張麗君

【摘要】幾何教學(xué)既是中考考查的重點，也是日常教學(xué)的難點，使用模型教學(xué)是幾何教學(xué)的重要手段.本文以“倍長中線”模型為例，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，體悟圖形運動思想.借助典型例題，引導(dǎo)學(xué)生思考分析，構(gòu)建8字型全等三角形模型.運用變式練習(xí)，進一步強化對模型的理解和應(yīng)用，提高識圖技能，發(fā)展數(shù)學(xué)觀察能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】圖形運動；幾何模型；核心素養(yǎng)

2022年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》提出數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”.初中數(shù)學(xué)內(nèi)容分為五大板塊：數(shù)與數(shù)的運算、代數(shù)與方程、圖形與幾何、函數(shù)與分析、數(shù)據(jù)處理與概率統(tǒng)計.其中幾何教學(xué)既是中考考查的重點，也是日常教學(xué)的難點，使用模型教學(xué)是幾何教學(xué)的重要手段.

初中幾何模型是教師在長期的教學(xué)實踐中對具有一定相同特征的幾何圖形和問題的歸納，側(cè)重對某一解題方法、技巧的模仿和遷移運用.本文筆者以滬教版教材八年級上冊第十九章第2節(jié)“證明舉例”中的“倍長中線”教學(xué)設(shè)計為例，闡述如何在圖形運動思想指導(dǎo)下構(gòu)建幾何模型，提升核心素養(yǎng).

1 課前思考

1.1 教學(xué)目標

依據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律和思維水平，本節(jié)課的教學(xué)目標設(shè)置如下：能夠識別模型，通過“倍長中線”構(gòu)造8字型全等三角形模型，轉(zhuǎn)化已知條件進而解決問題.進一步獲得探究證明題思路的經(jīng)歷，豐富演繹證明的經(jīng)驗，體會在圖形運動思想的指導(dǎo)下添置輔助線和構(gòu)造模型的方法，感受轉(zhuǎn)化思想.

1.2 教學(xué)重難點

學(xué)生在七年級已經(jīng)學(xué)習(xí)過圖形的三種運動、全等和等腰三角形的相關(guān)知識，為本節(jié)課的研究奠定了基礎(chǔ).本節(jié)課的教學(xué)重是點能夠識別模型，通過“倍長中線”構(gòu)造8字型全等三角形模型，轉(zhuǎn)化已知條件進而解決問題；而如何利用“倍長中線”構(gòu)造模型是本節(jié)課的難點.

2 課例設(shè)計

2.1 創(chuàng)設(shè)問題，引入模型

問題1 如圖1，D是BC上的一點，BD=CD，∠1=∠2.能否證明AB=AC呢？

解法1

證明：因為BD=CD，∠1=∠2

所以AB=AC（等腰三角形三線合一）

解法2

證明：在△ABD與△ACD中，

所以△ABD≌△ACD（SAS）

所以AB=AC（全等三角形的對應(yīng)角相等）

問題2 解法一和解法二的方法正確嗎？錯誤在哪里？

問題3 在已有的圖形和條件無法解決問題的情況下，我們需要怎么辦？

問題4 如何添加輔助線？

設(shè)計意圖 通過創(chuàng)設(shè)問題，引導(dǎo)學(xué)生思考兩種證明思路存在的問題，復(fù)習(xí)回顧全等和等腰三角形的知識.學(xué)生分析發(fā)現(xiàn)無法在現(xiàn)有的圖形中解決問題，引導(dǎo)學(xué)生體悟圖形運動思想，利用將△ABD或△ACD旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“8字型全等三角形”模型，從而達到轉(zhuǎn)化邊和角的目的.

2.2 分析歸納，構(gòu)建模型

問題1 什么是倍長中線？

問題2 遇到什么情況需要構(gòu)建倍長中線模型？

問題3 如何構(gòu)建倍長中線模型？

如圖2，當題目中出現(xiàn)中點時可以想到延長三角形的中線或過中點的線段（類中線），使得延長后的線段等于原來的兩倍，再聯(lián)結(jié)相應(yīng)的端點構(gòu)造8字型全等模型，從而達到轉(zhuǎn)化邊和角的目的.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生歸納“倍長中線”的含義，提升數(shù)學(xué)語言表達能力.當已知條件中出現(xiàn)“中點”、“中線”時可以考慮倍長，構(gòu)造8字型全等.通過分析歸納模型的特點，幫助學(xué)生在腦海中構(gòu)建模型，加深對模型的理解，樹立模型意識，提升數(shù)學(xué)觀察能力.

2.3 典例精晰，運用模型

例題 已知，如圖3，C是AB的中點，點E在CD上，且∠AEC=∠D.

求證 AE=BD.

問題1 如何證明結(jié)論？全等三角形的性質(zhì)可以嗎？等腰三角形的性質(zhì)可以嗎？如何轉(zhuǎn)化條件？

問題2 如何添加輔助線？如圖4，延長DC至點F，使得DC=CF，聯(lián)結(jié)AF還是BF？還是都可以？

問題3 還可以添加別的輔助線嗎？如圖5，延長EC可以嗎？

設(shè)計意圖 通過典型例題的分析引導(dǎo)學(xué)生進一步體悟圖形運動思想，當題目中出現(xiàn)“中點”時可以聯(lián)想到需要“倍長中線”，建立8字型全等三角形模型.同時引導(dǎo)學(xué)生分析“延長DC至點F，使得DC=CF，聯(lián)結(jié)AF還是BF？”，當聯(lián)結(jié)BF時，無法構(gòu)造8字型全等三角形，也無法轉(zhuǎn)移邊和角，從而是錯誤的輔助線.另外，引導(dǎo)學(xué)生一題多解，從不同的角度思考問題，如果輔助線是“延長EC至點F，使得EC = CF，則應(yīng)該聯(lián)結(jié)BF”.

2.4 變式練習(xí)，鞏固模型

練習(xí) 已知，如圖6，C是AB的中點，點E在CD上，延長AE交BD于點G，聯(lián)結(jié)AD，且DG=EG.

求證 AE=BD.

問題1 如何添加輔助線？

問題2 延長DC至點F，使得DC=CF，聯(lián)結(jié)AF還是BF？還是都可以？

問題3 還可以添加別的輔助線嗎？延長EC可以嗎？

設(shè)計意圖 變式練習(xí)是在例題的基礎(chǔ)上改編而成，引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜圖形中識別出基本模型.進一步鞏固通過“倍長中線”構(gòu)建8字型全等模型，體會圖形的運動可以轉(zhuǎn)移邊和角.通過分析輔助線的聯(lián)結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)語言表達能力，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng).

2.5 暢談收獲，總結(jié)模型

請同學(xué)們談?wù)勛约旱氖斋@，嘗試從“倍長中線”的概念、目的、模型、口訣、思想等方面進行總結(jié).教師引導(dǎo)學(xué)生理解“倍：加倍—邊等；長：延長—對頂角；中線：邊等”，牢記“遇中線，想倍長；構(gòu)全等，找關(guān)系”的口訣.

設(shè)計意圖 學(xué)生通過總結(jié)加深對“倍長中線”模型的理解，進一步體悟圖形的運動思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)語言表達能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.6 分層作業(yè)，內(nèi)化模型

基礎(chǔ)訓(xùn)練 必做題

（1）已知，如圖7，在△ABC中，AB = 4，AC = 3，AD是BC的中線，則AD的取值范圍為.

能力提升 選做題

（2）已知，如圖8，CB、CD分別是鈍角△AEC和銳角△ABC的中線，且AC = AB.

求證：CE = 2CD.

拓展提高 選做題

（3）已知，如圖9，AD是△ABC的中線，點E、F分別在AB、AC上，且DE⊥DF，

求證：BE+CF＞EF.

設(shè)計意圖 分層作業(yè)主要是兼顧不同層次學(xué)生的實際需求，針對性地調(diào)控作業(yè)難度，促進每個孩子能在原有基礎(chǔ)上有所進步.

3 教學(xué)啟示

3.1 創(chuàng)設(shè)問題情境，體悟圖形運動

本節(jié)課是以滬教版八年級第一學(xué)期課本97頁第11題作為問題情境，首先分析在已有的圖形中能否借助已知條件解決問題.其次，進一步思考如何轉(zhuǎn)化條件從而解決問題.最后，教師引導(dǎo)學(xué)生借助圖形的運動改變圖形的位置，達到轉(zhuǎn)移邊和角的目的.在這個過程中，學(xué)生可以感悟到圖形的運動在幾何說理過程中的重要性.

3.2 學(xué)生自主思考，構(gòu)建幾何模型

本節(jié)課通過典型例題的分析，找到題目中的題眼“中點”，由此聯(lián)想到“倍長中線”輔助線，構(gòu)造8字型全等三角形.此題難點是倍長EC或DC之后是與A聯(lián)結(jié)還是與B聯(lián)結(jié)，學(xué)生自主思考分析，選擇聯(lián)結(jié)哪個點可以有效轉(zhuǎn)化條件，從而進行突破.在這個過程中，不僅培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力，而且鍛煉學(xué)生的思維，提升模型意識和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.3注重變式練習(xí)，強化模型應(yīng)用

變式訓(xùn)練有助于學(xué)生更好地理解和掌握模型，培養(yǎng)學(xué)生在復(fù)雜圖形中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力.本節(jié)課的變式練習(xí)是在典型例題的基礎(chǔ)上改編而成，聯(lián)結(jié)了AD，且延長AE交BD于點G.這道題目相比例題的圖形更加復(fù)雜，需要學(xué)生先識別出基礎(chǔ)模型，添加恰當?shù)妮o助線，在添加輔助線的時候同樣需要考慮聯(lián)結(jié)哪個端點可以有效轉(zhuǎn)化條件.通過這道變式訓(xùn)練，不僅可以檢測本節(jié)課教學(xué)目標的達成程度，同時進一步加強學(xué)生對“倍長中線”模型的理解，再次體會圖形運動思想，強化模型應(yīng)用能力.

3.4 發(fā)展識圖技能，提升核心素養(yǎng)

本節(jié)課問題引入、典例精晰、變式練習(xí)都緊扣主題，選取了具有代表性的題目.通過層層分析，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)在何種情況下考慮“倍長中線”，“倍長中線”具體的方法以及“倍長中線”之后聯(lián)結(jié)哪個端點合適等.在這個過程中引導(dǎo)學(xué)生識圖、標圖，發(fā)展數(shù)學(xué)觀察能力，提升數(shù)學(xué)思維能力以及數(shù)學(xué)語言的表達能力.

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