柯麗娟 石紀(jì)芬

［摘? 要］ 以“配方法解一元二次方程”為例，在教學(xué)中設(shè)計(jì)有效問題串，由淺入深、循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深度思考，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立獲取知識(shí)的能力，形成前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生認(rèn)清“配方法解一元二次方程”的本質(zhì)，構(gòu)建以生為本的生態(tài)課堂，讓課堂學(xué)習(xí)更高效、更有創(chuàng)造力.

［關(guān)鍵詞］ 生態(tài)課堂；數(shù)學(xué)本質(zhì)；配方法；一元二次方程

近年來，教育工作者越來越重視學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，而設(shè)計(jì)有效問題串驅(qū)動(dòng)課堂，構(gòu)建生態(tài)課堂是培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力的有效途徑. 生態(tài)課堂是“生本”課堂，以生為本，尊重學(xué)生，突出學(xué)生的個(gè)性，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在課堂活動(dòng)中積極主動(dòng)思考［1］. 生態(tài)課堂上，教師根據(jù)學(xué)情設(shè)計(jì)合理而自然的問題激發(fā)學(xué)生思考，尊重學(xué)生的主體地位，使其真正獲得成長(zhǎng). 同時(shí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)凸顯學(xué)生的主體地位，關(guān)注學(xué)生個(gè)性化、多樣化的學(xué)習(xí)和發(fā)展需求［2］. 數(shù)學(xué)教學(xué)要善于將數(shù)學(xué)的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的“教育形態(tài)”，其內(nèi)涵就是教師不應(yīng)將教材上的內(nèi)容當(dāng)作金科玉律，把教參中的提示當(dāng)作顛撲不破的真理，把預(yù)先設(shè)計(jì)好的教案當(dāng)作亦步亦趨的向?qū)鬟f給學(xué)生，而應(yīng)將教學(xué)過程看成是師生雙方積極主動(dòng)，動(dòng)態(tài)生成，共同生長(zhǎng)的過程，這一過程是教師和學(xué)生對(duì)客觀事物的意義進(jìn)行合作建構(gòu)的過程，是一個(gè)類似于生命成長(zhǎng)的過程［3］. 本文以北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)第二章“一元二次方程解法——配方法”這一課為例，在認(rèn)真研讀教材和分析學(xué)情的基礎(chǔ)上，就如何構(gòu)建生態(tài)課堂、探尋配方法解一元二次方程的數(shù)學(xué)本質(zhì)，談?wù)勛约旱目捶?

備課思考

在用配方法解一元二次方程的過程中，當(dāng)學(xué)生遇到二次項(xiàng)系數(shù)不為1的情況時(shí)，屢屢出錯(cuò)，總是忘記要先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再配一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方. 究其錯(cuò)誤根源，是我們?cè)诮虒W(xué)過程中過度注重了方法的總結(jié)，刻意引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)得出所配常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，按部就班地從直接開平方法進(jìn)行引導(dǎo)，把學(xué)生的認(rèn)知定位在開平方，沒有把握好配方的實(shí)質(zhì). 那么，配方的本質(zhì)是什么？配方法解方程的本質(zhì)是什么？最終落腳點(diǎn)在哪里？教師應(yīng)該將“配方法解一元二次方程”這節(jié)課最終的落腳點(diǎn)定位在完全平方式，將一元二次方程轉(zhuǎn)化成（x－m）2-n=0或者（x－m）2=n的形式，然后利用開平方或者平方差公式將方程進(jìn)行降次，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解. 基于以上思考，為了有效拓展學(xué)生思維的深度和廣度，筆者對(duì)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)過程做如下設(shè)計(jì).

教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)：（1）通過配方活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷探索用配方法解一元二次方程的過程，體會(huì)配方法解一元二次方程的實(shí)質(zhì)；

（2）通過有效追問，讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考、交流表達(dá)的過程，提高數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)表達(dá)能力，會(huì)根據(jù)題目選擇配方法，靈活運(yùn)用配方法解一元二次方程.

教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用配方法解一元二次方程.

教學(xué)難點(diǎn)：配方的過程，確定所配的項(xiàng).

1. 關(guān)注學(xué)生認(rèn)知，引出課堂主題

活動(dòng)1? ?解下列方程（上節(jié)課學(xué)習(xí)了因式分解法解一元二次方程）.

（1）（x－1）2－9=0

（2）x2－2x+1－9=0

（3）x2－2x－8=0

（4）x2－2x－7=0

追問1：方程4除了左右兩邊同時(shí)減去1轉(zhuǎn)化為方程3的形式，最后轉(zhuǎn)化為方程1的形式，能否通過加減別的數(shù)，直接轉(zhuǎn)化為（x－m）2-n=0或者（x－m）2=n的形式？？搖

預(yù)設(shè)生成：還可以將方程左右兩邊都加上1，得到方程x2－2x+1－7=1，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為（x－1）2=8；也可以將方程左右兩邊都加上8，得到x2－2x+1=8，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為（x－1）2=8.

總結(jié)：像上面通過添項(xiàng)（或拆項(xiàng)）配完全平方式的過程，簡(jiǎn)稱“配方”. 最終將方程轉(zhuǎn)化為（x－m）2-n=0或者（x－m）2=n的形式，進(jìn)而求解方程，這種解一元二次方程的方法叫作配方法.

追問2：如何確定配方的項(xiàng)？配方的項(xiàng)與已知的哪些項(xiàng)有關(guān)？

預(yù)設(shè)生成：因?yàn)樽罱K要寫成a2±2ab+b2的形式，所以先確定a，然后將一次項(xiàng)拆開寫成2ab的形式，再確定b. b2即為所配的數(shù)字.

設(shè)計(jì)意圖? 方程1可用因式分解法或直接開平方法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程直接求解，方程2和方程3可轉(zhuǎn)化為方程1的形式求解. 追問1 引導(dǎo)學(xué)生用添項(xiàng)的方法將方程4轉(zhuǎn)化為方程1的形式，或者轉(zhuǎn)化為（x－m）2=n的形式，自然引出課題——用配方法解一元二次方程. 4個(gè)方程循序漸進(jìn)，聯(lián)系緊密，從學(xué)生已有認(rèn)知出發(fā)，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系與區(qū)別，讓學(xué)生自己進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化，體會(huì)化歸思想. 在得出“配方”的概念之后，追問2 引導(dǎo)學(xué)生思考如何進(jìn)行配方，配方的項(xiàng)由哪些項(xiàng)決定，給予學(xué)生充分的思考和探究時(shí)間，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)配方的實(shí)質(zhì)是要配成完全平方式，繼而為配方找到依據(jù).

2. 關(guān)注概念本質(zhì)，探索學(xué)習(xí)新知

活動(dòng)2? 將下列方程轉(zhuǎn)化為（x－m）2=n.

（1）x2－4x－3=0

（2）x2－6x+1=0

（3）x2－5x－2=0

追問3：配方過程中遇到了哪些困難？

預(yù)設(shè)生成：方程3和方程4在將一次項(xiàng)拆分成2ab形式時(shí)有困難，不容易發(fā)現(xiàn)b.

追問4：請(qǐng)同學(xué)們觀察完全平方式a2±2ab+b2，想一想如何解決同學(xué)們?cè)谂浞街杏龅降睦щy？

預(yù)設(shè)生成：用一次項(xiàng)除以2a即可找到b.

設(shè)計(jì)意圖? 配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是配方，活動(dòng)2設(shè)計(jì)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，讓學(xué)生扎實(shí)掌握二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的配方，為后面解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程做好鋪墊. 方程1和方程2的一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，所配的數(shù)字是整數(shù)，方程3的一次項(xiàng)系數(shù)為奇數(shù)，方程4的一次項(xiàng)系數(shù)為分?jǐn)?shù)，難度層層遞進(jìn)，學(xué)生很難做到一眼就得到b. 學(xué)數(shù)學(xué)就是玩概念，解決數(shù)學(xué)問題要始終依據(jù)概念，因此教師引導(dǎo)學(xué)生再次回到完全平方式的概念，認(rèn)真觀察完全平方式，歸納總結(jié)b的尋找方法，即用一次項(xiàng)除以2a.

3. 回歸生成本源，促發(fā)課堂效力

活動(dòng)3? 將方程2x2－4x+1=0進(jìn)行配方.

追問5：如何將二次項(xiàng)變形成a2.

預(yù)設(shè)：

（2）應(yīng)該利用等式的基本性質(zhì)，左右兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)2，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，二次項(xiàng)就可變形為x2.

（3）方程的左右兩邊還可以同時(shí)乘以二次項(xiàng)系數(shù)2，將二次項(xiàng)變形為（2x）2.

預(yù)設(shè)：

？搖？搖方法2：方程兩邊同時(shí)乘以2，得到（2x）2－8x+2=0，移項(xiàng)配方得（2x）2－8x+4=2，即（2x－2）2=2.

追問6：是否還可以乘以或除以其他數(shù)字呢？請(qǐng)舉例，并分析兩種方法的異同.

預(yù)設(shè)生成：可以乘以8、18等能使二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)橥耆椒綌?shù)的數(shù)字. 將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，是把數(shù)據(jù)變小，配方的數(shù)也相對(duì)較小. 方程兩邊同時(shí)乘以二次項(xiàng)系數(shù)，可以使b為整數(shù)或者是分母比較小的分?jǐn)?shù).

設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生已經(jīng)掌握配方的關(guān)鍵是找到a、b，最終配成a2±2ab+b2的形式. 本題的二次項(xiàng)系數(shù)為2，不為1，不能直接得到a，對(duì)此教師沒有直接提問該如何解這個(gè)方程，也沒有引導(dǎo)學(xué)生將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，而是先引導(dǎo)學(xué)生思考如何將二次項(xiàng)變形為a2，讓學(xué)生自主思考，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力. 通過本題的分析，學(xué)生認(rèn)識(shí)到要將二次項(xiàng)變形為a2，可以將方程左右兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，也可以將方程左右兩邊同時(shí)乘以二次項(xiàng)系數(shù)，最終利用活動(dòng)1的方法完成本題的配方.

4.？搖理解概念本質(zhì)，靈活運(yùn)用新知

活動(dòng)4? 用配方法解下列方程.

設(shè)計(jì)意圖? 設(shè)計(jì)一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程，三個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)不為1 的方程，其中一個(gè)所配的數(shù)為整數(shù)，一個(gè)所配的數(shù)為分?jǐn)?shù)，另一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為分?jǐn)?shù)，層層遞進(jìn)，由易到難，但變中有不變，目標(biāo)是怎樣將其配成完全平方式，不限制學(xué)生的思維，讓學(xué)生根據(jù)自己的認(rèn)識(shí)選擇合適的方法，尊重學(xué)生的個(gè)性.

5. 應(yīng)用拓展，鞏固所學(xué)新知

閱讀下面的材料，回答問題：同學(xué)們，下一節(jié)課我們將學(xué)習(xí)公式法解一元二次方程，求根公式的生成可以將方程ax2+bx+c=0（a≠0）變形為a2x2+abx+ac=0（a≠0），還可以將方程變形為4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0）. 通過比較可以發(fā)現(xiàn)4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0）配方更簡(jiǎn)單. 求根公式的獲得過程如下：

4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0）

（2ax）2+2·2ax·b+b2=b2－4ac

（2ax+b）2=b2－4ac

請(qǐng)問以上求根公式的獲得過程有沒有不完善的地方？若有，請(qǐng)將過程完善.

設(shè)計(jì)意圖? 設(shè)計(jì)本道閱讀題，再一次鞏固本節(jié)課所學(xué)的方法，這既是本節(jié)課的應(yīng)用拓展，將配方法解一元二次方程由特殊轉(zhuǎn)為一般，同時(shí)也為下節(jié)課用公式法解一元二次方程做鋪墊，使學(xué)習(xí)過程的銜接邏輯更加連貫、聯(lián)系更加緊密.

設(shè)計(jì)思考

1. 重概念理解，揭示配方法本質(zhì)

艾莉森坦言：“我有自己的順序，教材只是倉庫，我只找我需要的.”圍繞核心概念將教材內(nèi)容重新組織，學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)概念，本設(shè)計(jì)重視對(duì)概念的理解，揭示配方法的本質(zhì). 本節(jié)課教材是通過觀察幾個(gè)代數(shù)式的配方直接總結(jié)出“所配數(shù)字為一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”，教師們往往讓學(xué)生按照這個(gè)規(guī)律反復(fù)操練，形成肌肉記憶，學(xué)會(huì)用配方法解一元二次方程. 而本設(shè)計(jì)通過認(rèn)真研讀教材，明確配方是通過添項(xiàng)（或拆項(xiàng)）配完全平方式的過程，最終目標(biāo)是配完全平方式，至于用什么方法配成完全平方式，教師沒有讓學(xué)生總結(jié)課本上特有的規(guī)律，而是通過提問“如何將二次項(xiàng)變形成a2”引導(dǎo)學(xué)生知其然更知其所以然，所有方法自己得出，自己應(yīng)用，自己修改. 自己想出來的方法是最好的，也是最有成就感的，同時(shí)也避免了配方中總是忘記將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，導(dǎo)致后續(xù)二次函數(shù)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤，更為下節(jié)課求根公式的得出做了很好的鋪墊.

2.？搖重問題導(dǎo)向，啟迪學(xué)生思考

數(shù)學(xué)思維不是教師教出來的，而是學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程中自然生成的. 教師要將教材的“靜態(tài)知識(shí)”轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)、生成的教學(xué)資源，把課堂的“復(fù)制知識(shí)”轉(zhuǎn)變?yōu)榘l(fā)展、生長(zhǎng)的課堂，從而使學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí). 這樣的課堂是新一輪課程改革中核心素養(yǎng)落地的根本，也是追尋數(shù)學(xué)育人價(jià)值、立德樹人的關(guān)鍵. 本設(shè)計(jì)重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程，把對(duì)每點(diǎn)題意的理解、每條路徑的探索、每個(gè)方法的呈現(xiàn)、每種解答的余味都化成子問題讓學(xué)生充分體驗(yàn)與思考. 那么，如何設(shè)計(jì)才能啟迪學(xué)生思維，讓學(xué)生真正思考，讓課堂富有活力呢？本節(jié)課有兩個(gè)關(guān)鍵問題，一是“如何確定配方的項(xiàng)？配方的數(shù)字與已知的哪些項(xiàng)有關(guān)？”，該問題解決了配方的難點(diǎn)；二是“如何將二次項(xiàng)變形成a2”，這個(gè)問題啟發(fā)了學(xué)生的思維，有些學(xué)生將其二次項(xiàng)系數(shù)化為1，有些學(xué)生將方程兩邊同時(shí)乘以二次項(xiàng)系數(shù). 實(shí)踐證明，兩者皆可. 相比直接告訴學(xué)生將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，這種提問方式更能引發(fā)學(xué)生思考，啟發(fā)學(xué)生思維，讓課堂更有活力.

3. 重過程教學(xué)，完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)是一門思維的學(xué)科，數(shù)學(xué)課堂不能只單純地學(xué)習(xí)知識(shí)，而應(yīng)重視知識(shí)的來龍去脈，只有不孤立地看待每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，才能融會(huì)貫通，才能學(xué)習(xí)知識(shí)背后所承載的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)素養(yǎng). 就“配方法解一元二次方程”這節(jié)課而言，教師不能就“法”論“法”，它應(yīng)建立在“開平方法”的基礎(chǔ)上，同時(shí)教學(xué)時(shí)應(yīng)緊扣“完全平方式”，所以活動(dòng)1的設(shè)計(jì)是基于上節(jié)課因式分解解方程的前提，從設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知的題目開始，層層遞進(jìn)，關(guān)注方法產(chǎn)生的過程，突出思維發(fā)展的過程；活動(dòng)2在活動(dòng)1的基礎(chǔ)上進(jìn)行方法的體驗(yàn)，活動(dòng)3是對(duì)方法本質(zhì)的理解，讓學(xué)生從“方法的體驗(yàn)”到“本質(zhì)的理解”再抵達(dá)活動(dòng)4的“靈活運(yùn)用”，最后的“應(yīng)用拓展”又為后面公式法解一元二次方程進(jìn)行了鋪墊，讓學(xué)生學(xué)習(xí)“公式法”時(shí)不再陌生. 本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)體系，構(gòu)建前后聯(lián)系、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，為后續(xù)的學(xué)習(xí)積累了重要的學(xué)習(xí)方法，也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的意義.

教后記

在完成本節(jié)課的教學(xué)之后，九年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式時(shí)，學(xué)生除了按照課本上配方法的步驟進(jìn)行配方，還運(yùn)用了其他的方法（如圖1、圖2）. 通過這兩種解法可以看出有些學(xué)生并沒有直接使用課本中配方的步驟，而是真正理解了配方法的本質(zhì)，構(gòu)建了屬于自己的知識(shí)體系.

隨著新課改的推進(jìn)，課程觀念的更新，教學(xué)理念的激蕩，教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，學(xué)生在課堂上應(yīng)充分發(fā)揮其主體性、積極性、創(chuàng)造性，師生共同構(gòu)建個(gè)性化、自主化、和諧生態(tài)并充滿活力的數(shù)學(xué)課堂. 教師應(yīng)從促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展出發(fā)，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理構(gòu)建，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知，能揭示問題本質(zhì)，能提高學(xué)生思維的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)是在教師的引導(dǎo)下積極主動(dòng)、富有活力、鮮活的過程，讓課堂富有創(chuàng)造力. 總之，教師應(yīng)尊重學(xué)生個(gè)性、充分相信學(xué)生，把課堂還給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)解題方法，讓知識(shí)的獲得自然而然，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生.

參考文獻(xiàn)：

［1］王婉瑩，劉錫光. 回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，打造生態(tài)課堂——特級(jí)教師劉德武“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”教學(xué)片段賞析［J］. 江西教育，2021（23）：41-44.

［2］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［3］卜以樓. 生長(zhǎng)數(shù)學(xué)：卜以樓初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張［M］. 西安：陜西師范大學(xué)出版社，2018.