胡曉潔

1 題目：2023年上海卷第21題

已知f（x）=ln x，取點(diǎn)（a1，f（a1））過其作曲線y=f（x）的切線交y軸于點(diǎn)（0，a2），取點(diǎn)（a2，f（a2））過其作曲線y=f（x）的切線交y軸于點(diǎn)（0，a3），若an≤0則停止，以此類推，得到數(shù)列{an}.

（1）若正整數(shù)m≥2，證明：am=ln am－1－1；

（2）[JP3]若正整數(shù)m≥2，試比較am與am－1－2的大??；

（3）若正整數(shù)k≥3，是否存在k使得a1，a2，……，ak依次成等差數(shù)列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，試說明理由.

2 分析與思維導(dǎo)圖

2.1 思維分析

本題從導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合運(yùn)用出發(fā)，考查學(xué)生求切線方程、構(gòu)造函數(shù)證明不等式、等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用以及方程有解問題的解決能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).本題的題干是由函數(shù)圖象的切線與y軸相交，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)經(jīng)過遞推得到一個(gè)數(shù)列.遞推的過程和利用牛頓法求方程的解類似.數(shù)列在題目中更多是起到背景和提示作用，[JP3]本質(zhì)上還是解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的問題.本題作為上海卷的壓軸題，有較大的思維量，突出考查了數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).

第（1）問證明數(shù)列的遞推關(guān)系，本質(zhì)上考查求函數(shù)的切線方程，要求學(xué)生理解題目中的遞推關(guān)系.本題對(duì)學(xué)生在給定情境下分析數(shù)學(xué)問題的能力有較高的要求.

第（2）問比較大小，常用辦法是將要比較的對(duì)象化成同一變量后作差.結(jié)合第（1）問的結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上是考查常用不等式ln x≤x－1（ex≥x+1）的證明.本題要求學(xué)生能夠結(jié)合已知結(jié)論解決問題，熟練掌握構(gòu)造法證明不等式.

第（3）問分析k的取值是難點(diǎn)，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，可以將分析k的取值轉(zhuǎn)化為方程有解的問題.不同的性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化出不同的方程，此問主要利用公差和等差中項(xiàng)來解決.本題要求學(xué)生能深刻地理解方程有解和函數(shù)有零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系.