,最終經(jīng)過計算得出圖中陰影部分的面積是1(反一16.
設計說明 這類試題不僅可以助推學生更好地鞏固計算扇形面積的方法,還能夠讓他們回顧有關三角形面積的知識,教師指導學生巧妙借助特殊化類比的方法,將原題中復雜的內容變得簡單化,借此改善他們的思維品質,使其通過不間斷的解題訓練逐漸養(yǎng)成善于思考的優(yōu)良習慣.
4 結語
總而言之,在初中數(shù)學解題訓練活動中巧妙借助類比法,能夠驅使學生積極展開類比推理,激起知識遷移意識,這對增進他們知識理解程度、提升數(shù)學綜合運用能力意義重大,教師需明確類比法在解題中的優(yōu)勢,引領學生通過專項解題訓練慢慢形成類比習慣,使其善于尋求知識點之間的內在聯(lián)系,全力提高他們的數(shù)學解題能力.
參考文獻:
[1]楊梅.類比法在初中數(shù)學解題教學中的應用技巧[J].數(shù)學學習與研究,2023(07):143-145.
[2]高鈺良.淺談初中數(shù)學教學中類比法對解題思維的促進作用 [J].讀寫算,2021 (03):57 - 58.
[3]陳兆緒.類比中獲新知 應用中顯能力———從初中數(shù)學類比法解題談起[J].數(shù)學教學通訊,2020(08):68 - 70.